Non-Linear Self-Excited Random Vibrations and Stability of an SDOF System with Parametric Noises

Abstract. The paper presents the solution to the properties of stochastic response of a system with random parametric noises, which is prone to the loss of aerodynamical stability. The system is described by an equation of van der Pol type with the negative linear, and with the positive cubic dampings. The coefficients of the linear damping and of the stiffness include the multiplicative random perturbations, the external excitation being given as a sum of a deterministic function and of an additive perturbation. All three input random processes are supposed to be Gaussian and centered, with the non-zero mutual stochastic parameters, as it corresponds to the properties of real systems. The solution has been based on the method of stochastic linearisation and of the subsequent solution of the Fokker–Planck–Kolmogorov equation in the sense of the first and second stochastic moments for the transient and stationary states. There have been demonstrated several effects, which are typical for systems with parametric noises, differentiating them from the systems with constant coefficients. The principal attention has been devoted to the properties of the spectral density of the response, the character of which changes abruptly with the degree of non-linearity of the damping and of the level of random perturbations.Sommario. La presente memoria studia le proprietà della risposta stocastica di un sistema con eccitazione casuale parametrica, che tende alla perdita della stabilità aerodinamica. Il sistema è descritto mediante un'equazione del tipo di van der Pole con il termine lineare dello smorzamento negativo e il termine cubico positivo. Poichá l'eccitazione esterna è la somma di una funzione deterministica e di una perturbazione additiva, i coefficienti dello smorzamento lineare e della rigidezza comprendono le perturbazioni casuali moltiplicative. I tre processi stocastici di eccitazione sono assunti gaussiani e a media nulla con parametri stocastici incrociati diversi da zero, come si verifica per le proprietà dei sistemi reali. La soluzione è basata sul metodo della linearizzazione stocastica e della successiva soluzione dell'equazione di Fokker-Planck-Kolmogorov studiando i primi e i secondi momenti statistici per gli stati transitori e stazionari. Vengono mostrati diversi effetti, tipici dei sistemi con eccitazione parametrica, differenziandoli dai sistemi a coefficienti costanti. Particolare attenzione è rivolta alle proprietà della densità spettrale della risposta le cui caratteristiche cambiano bruscamente con il grado di non linearità dello smorzamento e del livello di casualità delle perturbazioni.     

Active Longitudinal Control of Wind-Induced Oscillations of a Suspended Cable

Abstract. Active control of oscillations of a suspended cable under transversal wind, described by a constant term and a fluctuating turbulent component, is dealt with. Control of transversal in-plane and out-of-plane oscillations is performed by imposing a longitudinal motion to one support; the control law depends, linearly or quadratically, on measures of displacement and velocity of a selected point. First, the steady-state oscillations around the planar static configuration, determined by the wind constant component, under sinusoidal in-plane and out-of-plane loading are studied, showing the nonlinear behaviour in the regions of primary and parametric resonance and the effects of the control action. Afterwards, attention is focused on the response of the cable to transversal wind turbulence, whose fluctuating component is described by a random process with an assigned spectral density. The effectiveness of longitudinal control is analysed by means of numerical investigations.Sommario. Si analizza il controllo attivo delle oscillazioni di un cavo sospeso, sottoposto all'azione di un vento agente in direzione ortogonale al piano del cavo e descritto mediante un termine di carico costante ed una componente variabile di turbolenza. Il controllo delle oscillazioni piane e spaziali viene realizzato mediante spostamento longitudinale di uno degli appoggi; la legge di controllo dipende linearmente o quadraticamente da misure di spostamento e velocità di un punto prescelto. In una prima fase, vengono studiate le oscillazioni stazionarie sotto carichi sinusoidali agenti rispettivamente nel piano e fuori del piano del cavo, intorno alla configurazione di equilibrio statico determinata dalla presenza della componente costante del vento, mostrando il comportamento nonlineare nelle regioni di risonanza primaria e parametrica e gli effetti dell'azione di controllo. Successivamente, si focalizza l'attenzione sulla risposta del cavo alla componente trasversale di turbolenza del vento, la quale è descritta da un processo stocastico a media nulla con densità spettrale assegnata. L'efficacia del controllo viene analizzata attraverso un'indagine numerica.     

Simulation of Correlated Non-Gaussian Pressure Fields

Abstract. Among a host of techniques developed for the analysis and prediction of nonlinear structural response, simulation methods are gaining popularity as computational efficiency increases. Implementation of time domain methods require simulated load time histories with case-specific statistical and spectral characteristics. When the assumption of Gaussian wind loading is inappropriate, techniques for simulating non-Gaussian loading must be sought. Over a larger expanse of building surface, simulation of correlated loads at several spatially separated locations is required. This work introduces a multi-variate non-Gaussian simulation method capable of producing realizations with a wide range of spectral and probabilistic characteristics. The correlation between multiple locations is accurately simulated simultaneously, while retaining the appropriate spectral and probabilistic content at each location.Sommario. Tra la varie tecniche per l'analisi e la previsione della risposta structurale non lineare, stanno acquistando grande popolarità i metodi di simulazione poiché incrementano l'efficienza computazionale. L'implementazione dei metodi nel domino del tempo richiede la simulazione di storie temporali di carico con specifiche caratteristiche statistiche e spettrali. Quando l'ipotesi di gaussianità dell'azione del vento non risulta adeguata puòessere necessario ricorrere a techniche di simulazione di carichi non gaussiani. Per superfici di edifici più estese è richiesta la simulazione di carichi correlati in diverse posizioni separate spazialmente. La presente memoria introduce un metodo di simulazione multivariata non-gaussiana capace di riprodurre realizzazioni con un ampio campo di caratteristiche spettrali e probabilistiche. La correlazione tra le molteplici posizioni viene simulata simultaneamente in modo accurato mantenendo in ciascuna posizione caratteristiche spettrali e probabilistiche appropriate.     

The Peak Factor for Gust Loading: A Review and Some New Proposals

Abstract. Wind forces on structures that can be considered stiff are usually calculated by using the so-called gust factor G that magnifies the effects of the statical part of the wind speed U. In the expression of G a peak factor g is introduced to account for the maxima of the response dynamical displacement X _d(t),which is a zero mean stationary Gaussian process. The peak factor is derived by assuming that the upcrossings of a given level are a Poisson process, which is deemed very conservative by several authors. Thus, other ways for computing g are proposed herein, preserving its classical definition. They are: (1) the use of the envelope of the response process; (2) the solution of the backward Kolmogorov equation; (3) the use of some approximate formulae such as those by Preumont, Lutes et al., and Vanmarcke. The theoretical models are applied to the response of a linear SDOF oscillator for two values of the ratio of critical damping. In the last part of the paper a nonlinear response, that of a Duffing oscillator, is considered and the problem of the peak factor for this nonlinear case is attacked by using the stochastic averaging of energy envelope. The results of the various approaches are compared with those obtained by numerical simulation.Sommario. Le azioni del vento sulle strutture sono ordinariamente calcolate amplificando gli effetti della velocità media, quantità statica, per mezzo del fattore di raffica (o dinamico) G. Nell'espressione di quest'ultimo è presente il fattore di picco g, introdotto allo scopo di tenere in conto i massimi dello spostamento dinamico X _d(t), che è un processo gaussiano stazionario a media nulla. Tale fattore di picco è calcolato ipotizzando che gli attraversamenti di un certo livello da parte diX _d(t)siano un processo di Poisson, ipotesi ritenuta conservativa da molti autori. Nel presente lavoro si propongono altri modi per calcolare g: (1) mediante l'inviluppo del processoX _d(t);(2) risolvendo l'equazione all'indietro di Kolmogorov; (3) mediante l'impiego di formule ap- prossimate (Preumont, Lutes et al., Vanmarcke). I metodi proposti sono applicati al caso di un oscillatore semplice. Successivamente si propone un metodo per determinare il fattore di picco per una risposta non lineare, quella dell'oscillatore di Duffing, pervenendo al risultato cercato mediante la soluzione dell'equazione di Fokker-Planck per la funzione di densità di probabilità dell'energia meccanica dell'oscillatore. I risultati ottenuti sono confrontati con la simulazione numerica.     

Non-Gaussian Response of MDOF Wind-Exposed Structures: Analysis by Bicorrelation Function and Bispectrum

Abstract. The influence of non-Gaussian modeling of the wind action on the response of MDOF structures is considered. Assuming the turbulence as a homogeneous Gaussian field, the wind action field is described by means of the correlation and bicorrelation functions. Once known the spectrum and the bispectrum (by Fourier transform), the same quantities of the structural response are obtained by frequency domain analysis. This allows to evaluate the statistic moments of the response until the third moment and to estimate the peak value distribution. The procedure is applied to analyze a broadcasting antenna. Varying the structural damping and the wind characteristics, a comparison between Gaussian and non-Gaussian modeling is performed.Sommario. Viene studiata l'influenza della modellazione non-Gaussiana dell'azione del vento sulla risposta di strutture a più gradi di libertà. Considerando la turbolenza come un campo Gaussiano omogeneo, l'azione del vento viene descritta mediante le funzioni correlazione e bicorrelazione. Determinato poi lo spettro ed il bispettro (mediante trasformata di Fourier), le stesse grandezze relative alla risposta strutturale sono ricavate per mezzo dell'analisi nel dominio delle frequenze. È così possibile valutare i momenti statistici della risposta fino al terzo ordine e stimare la distribuzione dei valori di picco. La procedura viene applicata all'analisi della risposta di un'antenna per telecomunicazioni. Variando lo smorzamento strutturale e le caratteristiche del vento, vengono paragonate fra loro la modellazione Gaussiana e quella non-Gaussiana.     

Global Bifurcations and Chaotic Dynamics in Nonlinear Nonplanar Oscillations of a Parametrically Excited Cantilever Beam

This paper presents the analysis of the global bifurcations and chaotic dynamics for the nonlinear nonplanar oscillations of a cantilever beam subjected to a harmonic axial excitation and transverse excitations at the free end. The governing nonlinear equations of nonplanar motion with parametric and external excitations are obtained. The Galerkin procedure is applied to the partial differential governing equation to obtain a two-degree-of-freedom nonlinear system with parametric and forcing excitations. The resonant case considered here is 2:1 internal resonance, principal parametric resonance-1/2 subharmonic resonance for the in-plane mode and fundamental parametric resonance–primary resonance for the out-of-plane mode. The parametrically and externally excited system is transformed to the averaged equations by using the method of multiple scales. From the averaged equation obtained here, the theory of normal form is applied to find the explicit formulas of normal forms associated with a double zero and a pair of pure imaginary eigenvalues. Based on the normal form obtained above, a global perturbation method is utilized to analyze the global bifurcations and chaotic dynamics in the nonlinear nonplanar oscillations of the cantilever beam. The global bifurcation analysis indicates that there exist the heteroclinic bifurcations and the Silnikov type single-pulse homoclinic orbit in the averaged equation for the nonlinear nonplanar oscillations of the cantilever beam. These results show that the chaotic motions can occur in the nonlinear nonplanar oscillations of the cantilever beam. Numerical simulations verify the analytical predictions.