算术－几何平均不等式的初等证法

算术－几何平均不等式的初等证法江海涛（马鞍山高级职业学校２４３００１）在中学数学课本中，任意ｎ个正实数的算术—几何平均不等式，是通过不完全归纳推理给出的，没有进行严格的证明．而学有余力的同学，经常向老师提出此不等式的证明问题．该不等式证法虽多，但常见...     

算术——几何平均不等式的简捷证明

算术——几何平均不等式是一个有着广泛应用的重要不等式．证明这个不等式有多种方法,但都较繁．本文给出一个比较简捷的证明方法．定理设ａ１,ａ２,…,ａｎ是ｎ个（ｎ∈Ｎ且ｎ≥２）正数,则１ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）≥ｎａ１ａ２…ａｎ,当且仅当ａ１＝ａ２＝…...     

关于算术,对数,指数,几何平均不等式的概率证法

本用概率方法证明了关于两个相异的正数的几何平均、对数平均、指数平均和算术平均的不等式关系。     

关于算术、对数、指数、几何平均不等式的概率证法

本文用概率方法证明了关于两个相异的正数的几何平均、对数平均、指数平均和算术平均的不等式关系 .     

算术─几何平均不等式的简单证明

算术─几何平均不等式的简单证明王申怀（北京师范大学数学系１００８７５）众所周知，给出ｎ个实数ａｉ≥０（ｉ＝１，２；…，ｎ）成立下述算术─几何不等式：等号成立，当且仅当ａ１＝ａ２…＝ａｎ．一般上述不等式均采用数学归纳法来证，但不太容易．下面提供一个较为...     

用算术──几何平均不等式证明一类公式不等式

用算术──几何平均不等式证明一类公式不等式罗义良，汤曼玲（湖北武汉市青山热电厂子弟中学４３００８０）灵活地运用基本不等式，是证明不等式的重要方法．引导学生正确合理地运用基本不等式来证明不等式，利于提高学生的思维能力．本文运用算术一几何平均不等式：ａｉ...     

关于算子迹的算术—几何平均不等式

本给出了关于两个或三个核算子的迹的几个算术－几何平均不等式。     

混合算术──几何平均不等式的归纳证明

混合算术──几何平均不等式的归纳证明李鸿祥编译（上海铁道大学２００３３３）设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ是正实数，算术—几何平均不等式即是在［１］中猜想成立如下有趣的混合算术—几何平均不等式式中等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．ＫｉｒａｎＫｅｄｌａｓａ...     

一个不等式的几何证法

一个不等式的几何证法１５７０４１黑龙江省农业经济学校姜卫东《数学通报》１９９５年第８期问题９６９是：设正实数ａ，ｂ，ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝１，本文通过构造几何图形，给出一种简洁的几问证法．证明如图所示且则由勾股定理，得在ΔＡＨＤ中，由两边之差小于第三边，...     

一个不等式的多种证法

今日偶翻《中学生数学》2003年第2期杂志,看到如下一道证明题:求证:12+14+18+116+……+122002<1.杂志中给出了如下的证明:构造边长为1的正方形,如图1.     

一个不等式的几何证法

题1 已知a、b、c都是正数,求证:我们将构造几种不同的几何图形来证明此题.证法1 如图1所示,在线段AB上构造三个等腰直角三角形,直角边的长度分别为a、b、c.过点B作AM的平行线,取BN=AM=a,连接MN.显然     

一个不等式的简单证法

<正>贵刊2014年6月(下)课外练习题初三年级第2题是2013年7月(下)课外练习题初三年级第3题的再现,同题异证,各有所长,且同期《别证一个不等式》一文又给出另一种证法,令人耳目一新,三种证法从不同角度给出求解过程,认真研读,很受启迪.下面再给出一种初中生易理解和接受的简单证法,供读者参阅.题目设△ABC的三边长a、b、c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥431/2S.证明设三角形半周长p=1/2(a+b+c),由秦九韶—海伦公式,     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

Cauchy-Schwarz积分不等式的一个证法

Cauchy-Schwarz积分不等式是一个重要的不等式,其证法多种多样,本文介绍的方法,只需利用定积分的基本性质,作些恒等变形.首先写出这一不等式:     

一个代数不等式的初等证法

一个代数不等式的初等证法江海涛袁昌斌（安徽马鞍山高级职业学校２４３０１１）福建杨学枝老师１９９４年提出了如下猜想：设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则２ｎ１（ｘ２ｎ＋ｙ２ｎ＋ｚ２ｎ）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｎ（１）１９９６年，湖南农业大学陈...     

一类不等式的新证法

对于形如∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≥Ｐ或∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≤Ｐ(Ａｉ ＣＢｉ=Ｑ ,Ｃ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)的一类不等式 ,利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可简捷地给予证明 .定理　设Ａｉ,Ｂｉ∈Ｒ ,λＡｉ μＢｉ=Ｑ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,λ,μ为常数 ) ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,记Ａ =∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ,则当 μ >0时 ,Ａ≥ωｎ ;　当 μ <0时 ,Ａ≤ωｎ .证　因为λＡｉ μＢｉ=Ｑ ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,所以ｎＱ =λ∑ｎｉ=1Ａｉ μ∑ｎｉ=1Ｂｉ=λ∑ｎｉ=1Ａｉ μω∑ｎｉ=1Ａｉ=(λ μω)∑ｎｉ=1Ａｉ,所以　Ｑ =λ …     

一个三角不等式的几何证法

题目设△ABC为锐角三角形,则sinA sinB sinC>2．证明设△ABC的三边为a、b、c,外接圆半径为R,则由正弦定理求证可转化为a b c>4R,用几何方法．作出△ABC及其外接圆,不妨设a=BC 为最大边,平移△ABC及其外接圆为     

一个不等式的几种证法

利用中值定理、函数的单调性、积分法、曲线的凹凸性、泰勒公式可证明ex >ex(x >1)。     

一个不等式的加强及证法

《中学生数学》2 0 0 2年 5月上期课外练习中 ,杨大为先生提出如下不等式 :设正实数ａ、ｂ满足ａ +ｂ =1,求证 :1+ａ2 + 1+ｂ2 >2 2 -1.若将此不等式下界加强且给出上界 ,则更能体现其严密性及简洁性 .其结果为 :5≤1+ａ2 + 1+ｂ2 <1+ 2 ,以下给出两种证法 .证法 1　 (放缩法 )∵　ａ、ｂ∈Ｒ+ ,　ａ +ｂ =1,∴　 0 <ａｂ≤14 .∴　ａ2 +ｂ2 =1-2ａｂ≥ 12 .∵　 (1+ａ2 + 1+ｂ2 ) 2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 1+ａ2 +ｂ2 +ａ2 ｂ2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 2 -2ａｂ + (ａｂ) 2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 1+ (1-ａｂ) 2　≥ 2 + 12 + 2 1+ (1-14 ) 2　 =52 +…