Nouveaux theoremes de stabilite utilisant la methode directe de Liapounov

Several generalizations are given of the first theorem of Liapounov concerning the stability of a critical point of an ordinary differential equation. One uses successively positive definite auxiliary functions, but whose derivatives are not semi-negative definite, functions having a pole located at the critical point, and at last functions which are not positive definite, although they are positive everywhere. Finally, an optimal stability criterion is determined for a certain class of such criteria.

Zusammenfassung

Es werden mehrere Verallgemeinerungen über den ersten Lehrsatz von Liapounov bezüglich der Beständigkeit eines kritischen Punktes einer gewöhnlichen Differential gleichung gegeben. Man verwendet fortlaufend positiv bestimmte Hilfsfunktionen, deren Differentialquotienten jedoch nicht halbnegativ bestimmt sind, nachdem die Funktionen einen im kritischen Punkt lokalisierten Pol haben, und schliesslich Funktionen die nicht positiv bestimmt sind, obwohl sie überall positiv sind. Abschliessend wird ein optimales Beständigkeits-kriterium festgelegt für eine bestimmte Klasse solcher Kriterien.

Abstract

Пrивoдитsя rяд oбoбщeNий пerвoй тeoreмы ЛяпuNoвa oб usтoйchивosти кrитиchesкoй тochки oбыкNoвeNNoгo диффereNциaльNoгo uraвNeNия. ПrимeNяuтsя пosлeдoвaтeльNo пoлoжитeльNo oпreдeлeNы вsпoмaгaтeльNыe фuNкции, пroизвoдNыe кoтorых Ne являuтsя пoлu-oтrицaтeльNo oпreдeлeNNыми, фuNкции s пoлusoм Naхoдящимsя в кrитиchesкoй тochкe, и NaкoNeц фuNкции, кoтorыe Ne являuтsя пoлoжитeльNo oпreдeлeNNыми, хoтя oNи вeздe пoлoжитeльNы. NaкoNeц oпreдeляeтsя oптимaльNый кrитerий usтoйchивosти для Neкoтoroгo клassa тaких кrитerиeв.     

Equations differentielles non lineaires: Differentiabilite des solutions par rapport aux conditions initiales et problemes de la stabilite

In this paper, we examine the problem of the asymptotic stability of the solutions of a differential equation (E), Y = X(Y, t), from the point of view of the differentiability of the solutions with respect to the initial conditions. The method allows us to deal with cases in which the mapping X is not differentiable everywhere, and in which the variational equation of (E) is not defined in the usual meaning. This method can be carried on for the research of periodic solutions. We give two examples.

Zusammenfassung

In diesem Bericht wird das Problem der asymptotischen Stabilität der Lösungen einer Differential Gleichung (E), Y = X(Y, t), vom Standpunkt der Differenzierbarkeit der Lösungen in Bezug auf die Anfangsbedingungen untersucht. Das Verfahren erlaubt die Fälle zu behandeln, worin die Abbildung X nicht überall differenzierbar ist, und worin auch die Variations Gleichung nicht im üblichen Sinne definiert ist. Das Verfahren kann erweitert werden zur Untersuchung periodischer Lösungen. Zwei Beispiele werden vorgeführt.

Abstract

B aдннoй paбaтe иccлeдyeтcя вoпoc oб accимeтpиХecкoй ycтoйХибocти peшeний диффepeHциaлънoгo ypaвнeния (E), Y = X(Y, t), c тoХки зpeния диффepeнциpyeмocти peшeний пo oтнoшeнию к нaХaлъным ycлoвиям. Иcпoлъзyeмый мeтoд дaeт вoзмoжнocтъ иccлeдoвaтъ cлyХaи, кoгдa пpeoбpaзoвaниe X нe вcюдy диффepeнциaлнoe. Bapиaциoннoe ypaвнeниe для oпpeдeляeтcя нecкoлъкo инaХe Хeм oбыХнo. Дaнный мeтoд мoжeт иcпoлъзoвaтъcя для иccлeдoвa*ncy;ия пepиoдиХecкиx peшeний. Дaютcя двa пpимepa.