2004年高考江苏卷第20题的推广

今年数学高考试卷(江苏卷)第20题是很有创意与特色的一道好题,令人耳目一新.笔者对此题进行了研究,将其中第(Ⅱ)题作了一系列推广.试题设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n,求所有的无穷等差数列{a_n},使得对于一切正整数k都有S_(k~2)=(S_k)~2成立.答案共有三个满足条件的无穷等差数列:     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题： 已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质：     

等差数列中与Sn有关的最值问题

等差数列前n项和的最值问题不是简单的数的累加,它揭示了数与数之间的关系,蕴含了数学思想和方法,体现了由量变到质变的规律.在求与等差数列前n项和有关最值问题时,往往要涉及二次函数的图像和性质,同时对等差数列性质的灵活应用也提出较高要求.笔者通过一道例题的一题多解发散学生思维,又通过一题多变活跃学生思维.     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

<正>普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题:已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质:设等比数列{a n}的公比q≠1,其前n项     

“破解”数列综合问题

高考对数列问题的考查主要涉及等差数列与等比数列、数列的通项与求和以及数学归纳法．数列型客观题主要考查等差数列与等比数列的基本性质;数列解答题大多以递推数列、数学归纳法内容为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,其难度大、区分度高．     

一道数列综合题的解法分析

题 1　已知 {ａｎ}是等差数列 ,其公差为ｄ ;{ｂｎ}是等比数列 ,其公比为 ｑ >1 .若ａ2 =ｂ2 =2 ,ａ4=ｂ4.1 )比较ａ1与ｂ1,ａ3与ｂ3的大小 ;2 )猜想并证明ａｎ 与ｂｎ 的大小关系 (ｎ≥ 5 ) .这是成都市 2 0 0 0届高三第一次诊断考试理科数学第 2 3题 ,试题遵循了“能力立意、强调综合、注重数学思想和方法考查”的高考命题原则 ,载体平凡 (等差数列和等比数列 ) ,综合度高 (基础知识和基本数学思想方法两方面都有体现 ) ,总体难度较大 ,可谓整套试卷的把关题之一 ,下面就解题思路的获得和解题方法的优化等谈谈我们的看法 ,供读者参考 .1　…     

一道初中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

2001年TI杯全国初中数学竞赛第14题是一道精彩的几何题,尤其是结论中三条线段成调和数列(即倒数成等差数列),倍受竞赛选手和老师的关注,给出多种证法,但都是纯几何证法.我们拟给出一种解析证法,并把它推广到圆锥曲线中去.     

一道高考试题的教材背景及推广探究

2011年高考数学湖北卷的19题,是一道数列综合题,主要涉及等差数列、等比数列、数列的前n项和等基础知识,同时考查学生的推理论证能力,以及分情况讨论的思想.该题取材于课本,经过加工改     

对题目本质的认识才是最深刻的认识

问题　等差数列 {ａｎ}中 ,前ｍ项和Ｓｍ =Ｓｎ(ｍ ≠ｎ) ,求Ｓｍ+ｎ 的值 .文[1 ]给出了该题的三种解法 ,并借此说明对“不同的解题思维层次”的理解 .但这三种解法都未达到深刻的思维层次 ,关键在于未能抓住题目的本质 .解决该题的关键不是对“等差数列”的认识 ,而在于对“等差数列中若干项的和”的认识 ,抓住了这一本质 ,结合等差数列性质即可自然流畅地得到一个非常简单的解法 .题目隐含的条件是Ｓｍ+ｎ这ｍ+ｎ项中有连续的 (ｎ -ｍ)项 (不妨设ｎ>ｍ)之和为零 ,而在这(ｎ-ｍ)项的前后各有ｍ项 ,它们的和也应为零 .若该题是填空题 ,就已…     

"等差数列的前n项和公式推导"的商榷

1商榷背景普通高中课程标准实验教科书(人民教育出版社A版)《数学》⑤第二章数列“2.2等差数列”中,一开始就明确了一种常用的数学研究方法——从特殊入手研究数学对象的性质,再逐步扩展到一般.在推导等差数列的前n项和公式时,更是体现了这一方法,教科书给出的公式探究过程可以     

教材中两道例习题的组合探究

将课本例习题进行有效的“组合”及“拓展”,挖掘隐含在问题内部的研究性材料进行探索与开发,既能让学生真正掌握所涉及内容又有利于其探究能力的培养,也是提高教师处理教材能力的有效途径.人教版高中教材第一册(上)(必修)P128例4及P129习题3.5第7题:1)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,a1,a7,a4成等差数列,求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.这样两道看似普通的例习题却蕴涵着丰富的教学功能,笔者在教学中从这两道题出发,引导学生开展了一次数学探究活动.…     

透过现象看本质——关于等式恒成立问题的教学案例

一、教学理由和目标下面是2011年高三高考模拟考试的一道数列题,得分率非常低,本节课通过对这道题的研究让学生掌握等式恒成立问题的本质和处理策略.原题:设{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项和.是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N)*,若存在,试求出常数k和数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.     

一道湖北高考试题的引申探究

今年高考数学湖北卷理科第20题是一道涉及递推数列、等比数列、等差数列的综合试题,能较好地考查考生的基础知识及推理论证能力.现在,我们透过试题及解答表面,深入挖掘题目背后更深层次的一般结论.     

构造法解决“等差数列前n项和”问题

构造法的灵活运用,能激发学生学习数学的兴趣,进而发展学生的创造性思维.本文通过构造的方法把“等差数列求前n项和”的四题转化成求图形面积的问题,并引用特殊的案例整理出一般等差数列的求和的思路与方法,以形助数,培养学生的几何直观能力.     

也谈一道调研题的解法及推广

湖北省八市2007年三月调研数学试卷（理科）第10题：已知数列{an}为等差数列，从集合A={a1，a2，a3，…，a20}中取出3个不同的数，使这3个数成等差数列，则不同的等差数列共有     

一道调考题的解法及推广

湖北省八市2007年高三三月调考数学试卷（理科）第10题：已知数列{an}为等差数列，从集合A={a1，a2，…，a20}中取出3个不同的数，使这3个数成等差数列，则不同的等差数列共有（ ）     

从多角度思考 激活解题思维

数学解题不在多,关键在精,精解一题,醒悟全局是每个学子梦寐以求的事.怎样才能实现这一目标?实践告诉我们,必须从平时的思维习惯做起,只要在平时的解题时做到勤思、巧变、对比、联想,常此以往自然能激活自己的思维,实现抓一纲而带全局的梦想.下面以一道等差数列的求值为例,探讨如何落实"勤思、巧变、     

一题三百六十变

在数学解题教学中,引导学生一题多解,一题多变、一题多思,是培养学生思维能力、发展智力的有效途径之一。因此,教师有必要研究习题的编造,进行一题多变的探讨。笔者曾对一个常见习题进行一题多变的研究,构造出四百多个数学题,这些题涉及中学代数、几何、三角等方面的基础知识和解题的技能技巧。现将其多变的主要过程简述如下。命题一设一元二次方程 (b-c)x~2+(c-a)x+(a-b)=0 (1)有等根,求证a、b、c成等差数列。证明:因为方程(1)的系数和为零,即 (b-c)+(c-a)+(a-b)=0 ∴方程(1)的等根是1     

2017年北京高考理科数学第20题的研究与思考

<正>2017年北京数学高考压轴题具有极大的区分度,尽可彰显学生数学能力的差异.2017年北京高考理数20题设{a_n}和{b_n}是两个等差数列,记c_n=max{b_1-a_1n,b_2-a_2n,…,b_n-a_nn}(n=1,2,3,…),其中max{x_1,x_2,…,x_s}表示x_1,x_2,…,x_s这s个数中最大的数.(1)若a_n=n,b_n=2n-1,求c_1,c_2,c_3的值,并证明{c_n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,c_n/n>M;     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证2S3,S6,S12-S6成等比数列.文[1]给出了如下一个推广:定理1已知数列{an}是公比不为±1的等比数列,Sn是其前n项和,若xam,yam 2k,zam k成等差数列(其中x