关于Miloevi不等式的加强

1991年，D．M．Milosevic建立了一个关于三角形的不等式’[1]．其中表示对a、b、c循环求和·1992年，陈计建立了下面不等式D’；＞？cos‘AZ手．（2）注意到熟知的R．Kooistera不等式［‘1．＿．、A＿3．＿、3’Sin‘二）ML．（3周才凯在文［4j中给出了（2）的一个加强：＿，－＿2－＿、A、。＞’cos’AM；（＞Isin’Y）‘．（4）最近，杨晋在文［sj中对（l）、（2）进行了强弱比较，得到：针对（4）、（5），文［5］提出了如下猜测：本文证明（6）成立，且推广为：其中kMO．证明由公式及柯西不等式，得不妨设。＞b＞C，RO由等知，…     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

由柯西不等式的证明所想到的

如果ai，bi（i=1，2，…，n）是任意实数，则式中等号，当且仅当时成立．这就是柯西不等式，其证明过程是：构造二次函数：且等号在时成立．这个不等式证明的关键是构造二农函数，这个村道往往使学生觉得神秘莫测，不可思议．事实上，把柯西不等式两边同乘以4，移项后得容易联想到一元二次方程报的判别式，这样构造①式就合情合理了．遇到有相同结构的式子，构造二农函数就会左右逢源、得心应手．。1。。中二l，8证：b’＞4ac·证明构造二农函数：f（）一ax’＋6x十c，Jib－ZC——二1，aaJHb＋Zc＝0，Ji、八一一一一一）202二次方程ax’…     

也谈三角形界心的性质

（其中N为九点圆圆心）．证明在三心构成的bOlll中，OJ＝R—Zr，JH—2ofRi－－－－－－u，OH＝JbRnn＝MIMMi＝27；又OG：GN：NH一2：1：3，说明N是OH中点，故应用中线公式可得JN一十（2·QI2＋2·JHZ—OHZ），数据代人化简，即得欲证．我们还得到如下结论：对不等边西周兀来说：事实上，由于N为OH中点，若I与J在OH异侧，由（4）即知（5）成立．下面用反证法证明I．J不会在OH同侧．若相反，作I关于OH对称点I’（如图6）．应用余弦定理可算出即JI’＝H，但显然。”＞H，矛盾．也谈三角形界心的性质@张延卫$江苏沭阳县教…     

用黄金数的性质解数学竞赛题

黄金数=618033989…以其美妙的比值在美学、艺术、建筑和曰常生活等方面都有着广泛的应用，吸引了一大批古今中外的学者对其进行深入研究．关于它，有一个奇特而和谐的性质，倍受近年国内各地各级各类数学竞赛命题者的青睬．注意到黄金数满足方程W‘＋W一1一0，警系数列W，。’，W‘，…，我们有W’—一W＋1，旧约可得，如下定理w”一（一1）””‘。w＋（一1）”。－l＿、．、＿＿Ji一1＿。。＿、n＋＿（n6N）．真中，w一上十7J，a．是斐没那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，。，…的第n顶（现定a。一0）．上述结论富易借助数学旧纳沃…     

一个极值问题的新解

编者按：本刊1998年第11期刊出单薄先生《一个极值问题》一文后,编辑部先后收到不少读者的来稿,对如何求函数1,b＞O）的最小值提供新解法,现综合摘登如下：华罗庚先生曾提到函数的最小值问题,并介绍了八种解法．单博先生不久前给出了第九种解法．（见卜］）下面我们再补充三种解法．解法（－）我们讨论更一般的函数f（）一而7无一x（。＞0）（2）的最小值,其中a＞1,b＞O．（以上解法由陕西师大数学系惠州人和浙江绍兴马山中学戴志祥给出．）解法（二）由恒等式（ax－by）‘一（a’－b2）·（x’－y勺十（ay—bx）’立即可知：对于a…     

不可压混流驱动问题的最小二乘混合元方法

1引言考虑多孔介质中两相不可压缩可混溶渗流驱动问题,它是由一组非线性耦合的椭园型压力方程和抛物型浓度方程组成：dVV。—一山人V什）gVV却）一q,VEn,（．1）＆,,。＿．、。。—一。x）＿＋u·grade－dlv（D（u）grade）一（1－c）q－,xEn,tEJ,（1．2）＆”－－’”””‘”－”””——－’——,、—’一其中a（）一a（x,c）一是（x）／卢（c）,J一［0,Ti,DcyR‘为水平油藏区域．方程式（1．l）一（1．2）中各物理量的意义如下：广为流体压力,c为流体的浓度,u为流体的Darer速度,叶为源汇项,／一—。x（q,O）,…     

西北工业大学(1996—1997学年第1学期)高等数学试卷(A卷)

一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）1．设厂（x）一g（x），则dfsin’x）2。。。。s。n手十。。s士。－；3·。f。x。－l。－In＿，。f。。。x。。－Inx，。。仁。x。dx－·二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均得零分）1．设函数人X）在［O，1」上有产（X）＞0，且尸（0）20，则／（1），广（o），八1）一八0）或f（）一人1）的大小顺序是：（A）f（1）＞f（0）＞f（）一f（）；（）f（1）＞f（1）一f（）＞f（0）；（C）f（）一f（）＞广（l）＞广（0）；（D）f（l）＞f（）一f（）＞广（0）答：「j2·设ah＜…     

三个等价不等式及其变换

下面三个代数不等式互相等价：l．已知二、b、CeR牛，求ill：－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－M——：（1〕h＋r广十rsn＋h一2（n＋h十厂）’”一”2．（1963年莫斯科数学竞赛题）已知a。b、Ce矿，求证：－－－－－－－－＋－－－－－－－－－＋－－－－－－－－－－MM；门）h十。广十co＋h一J””一”3．（1988年第二届“友谊杯”试题）已知二、b、CER”，求证：－－－－－－－－＋－－－－－－－－－－－＋－－－－－－－－＞；（。＋h＋f）：h＋f·t、＋I7H＋h一7”一（3）证明先证（l），由三元均值不等式可…     

对求一类函数值域常见错误的评析

在求y=的值域时，有一种特殊情形很易造成解答错误，这就是当有解时的情形，变即点P（m，n）在单位圆上时．错解1田原函数得很值域：y∈R．错解2由方能2式8锗解3接解2中Q一4（、了y—1）’＞0，＆yER（y4Jx）．综合（l）、（2）得原圄数的值图为：yER巨y一、了．利用数形结合可将问题转化为来革应圆＿－。＿＿＿＿＿．IJM、、。＿＿＿＿上的初点与定点P（一步，斗上）连线科率的＿＿＿＿＿＿．IJ3、＿＿＿＿，＿取值范围．因P（一会，并广）在革应圆上，故＿。。＿＿、＿＿＿．IJi、＿＿＿＿＿＿函数值除过点P（一台，并广）的圆的…     

读者来信

数学通报1998年12期“关于求多元对称函数极值的一个磨光法”一文,理论上是正确的,但后文中的例2是错误的．文中将“－”号误为“＋”号．改正后,不能证明（。）式＞0,例如令a;、1,a。、l,a;学a。,a。－…－an二0,（。）式＜0,因之,不等式（2）（3）（以及其推广情形）根本不能用本文定理2加以证明．2不等式（3）是一个错误的不等式．例如令定理1证明中的“X1’‘’－—一（一二L一）”－’（X;二）”应改为（－——）‘－’（X;一旦）以上意见供参考．读者来信@续铁权     

变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

高中数学“短平快”同步练(6)

[高一代数]指、对数函数选择题1．（a＋5）‘的值为（）．（A）0（B）1（C）无意义（D）不确定2．已知n－Z＞n－Z，则n的取值范围是（）．（A）0Mn＜1（B）n＞1（C）n＞0（D）n＜13．对于指数函数y—a”，以下命题中是假命题的是（）．（A）a‘士1（B）函数的定义域与值域相同（C）函数为非奇非偶函数（D）a＞1，x＞0时，y＞l4．对于指数函数y—a”，有a“’一1．4，则a的取值范围是（）．（川a＞1（以0＜a＜1（oa＜亚（ma＞05．函数y一IOgJS（a／十3ax十a十2）的定义域为R，则a的整数值是（）．（A）1（B）0（C）1或0（D）其他6…     

1997年初中数学竞赛试题参考答案

第一试一、选择题1．下述四个命题（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（3）a2的平方根是 |a|（4）大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有（A）l个（B几个（c）3个（D）41解（l）、（2）、（4）是错误的命题，故造（C）．么满足上述不等式的整教x的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7N4（H－／Z）wtxwtZ（H＋H）1．27…wtx＜73…故选（C）．3．若实数a，b，c满足a’＋b‘＋c’＝9，代数式ta—b）’＋（b－c）’＋（c－a）’的最大值是（A）27（B）18（C）15（D）12拐（a－b）2＋（b…     

高中数学综合训练题

选择题（正确选项唯一）：1全集I=R，集合M＝{x1，x2，x3，x4}，集合N={y1，y2，y3}，则集合（MO刃）U（MUN）中至少含有（）（A）3个元素（B）4个元素（C）7个元素（D）10个元素2使“a＞b＞0”成立的一个充分不必要的条件是（）（A）（。－2）t＞（hi）t（B）。2＞bZ＞0（C）lga－lgb＞0（D）l．a＞xb且x＞03关于复数有如下三个命题：（1）任何两个复数都不能比较大小；（2）若if—zZki（z，12，kEC），则2【，22所对应的向量互相垂直；（3）虚数Z的辐角主值是中，则Z‘的辐角主值其中正确命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（…     

广义积分integral from n=0 to 1()((1n)~(k-1)t)/(1 t)dt与级数Sum from n=1 to ∞() ((-1)~(n-1))/n~k间的关系及计算

定理1设k是正整数，则有证明记由于易知又由于所以所以（6）式为在（8）中取、r—－1，有在（9）中作变换L—一X有＿＿、＿．l．＿＿、，＿I。〔h〔，＿＿＿rp（－1）＿。＿。L、，＿＿＿。。＿＿＿＿，＿。。定理1给出了广义积分l；：＝一体与级数西二个一之间的关系。下面的定理2将给出‘“““””“’””””“”JI＋t”’”””“‘“’””“““””“’””““”“”‘”“““计算级数Zirn／一的一个递推公式。它相9地将人X）展成余弦级数（14）式为一递推公式，继续递推并注意到八二I。。Snxdx一O，则（14）为在（16）式中…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅳ)

例题讲解25设0≤ai≤9(i＝0，1，2，n，）。）且。，；产0，A—10’la＋10”’a。；－I＋…＊10al＋ac（1、）作AI＝D（A）＝。，；十2。；；l＋2、，；，十··＋2”Ial＋2”a。（z）AZ＝D（AI），A3＝D（AZ），…（1）证明：对任意自然数A，在上述过程中必出现Ah＜20，使D（Ah）一Ah门）若A＝1998，试确定Ah使D（Ah）一Ah证明（1）若，I＝0即A为一位数，则D（A）＝A；若n—1即A为两位数，则A－D（A）＝（10al＋ac）－（al＋Zan）一901－10（3）故A—D（A）＞0即A＞D（A），当且仅当川”1，。0“9，即A＝19时成立等号若…     

对一道课本习题答案的纠正

中等师范学校数学教科书（试用本）《几何》第一册（人民教育出版社中学数学室编著,1993年12月第1版）P164第5题：圆锥的母线长为l,它和底面所成的角为0;求这个圆锥的内接正方体的棱长．教学参考书（人民教育出版社中学数学室编著,1994年12月第1版,1997年2月第3次印刷）上给出的参考答案“内接正方体棱长一ZISlfls·COS6．．＿,。。、＿,,、、,,。＿＿－,王三千7三千”是错误的,学生解答时也极易得出Sill6＋2C0。6““””。。,,。。’。。。———＿。—。这样的错误结论．正确结果应是lsin26、,,。,、。。、。＝＝－…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅷ)

例题讲解57．求正整数k，使其满足（a）、（b）两个条件：（。）对任意正整数n，不存在j，0＜j＜n—kMI，使数列C；，C；”，…，Q”‘－’为等差数列．（b）对某些正整数n，存在j，0＜j＜。一kM2，使数列C：，C：”’，…，C：“‘’为等差数列．解试讨论对于怎样的n及k，C士，C二，Cf”’恰成等差数列．欲CS’、C二、CY‘成等差数yu，应有于是（n＋2）应为完全平方，设为u’（u＞0），则卜一Zki—u，n一u‘一2（2）又由C：随厂变化的规律，可设由上面的结果可知，仅对形如（u’一2）（u＞3）的自然数n，当j一会（u‘一u一2）一1时…     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...