争鸣

问题95 在库房存放的零件中，有n个一级品，m个二级品，逐个进行检验时，若已检测过的前k个皆为一级品，则检测第k＋1时仍得一级品的概率是多少？     

一个不等式的加强及应用

题目袋中放有大小相同的m个黑球和n个白球.现逐个从袋中取球,若每次取出球后再放回,显然每次取得黑球的概率均为mm＋n;若每次取出的球不再放回,则第k次取得黑球的概率是多少（1≤k≤m＋n）？思路1这是一个典型的古典概型问题：前k次逐个取球,相当于从m＋n个球中任取k个球作一排列,样本空间中的基本事件共有Akm＋n个,而事件“第k次取得黑球”表明第k个球为黑球,共包含C1mAk-1m＋n-1个基本事件,     

二项式定理选择题五道

1.二项展开式(a b)~n中与第k项系数相同的项是:(A)第(n-k 2)项;(B)第(n-k 1)项;(C)第(n-k)项;(D)第(n-k-1)项。 2.(|x| 1/|x|-2)~3的展开式中的常数项为:     

二项展开式系数绝对值最大项的一个公式

定理设a、b是非零实常数,x、y为变数,在(ax+by)~n的展开式中系数绝对值最大的项是第(?)+1项(?)则即r为不超过|b|/|a|+|b|·(n+1)的最大整数证明:(ax+by)(?)展开式的通项为 T_(k+1)=C_n~k(ax)~(n-k)(by)~k(k=0,1,2,…,n)其系数的绝对值|t_(k+k)|=C_n~k|a~(n-k)b~k| 在展开式中第(?)+1项的系数绝对值最大的充要条件是     

带比例关系的实带状矩阵特征值反问题

研究了通过矩阵A的顺序主子矩阵A_((k))=(aij)_(i,j=1)^(n-k+1)的特征值{λ_i(n-k+1)的特征值{λ_i^((k)))}_(i=1)((k)))}_(i=1)^(n-k+1)k=1,2,…,r+1来构造一个带比例关系的实带状矩阵的特征值反问题.对当特征值{λ_i(n-k+1)k=1,2,…,r+1来构造一个带比例关系的实带状矩阵的特征值反问题.对当特征值{λ_i^((k))}_(i=1)((k))}_(i=1)^(n-k+1)中有多重特征值出现时,应当如何来构造这类矩阵进行了讨论,并给出了问题的具体算法及数值例子.     

竞赛中的递推数列问题

一般地，如果一个数列的第n项an与前面的k项a（n-1），a（n-2），…，a（n-l）（k为某个正整数，且k〈n）之间有关系an=f（a（n-1），a（n-2），，…，a（n-k）），则称该关系为k阶递推关系，或称为递归关系，这里厂是关于a（n-1），a（n-2），…，a（n-k）的k元函数，称为递推函数或递归函数。由k阶递推关系及给定的前k项a1，a2，…，ak的值（称为初始值）所确定的数列称为k阶递推数列或k阶递归数列．一阶、二阶递推数列是高中数学竞赛大纲要求的内容．     

关于Erds-Jacobson-Lehel问题的门槛(英文)

设σ(k ,n)表示最小的正整数m ,使得对于每个n项正可图序列 ,当其项和至少为m时 ,有一个实现含k+ 1个顶点的团作为其子图 .Erd s等人猜想 :σ(k ,n) =(k - 1 ) ( 2n-k)+ 2 .Li等人证明了这个猜想对于k≥ 5,n≥ k2 + 3是对的 ,并且提出如下问题 :确定最小的整数N(k) ,使得这个猜想对于n≥N(k)成立 .他们同时指出 :当k≥ 5时 ,5k- 12 ≤N(k)≤ k2 + 3.Mubayi猜想 :当k≥ 5时 ,N(k) =5k - 12 .在本文中 ,我们证明了N( 8) =2 0 ,即Mubayi猜想对于k =8是成立的     

关于Erdos-Jacobson-Lehel 问题的门槛

设σ(k,n）表示最小的正整数m，使得对于每个n项正可图序列，当其项和至少为m时，有一个实现含k 1个顶点的团作为其子图。Erdos等人猜想：σ(k,n）＝（k-1)(2n-k) 2.Li等人证明了这个猜想对于k≥5，n≥（^k2））＋3是对的，并且提出如下问题：确定最小的整数N（k），使得这个猜想对于n≥N(k）成立。他们同时指出：当k≥5时，[5k-1/2]≤N(k）≤（^k2) 3.Mubayi猜想：当k≥5时，N(k）＝[5k-1/2]。在本文中，我们证明了N（8）＝20，即Mubayi猜想对于k=8是成立的。     

构造n次独立重复试验模型解概率题

一次试验中事件A发生的概率为p,独立重复地进行该试验n次这一模型,可以描述许多实际问题,其中的概率公式Pn(A恰好发生k次)=Pn(k)=cnkpk(1-p)n-k,应用非常广泛,下面以概率论中的两道名题为例,谈谈这一模型的确立方法．例1(巴拿赫火柴问题)某数学家随身带着甲、乙两盒火柴,每盒有n根,每次用时,随机地任取一盒,然后从中抽取一根．求:首次发现一盒空时,另一盒恰剩r根火柴的概率(r= 0,1,2,…,n)．     

构造概率模型证明组合恒等式

对于组合数恒等式的证明无固定的方法, 使得人们常感到无从下手.下面介绍构造概率 模型证明组合恒等式几例,供读者参考. 例1 求证:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 证明 设事件A在一次试验中发生的概率 为1/2,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是:PA(k)=Cnk(1/2)k·(1-1/2)n-k=1/2nCnk. 令k=0,1,2,…,n,并求和得 即 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 例2 求证:(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2= C2nn. 证明 设一个口袋中有n个白球n个红 球,任取n个球,求A={至少有一个白球}的概     

大数阶乘和大指数整数幂的计算

结合科学计数法和尺度变换技巧,设计一定精度下大数阶乘的计算方法,并将其拓展至指数较大的整数幂运算,从而当n较大时可正确计算二项概率C（n,k）pk（1-p）n-k（k=0,1,…,n,0〈p〈1）.     

P(n，k)的计数及其良域

设P(n,k)为整数n分为k部的无序分拆的个数,每个分部≥1;P(n)为n的全分拆的个数.P(n,k)是用途广泛的、且又十分难予计算的数.本文证明了下述定理：当n＜k,P(n,k)=0;当k≤n≤2k,P(n,k)=P(n-k);当k=1,4≤n≤5,或者当k≥2,2k+1≤n≤3k+2,P(n,k)=P(n-k)-(?)P(t)还定义了P(n,k)的良城,因面可借助若干个P(n)的值,迅速地计算大量的P(n,k)的值.     

一个积和不等式猜想

介绍一个积和不等式猜想,对任意的正整数n和α∈[0,1],有n-1∑k=0[(n-k)~(a-1)-(n-k+1)~(a-1)][(k+1)~(1-a)-k~(1-a)]≤(n+1)~(1-a)-n~(1-a).证明对于另外,证明与猜想相近的结论.对任意的正整数n和α∈[0,1],有n-1∑k=0[(n-k)~(a-1)-(n-k+1)~(a-1)][(k+1)~(1-a)-k~(1-a)]≤(n+1)~(1-a)-n~(1-a)+(a(2-2~(a-1)))/n~a-1/(n+1)成立.     

排序原理与排序思想

排序原理已为广大读者所熟悉,在不等式的证明和最优化设计方面有广泛的用途,同时与排序原理相关的排序思想,在解某些组合问题时,也很有用。兹各举一例。例1 已知a,b∈R~ ,a≠b;求证: a~n b~n≥a~(n-k)b~k a~kb~(n-k)(n>k,n、k∈N)。本例可用比较法证,但用排序原理证也甚简单。证明不妨设a>b>0,则a~(n-k)>b~(n-k),a~k>b~k,由排序原理知,同序最大,即a~n b~n=a~(n-k)。a~k b~(n-k)·b~k≥a~(n-k)b~n a~nb~(n-k)。例2 三个工人同时到同一车床加工零件,每个工人加工零件的时间互不相同;问怎样安排加工零件的顺序,使三个工人互相等待的总时间最短? 这是一个最优化问题,用排序原理处理简     

一道高考题的统计学背景

20 0 1年全国高考理科第 ( 2 0 )题 :“已知 i,m,n是正整数 ,且 1 相似文献   

利用摸球模型解决物品抽取问题

本文首先介绍概率问题中一个有用的摸球模型 .摸球模型　袋中有 a只黑球 ,b只白球 ,它们除颜色不同外 ,其它没有区别 ,现在随机地一只一只不放回地摸出来 ,则 k次能摸完黑球的概率为P( A) =Aak .b!( a + b) !=Cak Caa+ b( a≤ k≤ a + b) .　　　解法 1　把 a只黑球 ,b只白球看作有区别的 ,对它们进行编号 ,放在一直线的 a + b个位置上 ,共有 n =( a + b) !种方法 .k次摸完黑球 ,即前 k个位置上放黑球 ,白球放在剩余的位置上 ,有 m =Aak .b!,故所求概率为P =Aak .b!( a + b) !.解法 2　把 a只黑球 ,b只白球看作没有区别的 ,仍把摸出来的…     

不定复空间形式的极小Lagrangian子流形

确定了所有不定复空间形式中立方形式具有SO(k-1,n-k)或SO(k,n-k-1)对称性的极小Lagrangian子流形.     

Pm||C_(max)问题的算法A_(KK)的一个改进的最坏情况性能比(英文)

本文考虑的是平行机排序问题Pm||Cmax.对此问题Knuth和Kleitman给出了一个近似算法AKK,Graham证明了此算法的最坏情况性能比不大于1 (1-1/m/1 |k/m|),而且当k(?)0(modm)时这个界是紧的.在本文中我们给出了此算法的一个改进的最坏情况性能比:1 max{1-1/m/1 k1 1/m,1-1/m-k2/1 k1},其中k1和k2为非负整数且k1m k2=k.本文证明了当k2≠0时,它好于Graham的结果,同时我们给出了两个实例说明这个界是紧的.     

Pm‖Cmax问题的算法AKK的一个改进的最坏情况性能比

本文考虑的是平行机排序问题Pm‖Cmax.对此问题Knuth和Kleitman给出了一个近似算法AKK,Graham证明了此算法的最坏情况性能比不大于1＋1-1/m/1＋｜k/m｜,而且当k≡0（modm）时这个界是紧的.在本文中我们给出了此算法的一个改进的最坏情况性能比： 1＋max{1-1/m/1＋k1＋1/m,1-1/m-k2/1＋k1},其中k1和k2为非负整数且k1m＋k2=k.本文证明了当k2≠0时,它好于Graham的结果,同时我们给出了两个实例说明这个界是紧的.     

有限群中一个未解决的丢番图方程

在文[1]中,我们曾介绍在有限群的研究中提出的二个丢番图方程 (1) P~m-2q~n=±1,p、q是素数,m>1,n>1的求解问题,并提到Crescenzo在文[2]中证明了定理:除开239~2-2.13~4=-1以外,方程(1)如有放,则m=n=2。 最近发现3~5-2.11~2=1也满足方程(1),因此,上述Crescenzo的定理是错的。错误产生的原因在于该文引理1用了论断:“1 ωq~k(其中k相似文献