Bubble-sort图和Modified Bubble-sort图的自同构群

Bubble-Sort图和Modified Bubble-Sort图是两类特殊的Cayley图,由于其在网络构建中的应用而受到广泛关注.本文完全确定了这两类图的自同构群.     

有限秩的幂零群的自同构

设幂零群G=KP=PK,其中P是有限秩的幂零π-群,K是G的有限秩的π′-自由的正规子群.π不属于K的谱Sp(K),设1=ζ0Gζ1G…ζcG=G是G的上中心列,α和β是G的两个自同构,把α和β在每个商因子ζiG/ζ(i—1)G上的诱导自同构分别记为αi和βi,记Ii:=Im(αiβi—βiαi),则(i)当每个Ii都是有限循环群,并且I:=〈(αβ(g))(βα(g))(-1)|g∈G〉是G的有限子群时,α和β生成一个可解的几乎Abel群.(ii)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群,或者是无挠的局部循环群,或者Ii有正规子群列1JiIi,其商因子分别为有限循环群,无挠的局部循环群,或者Ii=D⊕Ji,其中D是秩1的可除群,Ji为无挠的局部循环群,或者Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群,秩1的可除群,无挠的局部循环群时,β和β生成一个可解的NAF-群.特别地,如果α和β是A的两个π′-自同构,那么(iii)当每个Ii都是有限循环群,并且I:=〈(αβ(g))(βα(g))(-1)|g∈G〉是有限群时,α和β生成的群是有限幂零π-群被有限Abelπ′-群的扩张.(iv)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群时,α和β生成一个可解的剩余有限π∪π′-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限可解π∪π′-群的扩张.(v)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群,或者是无挠的局部循环群,或者Ii有正规子群列1JiIi,其商因子分别为有限循环群,无挠的局部循环群,或者Ii=D⊕Ji,其中D是秩1的可除群,Ji为无挠的局部循环群,或者Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群,秩1的可除群,无挠的局部循环群时,α和β生成一个可解的剩余有限π∪π′-群,它的幂零长度至多是4.当K是FC-群时,在情形(v)中,α和β生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限可解π∪π′-群的扩张.此外,如果G=KP,K是一个FC-群,对G的下中心列考虑了类似的问题,得到了对偶的结果.     

弦图的最大权强独立集

一、 引言 本文中未加说明的图论术语来自文献[1]。图G=(V,E)称为弦图,如果G的任何长度大于3的圈都有弦,或者等价地,任何长度大于3的圈都不会是G的点导出子图。本文中,子图总是指点导出子图,点子集S导出的G的子图记为G[S]。团是指完备子图,通常用它的点集来表示。如果图G的每个点v都带有点权w(v),则点子集S的权定义为S中点的权的和。     

有限秩的幂零π-群的自同构

设G 是有限秩的幂零π-群, α 和β 是G 的两个自同构. 设1=ς₀G < ς₁G < …< ς_cG=G是G 的上中心列, 把α 和β 在每个商因子ς_iG/ς_i-1G 上的诱导自同构分别记为α_i 和β_i. 如果每个Im(α_iβ_i-β_iα_i) 或者是循环群, 或者是T⊕D, 其中T 是循环群, D 是秩1 的可除群, 那么α 和β 生成一个可解的NAF-群. 特别地, 如果α 和β 是G 的两个π′- 自同构, 那么
(i) 当每个Im(α_iβ_i-β_iα_i) 都是循环群时, α 和β 生成的群是有限幂零π- 群被有限Abel π′- 群的扩张.
(ii) 当每个Im(α_iβ_i-β_iα_i) 或者是循环群, 或者是T⊕D, 其中T 是循环群, D 是秩1 的可除群时, α 和β 生成一个剩余有限π ∪ π′- 群A, A 有正规列1≤C≤B≤A, 其中C 是有限生成的无挠幂零群, B/C 是有限幂零π- 群, A/B 是有限Abel π′- 群.
此外, 对于G 的下中心列考虑了类似的问题, 得到了对偶的结果.     

群与图及相关课题的研究

本综述了把群与图综合起来进行研究的一些工作,简述了与之相关的一些课题,并提出了有待解决的一些问题。     

有限秩的幂零群的自同构(I)

研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了qquad {heiti定理}quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-!群, ~$K$ 是~$G$,的有限秩的~$p^prime$-!自由的正规子群, ~$p$, 不属于~$K$,的谱~$S_p(K)$. 设~$alpha$ 和~$beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-!自同构,记~$I:=langleleft(alphabeta(g)right)cdotleft(betaalpha(g)right)^{-1}, |, gin G rangle, $ 则qquad (i) 当~$I$, 是有限循环群时, $alpha$ 和~$beta$生成一个有限~$p$-!群;qquad 在下列2种情形下, ~$alpha$ 和~$beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-!群的扩张.qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{infty}}$ 时;qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}oplus Z_{p^{infty}}$ 时;qquad 在下列4种情形下, $alpha$ 和~$beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-!群, 它的幂零长度至多是~$3$.qquad (iv) 当~$I$, 是无挠的局部循环群时;qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时;qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{infty}}times J, $ 其中~$J$,为无挠的局部循环群时;qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了qquad {heiti定理}quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-!群, ~$K$ 是~$G$,的有限秩的~$p^prime$-!自由的正规子群, ~$p$, 不属于~$K$,的谱~$S_p(K)$. 设~$alpha$ 和~$beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-!自同构,记~$I:=langleleft(alphabeta(g)right)cdotleft(betaalpha(g)right)^{-1}, |, gin G rangle, $ 则qquad (i) 当~$I$, 是有限循环群时, $alpha$ 和~$beta$生成一个有限~$p$-!群;qquad 在下列2种情形下, ~$alpha$ 和~$beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-!群的扩张.qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{infty}}$ 时;qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}oplus Z_{p^{infty}}$ 时;qquad 在下列4种情形下, $alpha$ 和~$beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-!群, 它的幂零长度至多是~$3$.qquad (iv) 当~$I$, 是无挠的局部循环群时;qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时;qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{infty}}times J, $ 其中~$J$,为无挠的局部循环群时;qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了qquad {heiti定理}quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-!群, ~$K$ 是~$G$,的有限秩的~$p^prime$-!自由的正规子群, ~$p$, 不属于~$K$,的谱~$S_p(K)$. 设~$alpha$ 和~$beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-!自同构,记~$I:=langleleft(alphabeta(g)right)cdotleft(betaalpha(g)right)^{-1}, |, gin G rangle, $ 则qquad (i) 当~$I$, 是有限循环群时, $alpha$ 和~$beta$生成一个有限~$p$-!群;qquad 在下列2种情形下, ~$alpha$ 和~$beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-!群的扩张.qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{infty}}$ 时;qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}oplus Z_{p^{infty}}$ 时;qquad 在下列4种情形下, $alpha$ 和~$beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-!群, 它的幂零长度至多是~$3$.qquad (iv) 当~$I$, 是无挠的局部循环群时;qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时;qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{infty}}times J, $ 其中~$J$,为无挠的局部循环群时;qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1其商因子分别为有限循环群、拟循环~$p$-!群、无挠的局部循环群时.qquad 特别地, 当群~$K$ 是一个~$FC$-!群时, 在上述后4种情形下,~$alpha$ 和~$beta$生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-!群的扩张.qquad 运用发展出来的方法, 还证明了几类有限秩的幂零群的自同构群的有限生成子群是剩余有限的.     

有限秩的幂零群的自同构(Ⅱ)

设幂零群G=KP=PK,其中P是有限秩的幂零p-群,K是G的有限秩的p-自由的正规子群,p不属于K的谱Sp(K).设1=ζ0Gζ1G···ζcG=G是G的上中心列,α和β是G的两个p-自同构,把α,β在每个ζiG/ζi-1G上的诱导自同构分别记为αi和βi,又记Ii:=Im(αiβi-βiαi),则(i)如果每个Ii都是有限循环群,并且I:=(αβ(g))(βα(g))-1|g∈G是G的有限子群,那么α和β生成一个有限p-群;(ii)如果Ii或为有限循环群,或为拟循环p-群,或为Zpn⊕Zp∞对某自然数n,那么α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;(iii)如果Ii或为有限循环群,或为拟循环p-群,或为Zpn⊕Zp∞,或为无挠的局部幂零群,或Ii有正规列1JiIi,其商因子分别为有限循环群、无挠的局部幂零群,或Ii=Zp∞⊕Ji,Ji为无挠的局部幂零群,或Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群、拟循环p-群、无挠的局部循环群,那么α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它的幂零长度至多是3.特别地,当K是一个FC-群时,在情形(iii),α和β生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.此外,如果G=KP里,K是一个FC-群,对G的下中心列考虑了类似的问题,得到了\"对偶\"的结果.     

高度图的独立集复形

给定图G，称以G的所有独立集为单形的抽象复形I（G）为G的独立集复形．如果两个图G和H的独立集复形I（G）和I（H）的各阶同调群都是同构的，则称两个图是独立同调的．J（G）表示Gc的连通分支数，J3K2（G）表示Gc中同构于（3H2）c的连通分支数．本文研究了最小次δ（G）至少为其阶数|V（G）|减5的图G的独立集复形的结构，对满足δ（G）≥|V（C）|5，δ（H）≥|V（H）|－5的两个图G和H，（I）证明了，G和H独立同调的充要条件为J（G）＝J（H），J3K2（G）＝J3K2（H），且I（G）和I（H）的Euler示性数相同．（Ⅱ）给出了一个在图上计算I（G）的一维Betti数的方法，得到了一个I（G）是无圈复形的充要条件     

有限秩的幂零群的自同构(Ⅰ)

研究了有限秩的幂零群的自同构,证明了定理设幂零群G=KP,其中P是有限秩的幂零p-群,K是G的有限秩的p′-自由的正规子群,p不属于K的谱S_p(K).设α和β是G的两个p-自同构,记I:= <(αβ(g))·(βα(g))~(-1)|g∈G>,则(i)当I是有限循环群时,α和β生成一个有限p-群;在下列2种情形下,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.(ii)当I=Z_p∞时;(iii)当I=Z_pm⊕Z_p∞时;在下列4种情形下,α和β也生成一个可解的剩余有限p-群,它的幂零长度至多是3.(iv)当I是无挠的局部循环群时;(v)当I有子群列1相似文献   

开关图的几个代数性质

首先对开关图的自同构群进行了研究,随即讨论了它的点传递性,并得到Calyley图的开关图依然是Cayley图.     

Tetravalent edge-transitive graphs of order p 2 q

A graph is called edge-transitive if its full automorphism group acts transitively on its edge set.In this paper,by using classification of finite simple groups,we classify tetravalent edge-transitive graphs of order p2q with p,q distinct odd primes.The result generalizes certain previous results.In particular,it shows that such graphs are normal Cayley graphs with only a few exceptions of small orders.     

4p~2阶4度半传递图

如果图X的全自同构群Aut(X)作用在其顶点集V(X)和边集E(X)上都是传递的,但作用在弧集Arc(X)上非传递,则称X是半传递图.研究了4p~2(p3且p≡-1(mod4))阶4度半传递图,确定了4p~2阶4度半传递图的连通性及其自同构群的阶.     

有限素数度弧正则图

如果一个图的全自同构群在其弧集上正则,则称此图为弧正则图.本文刻画素数度的立方自由阶弧正则图,证明任何素数度2倍奇立方自由阶弧正则图都是正规或二部正规Cayley图,且不存在任意素数度4倍奇立方自由阶的弧正则图,推广了一些已知的结果,得到阶为8倍奇平方自由阶素数度弧正则图的分类,并发现新的弧正则图类.此外,基于所得的结果,我们提出一个猜想和有待后续研究的一些问题.     

Integral Cayley Graphs over Finite Groups

We prove that the spectrum of a Cayley graph over a finite group with a normal generating set S containing with every its element s all generators of the cyclic group(s)is integral.In particular,a Cayley graph of a 2-group generated by a normal set of involutions is integral.We prove that a Cayley graph over the symmetric group of degree n no less than 2 generated by all transpositions is integral.We find the spectrum of a Cayley graph over the alternating group of degree n no less than 4 with a generating set of 3-cycles of the form(k i j)with fixed k,a s{-n+1,1-n+1,2^2-n+1,...,(n-1)2-n+1}.     

Connected cubic s-arc-regular Cayley graphs of finite nonabelian simple groups

A graph is said to be s-arc-regular if its full automorphism group acts regularly on the set of its s-arcs. In this paper, we investigate connected cubic s-arc-regular Cayley graphs of finite nonabelian simple groups. Two suffcient and necessary conditions for such graphs to be 1- or 2-arc-regular are given and based on the conditions, several infinite families of 1-or 2-arc-regular cubic Cayley graphs of alternating groups are constructed.