关于数的概念进一步扩充的可能性問題

从实数出发,引进两个单位:实单位(1,0)=1与虛单位(0,1)=i,我們可以建立包含全部实数的形状如a+bi=a·1+b·i的复数系(当b=0时,a+bi=a就和实数a一致)。这时,我們可以在新数系中引进算术运算,并且保持在实数系中成立的全部基本运算律(加法的交换律与結合律,乘法的交換律与結合律,乘法对加法的分配律等等)。自然,細心的讀者可能会产生这样的問题:能不能再进一步扩充数域呢?确切地說:是不是可以把复数本身作为更广泛的一类数的特殊情况,而这类数也是从实数出发,但借助于两个以上不同的单位而建立起来的,并且还能保持全部的基本运算律呢? 这个問題的答案是否定的。就是說:原则上不可能再进一步扩充数域并且使得算术运算的全部基本运算律仍被保持。但是,如果可以舍去其中几条,那么这种扩充仍是可能的。     

复数集内方程的求解策略初探

如何在复数集内解方程(组)?这是中学数学教学中的一个重要课题。除开化归为复数集上的一元二次方程来解外,本文对复数集内方程(组)的其他求解策略作出了初步的探索和归纳,供教学时参考。下文中字母z、w均表示复数,表示z的共轭复数。策略一化归为在实数集内解方程(组) 利用复数的有关知识,能将许多复数集内方程(组)化归为实数集内方程(组),求出后者的解,便能得到前者的解。 1.借助复数的有关运算实现化归例1 设a≥0,在复数集C内解方程z~2+2|z|=a。(90年全国高考试题) 分析由于z~2=a-2|z|为实数,因此z为实数或     

一个正整数集合的结构

根据互质正整数a,b定义—个集合G(a,b)={g|a+b≤g≤ab,g=ma+nb,m、n皆为整数}集合中的极大连续整数子集称为链,每个链所含元素个数,称此链的长.本文通过一种特定的取小运算,计算出了所有可能长度的链的个数,从而搞清了这个正整数集合的结构.     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

关于高斯整数环的商环元素个数的注记

设 Z表示整数环 ,i表示虚数单位 ( i=- 1 ) .Z( i)为所有形如 a+ bi( a,b∈ Z)的复数组成的集合 ,称为高斯整数环 .高斯整数环中的元素称为高斯整数 .在文 [1 ]中 ,提出了两个猜测 ,其中之一是 :设 m和 n都是整数 ,则高斯整数环 Z( i)的商环 Z( i) /( m+ ni)的元素个数不超过 m2 + n2 .本文证明这一结论成立 ,且更明确的有 ,| Z( i) /( m+ ni) | =m2 + n2 .注意 ,对 m=0 (或 n=0 )以及 m任意但 n=1 (或 n任意但 m=1 )的情形 ,文 [1 ]已经证明此等式成立 .以下我们用 | A|表示集合 A的元素个数 ,也用 | α|表示复数 α的模 .下面给出的是…     

复数在二项式定理中的妙用

<正>赋值法是二项式定理中的一种重要解题方法,教材通过将(a+b)n中的a,b赋值为±1,得到奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和的重要结论.而复数,作为实数系的扩充,若像实数一样参与二项式的运算会产生怎样的效果?本文以一道联赛题的证明为例,展现复数在赋值法中的神奇作用,希望给同学们以启发.     

勾股数组的一个性质

一组勾股弦(整)数a、b、c中,必有含因子3的数,必有含因子4的数;必有含因子5的数。 如6、8、10是一组(整)勾股数组,其中3|6,4|8,5|10。 又如7、24、25是一组(整)勾股数组,其中3|24,4|24,5|25。 为了证明这个事实,我们先来证明这样一个定理。任何一组勾股(整)数组a、b、c组可由公式a=m~2-n~2,b=2mn,c=m~2+n~2表示。(这里m>n,m、n均为自然数)(参看马明同志著《圆和二次方程》P_(27))     

拓宽知识 积累方法 解决问题

<正>1题目已知无穷集合A,B,且A?N,B?N,记A+B={a+b|a∈A,b∈B},定义:满足N*?(A+B)时,则称集合A,B互为"完美加法补集".(Ⅰ)已知集合A={a|a=2m+1,m∈N},B={b|b=2n,n∈N}.判断2019和2020是否属于集合A+B,并说明理由;     

新概念命题例析

纵观近几年的高考、竞赛试题中 ,出现了一类情景、立意新颖别致的新概念命题 .这些问题大都是按照一定的规则和要求定义一个新概念 (包括数、式、点、运算、函数等 ) ,要求考生按照这个新概念的定义 ,运用逻辑推理和计算进行解题 .下面就结合一些具体的例题来加以说明 .1.定义一个新运算例 1　设绝对值小于 1的全体实数集合为S ,在S中定义一种运算“ ” ,使得a b =a +b1+ab.( 1)证明 :如果a∈S ,b∈S ,那么a b∈S ;( 2 )证明 :(a b) c =a (b c) .证明　 ( 1)∵　a∈S ,　∴　 -1相似文献   

一类信息题的解法

近年来 ,高考试题中出现了一种新颖的考题———定义新的运算法则或运算关系 .由于这类题立意新颖、解法灵活 ,要求学生在阅读理解的基础上运用所学知识和方法进行解题 ,因而备受各级各类考试命题者的青睐 .学生因情境新颖 ,算符陌生而产生畏惧情绪 .现举例分析这类题型 ,供同学们参考 .例 1　 ( 2 0 0 1年上海春季高考题 )若记号“ ”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算 ,即a b =a +b2 ,则两边均含有运算符号“ ”和“ +” ,且对于任意 3个实数a ,b ,c都成立的一个等式可以是 .解析　根据题意 ,可设等式左边为 (a b) +c ,则根据定义…     

高考数学模拟卷(二)

一、选择题: 　　1.(理)复数1/i-2+1/1-2i的虚部为 　　A.1/5i B.1/5 C.-1/5i D.-1/5 　　(文)若集合M={x|x=cos nπ/2,n∈Z},则M的真子集个数是 　　A.3B.7C.15D.无穷多个 　　2.已知函数f(x)=2x+3,(x∈R), 若|f(x)-1|0),则a, b之间的关系是……     

学习实数要注意些什么?

实数是有理数和无理数的统称 .从有理数到实数实际是数的范围的扩充 ,学习有理数到无理数的过程 ,实质上是学习实数的过程 ,是从有限小数和无限循环小数扩充到无限不循环小数 (即无理数 )的过程 .因此在学习实数时要充分认识实数的真正含义及实数的一些非概念的因素 :1 .实数a的相反数是 -a,符号相反的两数的绝对值相等 ;注意不要忽略 0的相反数也在其中 .0虽然没有正负符号之分 ,但它仍然存在相反数 .因此 ,求实数的倒数时应除 0外 .2 .数轴上每一个点都表示一个实数 ;相反 ,任何一个实数都可以在数轴上找到一个点表示 (可以是有理数或无理…     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)给出运算"※",记a※b=a(ab+7),试求3※x=2※(-8)中的x值.(2)在一列数:a_1,a_2,a_3…,a_n中,设a_1=-(1/2),从a_2开始,每个数都等于"1与它前面的那个数的差的倒数"那么a_(2018)=_.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2.已知5个正数中,每4个数的积分别是30,60,24,120,40.求这5个数.(北京市海淀区世纪城三期春荫园11号楼2单元1C(100097)胡怀志)     

中考求值创新题举例

求值问题的题型已不再是单一的常规题型,出现了许多富有新意的创新题型．下面举例说明．一、游戏题例1 (湖南益阳)甲、乙两同学进行数学猜迷游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身,乙说一个数b的倒数也等于本身,请你猜一猜|a-b|=____．析解欲求|a-b|,首先应知道a、b之值,由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值,因此易得a a=0,1/b=b,     

韦达定理、根的判别式携手求最值

在一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.例1已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.     

1997年初中数学竞赛试题参考答案

第一试一、选择题1．下述四个命题（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（3）a2的平方根是 |a|（4）大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有（A）l个（B几个（c）3个（D）41解（l）、（2）、（4）是错误的命题，故造（C）．么满足上述不等式的整教x的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7N4（H－／Z）wtxwtZ（H＋H）1．27…wtx＜73…故选（C）．3．若实数a，b，c满足a’＋b‘＋c’＝9，代数式ta—b）’＋（b－c）’＋（c－a）’的最大值是（A）27（B）18（C）15（D）12拐（a－b）2＋（b…     

一道易错的最值题

例题设0相似文献   

乘法公式应用举例

<正>灵活地运用乘法公式,可起到快捷求解目的.因为公式中的字母a、b既可以表示数,也可以表示代数式,所以在实数的运算,代数式求值,分式的运算,因式分解以及根式的运算方面都有着广泛的应用.现举例说明如下.一、在实数运算方面的应用.利用完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2,平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2,可以     

倒数的作用也不少

同学们都知道,乘积是1的两个数叫做互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数.为方便起见,利用式子表示:如果ab=1,那么a叫做b的倒数,即a的倒数是b,或b的倒数是a.利用倒数的关系有时可以帮助我们解决不少问题呢,下面举例说明,或许对你今后的学