两圆相交的一条性质及其应用

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三谈相交两圆的性质及应用

本文再给出相交两圆的几条性质及应用的例子.性质1两圆⊙O_1与⊙O_2相交于P,Q两点,△PO_1O_2的外接圆分别交⊙O_1于R,交⊙O_2于S,则点Q为△PRS的内心或旁心.证明如图1(1),由∠PRQ=1/2∠PO_1Q=∠PO_1O_2及∠PO_1O_2=∠PRO_2,有∠PRQ=∠PRO_2,即知R,Q,O_2三点共线.     

82 相交两圆的性质

这是一节“计算机辅助教学”的课例．要准备的教具有：电脑、电子眼、投影屏幕等．］１类比引入前节课,在讨论圆和圆的位置关系时,还学习了相切两圆的性质．“两圆相切有什么样的性质？”（学生答后,显示图１）结合图１说明：两圆相切→只有一个公共点→连心线必过切点...     

三圆两两相交的一条性质

性质圆心不共线的三个圆两两相交,所得三条公共弦所在直线交且仅交于一点。证明设AB、CD、EF分别为圆心不共线的三个圆⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3的公共弦,设AB、CD(或延长线)相交于P,联结EP(或并延长)交⊙O_1于F_1,交⊙O_2于F_2。由相交弦定理(或割线定理)有PA·PB=PC·PD=PE·PF_1,PA·PB=PE·PF_2,于是得PE·PF_1=PE·PF_2,即有PF_1=PF_2。而F_1、F_2都在EP(或其延长线上),且F_1在⊙O_1,上F_2在⊙O_2上,从而F_1与F_2重合于     

相交圆的性质

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相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

两圆公共弦相关的几条性质

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圆与三角形相交或相切的性质

<正>圆与三角形的三边或其延长线相交或相切可分为多种情形,下面介绍有特点的几种情形的性质,与读者分享.情形一如图1,⊙O与△ABC的三边BC、AC、AB分别交于点D_1、D_2,E_1、E_2、F_1、F_2,则(BD_1-CD_2)BC+(CE_1-AE_2)AC+(AF_1-BF_2)AB=0.证明由割线定理得BD_1·BD_2=BF_2·BF_1,即BD_1(BC-CD_2)=BF_2(AB-AF_1),     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

圆内接四边形的一条性质及应用

圆内接四边形有如下一条有趣的结论,我们作为其性质,介绍如下：     

圆的两条性质对椭圆双曲线的推广

大家知道,圆里有两条重要性质: ①直径所对的圆周角是直角; ②平分弦的直径垂直于弦. 从解析几何角度看:在图1中若两条直线 的斜率存在,则有①kAP·kBP=-1;②kOM· kCD=-1.     

两条相交直线的轴对称命题

定理1 如果两条相交直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,那么: (1)l1,l2的对称轴的斜率为±1的充要条件是k1k2=1; (2)l1,l2的对称轴的斜率为k(≠±1)的充要条件是证明设a1,a2分别为相交直线l1,l2的倾斜角.先证条件(1),(2)的必要性.再证条件(1),(2)的充分性.     

相交圆内接蝶形的等积性质

笔者对相交圆内接蝶形进行探究时,得到了两个有趣的等积性质.定义两圆相交,若一个圆的圆弧含于另一个圆内,则称此段圆弧为该圆的内弧;若一个圆的圆弧不含于另一个圆内,则称此段圆弧为该圆的外弧.其中内弧和外弧均不包含两圆交点.如图1所示,(AGB)为⊙O2的内弧,ACB为⊙O1的外弧.     

抛物线的两条性质及其应用

抛物线的两条性质及其应用邓一先（江苏常熟市中学２１５５００）性质一如右图所示．ＡＢ是过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）轴上一点Ｍ（ａ，０）（ａ＞０）的弦，Ｎ为（－ａ，０）则ＡＮＭ＝／ＢＮＭ．证明设圳ｘｌ，ｙｉ），风ｘＺ，叫，显然有ｙｉ·。。。，。ｘ，，－...     

一条直线与三角形相交的一个性质

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相交圆内一类内接蝶形的等积性质

笔者对相交圆内接蝶形进行探究时,得到了两个有趣的等积性质.为了陈述方便,先给出如下定义:定义 两圆相交,若一个圆的圆弧含于另一个圆内,则称此段圆弧为该圆的内弧;若一个圆的圆弧不含于另一个圆内,则称此段圆弧为该圆的外弧.其中内弧和外弧均不包含两圆交点.如图1所示,(⌒)AGB为圆O2的内弧,(⌒)ACB为圆O1的外弧.     

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）文［１］介绍椭圆两条平行弦有如下两个性质．图１性质１如图１，经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＡＱ，则｜ＯＰ｜２＝...     

椭圆与圆的一条对偶性质

文[1]对椭圆的切线、准线和大圆的直径三者间的联系进行探究,得定理如下：