三角形内心的一个性质及推广

<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB,     

两道数学题的另证

<正>题1[1]如图1,在锐角△ABC中,M为边AB的中点,AP⊥BC于点P,△BMP的外接圆与边AC切于点S,延长MS、BC交于点T.证明:直线BT与△AMT的外接圆切于点T.证明如图1所示,连接MP、BS.在Rt△APB中,由题设知AM=BM=PM,则∠MSB=∠MPB=∠MBP=∠MBT.     

对一道国际竞赛题的讨论

已知:圆O经过△ABC的顶点A、C,分别与AB、BC交于K、N,△ABC和△KBN的外接圆相交于点B.M,证明∠OMB=90°(二十六届国际奥林匹克竞赛题)。略证一:由于三个圆的圆心不共线,三公共弦共点于P(为么什?),则∠PMN=∠BKN=∠NCA,因此PMNC四点共圆,由此得: BM·BP=BN·BC=BO~2-r~2 PM·PB=Pn·PK=PO~2-r~2(为什么?)其中r是△ACK的外接圆半径。则FO~2-EC~2=BP(PM-BM)=PM~2-BM~2,所以O⊥LBP,∠ONB=90°。     

一道几何题的引申

命题　PQ是以AB为直径的⊙O中的一条非直径弦 ,连接PA ,BQ的直线相交于点M ,连结BP ,AQ相交于点N .则MN ⊥AB .(图 1 )图 1证明　设直线MN交AB于点K .由AB是⊙O的直径 ,由P ,Q在⊙O上知∠MPN=∠MQN =90° .所以P ,M ,Q ,N是四点共圆 .从而∠QMN =∠QPN ,即∠BMK =∠QPB .又因为∠QPB =∠QAB ,所以∠BMK =∠QAB .由∠AQB =90°知∠QAB +∠QBK =90°.所以∠BMK+∠QBK =90°,即∠BMK +∠MBK =90°.　　所以∠MKB =90°,故MN ⊥AB .经笔者探讨 ,发现圆的这一性质 ,在圆锥曲线中仍然成立 .如果将椭圆的长轴…     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

对1842号问题及一个相关内容的再探讨

1842号原题 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF是等腰三角形,且∠EDF=90°.求△DEF面积的最大值.贵刊在2010年第4期上登载了该问题的解答.现对该问题及一个相关内容再作如下探讨,用另一种方法求出△DEF面积的最大值和最小值.如图1,△DEF就是符合题设的三角形.过点D分别作DM⊥CA、DN⊥CB,垂足分别为M、N.因为∠DME=∠DNF=90°,DE＝DF,又易证∠1=∠2,所以Rt△DME≌Rt△DNF.所以DM=DN.所以点D在∠ACB的平分线上.当DE⊥CA时,必有DF⊥CB,反之亦然.这时直接可得点D在∠ACB的平分线上.又点D在AB上,因此,点D是唯一的.由此可知:所有符合题设的△DEF均以唯一的点D为公共顶点.连结CD,CD即为Rt△ABC的角平分线.     

一个图形中的多种均值线段

如图 ,半径为R、r的两圆相互外切于点T ,AB为两圆的外公切线 ,连结AT、TB ,作过T点的两圆的内公切线TC交AB于C .连OC、O′C ,分别交AT、BT于M、N .有以下结论成立 :(1)图中所有直角三角形都相似 ;(2 )除两圆半径外 ,所有的线段都是某些线段的均值线段 .下面分析论证 :1° .先证明Rt△AMC∽Rt△OMA∽Rt△OAC .∵　CA、CT为⊙O切线 ,A、T为切点 ,∴　CA =CT ,且∠ACO =∠TCO .∴　OC⊥AT .而　∠OAC =90° ,∴　△OAC为直角三角形 .∴　Rt△AMC∽Rt△OMA∽Rt△OAC .2° .证明　Rt△AMC≌△Rt△TMC .在Rt△A…     

三角形高上距垂足近的三等分点的性质

<正>性质1如图1,任意△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,P是AD上距垂足近的三等分点,以P为圆心,PA为半径的圆交BC或其延长线于点M、N.则△AMN是等边三角形.证明连结PM,∵P是AD的三等分点,1∴PD=PA,2而PA=PM,1∴PD=PM,2在Rt△PDM中,显然∠PMD=30°,从而∠MPD=60°,∵∠PMA=∠PAM,1∴∠PMA=∠MPD=30°,2∴∠AMN=∠PMA+∠PMD=60°,     

三角形中等角线的性质

<正>如图1,OD与OE是过角BOC顶点O的两条射线,若∠BOD=∠COE,我们称OD,OE为∠BOC的一组等角线.1.三角形内角等角线的性质性质1如图2,△ABC中,AM、AN是∠BAC的等角线(即∠BAD=∠CAG),BD⊥AM于点D,BE⊥AN于点E,CF⊥AM于点F,CG⊥AN于点G,则D、G、E、F四点共圆.证明连结DE、FG.由AM、AN是∠BAC的等角线可知∠BAD=∠CAG.显然易知Rt△ADB∽Rt△AGC,因此∠ABD=∠ACG.易证A、B、D、E四点共圆,于是     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

数学问题解答

20 0 3年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 42 6　AN是△ABC的角平分线 ,AN的延长线交△ABC的外接圆于D ,M是AN上一点 ,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F ,DF交AB于P ,DE交AC于Q .求证 :P、M、Q三点共线 .(江西省宜丰县二中　龚浩生　 33630 0 )证明　如图 ,连结PM、QM、BD .因为∠PAD =∠MAC ,∠ADP=∠ACM ,所以∠BPD =∠NMC ,△APD ∽△AMC .又∠PDB =∠MCN ,所以△BDP∽△NCM ,所以 PBMN =PDMC =APAM.所以PM ∥BN ,即PM ∥BC .同理 :QM∥BC所以P、M、Q三点共线1 42 7　ai(i =1 ,2 …     

一道中国香港数学奥林匹克几何题的另证

第12届中国香港数学奥林匹克的第3题如下:题目在Rt△ABC中,已知∠C=90°.作CD⊥AB于点D.设O是△BCD外接圆的圆心.在△ACD内有一圆Γ1分别与线段AD,AC切于点M,N,并与⊙O相切.证明:(1)BD.CN+BC.DM=CD.BM;(2)BM=BC.文[1]提供的参考答案是从证明一个不容易想到     

线线垂直的证明方法

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1 .利用垂直的定义来证例 1　如图 ,已知 :△ABC的高AD ,BE相交于点H ;F ,G分别是AC ,BH的中点 .求证 :DG⊥DF .分析 :欲证DG⊥DF ,只需证∠GDF =90° .观察图形 ,由已知条件知∠ADB =90° ,故只需证∠ADF =∠GDB .证明 :∵DF是Rt△ACD斜…     

数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

三谈相交两圆的性质及应用

本文再给出相交两圆的几条性质及应用的例子.性质1两圆⊙O_1与⊙O_2相交于P,Q两点,△PO_1O_2的外接圆分别交⊙O_1于R,交⊙O_2于S,则点Q为△PRS的内心或旁心.证明如图1(1),由∠PRQ=1/2∠PO_1Q=∠PO_1O_2及∠PO_1O_2=∠PRO_2,有∠PRQ=∠PRO_2,即知R,Q,O_2三点共线.     

一个角何时不小于它的射影角

定义　设∠ BAC的两边分别与平面α相交于 B、C,AO⊥α于 O,我们把∠ BOC叫做∠ BAC在平面α上的射影角 (图 1 ) .对上述两个角 ,不少人误认为总是射影角大 ,为更正这一错误 ,我们借助圆将空间问题平面化 ,简捷地给出一个角何时不小于它的射影角 .定理　在∠ ABC为钝角的△ ABC中 ,BC 平面α,AO⊥α于 O,以直线 BC为轴 ,依不超过 90°的旋转角将△ ABC及其外接圆旋转到平面α内 ,点 A到达 A′位置 ,则有 :( 1 )当点 O在圆上时 ,∠ BAC=∠ BOC;( 2 )当点O在圆外时 ,∠ BAC >∠ BOC.证明　设 AH⊥ BC于 H ,由∠ B为钝角…     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…     

初中平面几何基础培优讲座之十 正三角形综合练习(下)

<正>例12(1991年北京市中学生数学竞赛初二年级复赛试题四)如图11,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作ー个60°的角,角的两边分别交AB于M,交AC于N.连接MN,形成一个三角形AMN.求证,△AMN的周长等于2.证明因为∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=∠BCD=30°.