第19届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

9年级第一试1 如果自然数n使得2n+1和3n+1都恰好是平方数,试问5n+3能否是一个素数? 2 AB和CD是两条长度为1的线段,它们在O点相交,而且∠AOC=60°,试证:     

第25届全俄罗斯中学生数学奥林匹克决赛试题解答

第一天1　是否存在 19个具有相同数字之和的不同自然数 ,使这些自然数之和等于 1999?2　将一些整数排在数轴的一切有理点上 .求证 :可找到这样一个区间 ,使这区间两个端点上的数之和不大于区间中点上的数的 2倍 .3　四边形ＡＢＣＤ的内切圆与各边ＤＡ ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ分别相切于点Ｋ ,Ｌ ,Ｍ ,Ｎ .令Ｓ1 ,Ｓ2 ,Ｓ3,Ｓ4分别是△ＡＫＬ ,△ＢＬＭ ,△ＣＭＮ ,△ＤＮＫ的内切圆 .向圆Ｓ1 与Ｓ2 ,Ｓ2 与Ｓ3,Ｓ3与Ｓ4,Ｓ4与Ｓ5 作外公切线 (不同于四边形的各边 ) .求证 :这 4条切线组成的四边形是菱形 .4　ｎ2 个筹码放在一个无限棋盘的含ｎ×…     

第32届国际数学奥林匹克试题及解答

1.(苏联提供)已给△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别与其对边交于A′,B′,C′。求证     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

第31届国际数学奥林匹克试题及解答

周彤同学在第31届国际数学奥林匹克中以满分的成绩获得金牌,为祖国贏得了荣誉。今将其解答全文发表如下,以飨读者。文中少处叙述经其指导老师钱展望同志修改和润色。     

第32届国际数学奥林匹克试题解答

第一试 (1991.7.17. 9:00-13:30) 一、△ABC之三内角平分线交对边于A＇、B＇、C＇,且内心为1,则 1/4相似文献   

第31届国际数学奥林匹克试题与解答

第31届国际数学奥林匹克于1990年7月在北京举行,我国选手成绩如下:下面是这次竞赛的试题与解答: 第一天北京1990.7.12(9:00—13:30) 1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于E点.M为弦AB上严格在E、B之间的点,过D、E、M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F、     

第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

(第一天) 八年级 1.一本书包含30篇故,各篇故事的篇幅依次为1,2,…,30页这些故事从第一页开始印刷,每篇都从新的一页开始能从奇数页开始的故事最多有多少篇? 答:23。 2.设ABCD是凸四边形。考虑两个新的凸四边形F_1和F_2,其中每个的两个相对顶点是ABCD角线的中点,另相对顶点是ABCD对边的中点。已知     

第二十二届国际中学生数学奥林匹克试题和参考解答

第二十二届国际中学生数学奥林匹克于一九八一年七月十三日至十四日在美国举行。这届竞赛有六道试题,分两天进行,每天解答三道题,要求在四个半小时内完成。下面是竞赛题与参考解答。竞赛题的原始资料是一位在美国访问的友人提供的,参考解答是由秦淦作出的。     

湖南省第四届中学生数学夏令营试题及解答

(1991年8月15日上午8,00~12:DO,湖南师大) 一、简答题 1.在四面体川男。中,AB=韶~AD=肥一1,BD=了了,cD二了万.试求对校AD、Bc所成的角. ,.△月6‘的三内角的正切值为三个连续的整数,x.l筑大内角的位是多少? ,.设集合E.={(:,梦)},成}:}’,{:!)l},无二l,2,…,1991.试求E:门E,n…n     

第三届全国中学生数学冬令营试题及解答

把③代入上式,得信厅〕l即艺厅)l由④{‘为得玄 “1由柯西不等式中,⑤r卢二l当且仅当二二 赴一二::必一二时, 龟人 一一八一a,, 一一 一一。一。 一一n一al 第一天(1988年元月22日) ‘一、设“.,必,…,。。是给定的不全为。的实数,。,九,…,。是实数,如果不等式 。(x,一a:)+。(赴一。)+…+。(x,一a.) ‘丫二行+二孑+…+二孑一了。了+。了+…+。矛时任何实数x:,力,…,石成立,求。,。,…,。的值。 解:令x二0(i=l,2,…,n) 则一(。al+乃.+一+。a。) ‘一了“产+“孑+.二+。:等号成立. 故令.。二又。(k=。。,舀时①把上式代入③,得风艺 令x,户“:…     

第36届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

第３６届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答张筑生（北京大学数学系１００８７１）（第３６届ＩＭＯ中国队领队）第一天，１９９５年７月１９日（４小时，每题７分）１设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一条直线上依次排列的四个不同的点．分别以ＡＣ，ＢＤ为直径的两圆相交于Ｘ和Ｙ；直线...     

第三十届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

地点:联邦德国,不伦瑞克第一试(1989年7月18日) 1.求证:集合{1,2,…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,1,…,117),使得(1) 每个A_i含有17个元素;     

第十四届苏联中学生数学奥林匹克竞赛题和解答

第十四届苏联中学生数学奥林匹克于一九八○年四月举行。参加竞赛的是八、九、十年级学生。与以往一样,竞赛分两场进行,每场对各年级分别提出四道竞赛题。下面是这届数学奥林匹克的竞赛题和参考解答,每题后面括号内注明的是该题的年级。     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

第二天 　　2008年7月17日,星期四 　　(接第9期) 　　4.求所有的函数,f:(0,+∞)→(0,+∞),满足对所有的正实数w,x,y,z,z,wx=yz,都有(f(w))2+(f(x))2/f(y2)+f(z)2=w2+xw/y2+z2.(韩国提供)……     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

试题 　　1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)……     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

第十九届全俄中学生数学奥林匹克(第二试)试题与解答

(9年级第二试) 5 设x、y、z都是整数,满足条件(x-y)(y-z)(z-x)=x y z. 试证:x y z可以被27整除。