初等几何定理机器证明——吴方法简介

吴文俊院士获得2000年国家科学技术最高奖,这对我们数学工作者是极大的鼓舞,他的主要成就包括代数拓扑,应用数学,数学史,几何定理的机器证明等．这里,我们介绍后者．     

基于吴方法的几何定理证明的恒等式方法

多年来通常认为以吴方法为代表的几何定理机器证明的坐标法给出的证明不可读,或不是图灵意义下的类人解答.其实,只要对吴氏的算法做不多的改进,即将命题的结论多项式表示为其条件多项式的线性组合,就能获得不依赖于理论、算法和大量计算过程的恒等式明证.这样的恒等式可以转化为其他更简明且更有直观几何意义的点几何形式或向量及其他形式,从而获得多种证明方法.这也证明了点几何恒等式明证方法对等式型几何命题的普遍有效性.     

初等几何定理证明的Clifford代数方法

本文结合是吴方法及平面几何的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ代数表示，提出了几何定理机器证明的一种完备的方法，用这种方法证明定理时，三角化的过程及证明的过程通常较以前的方法更简短而且它们是可以几何解释的。     

几何定理机器证明三十年

由于传统的兴趣和多种原因,几何定理的机器证明在自动推理的研究中占有重要的地位.自吴法发表至今30年,几何定理机器证明的研究和实践有了很大的进展.对无序几何命题而言,代数方法、数值方法均能有效地判定其真假,面积法(消点法)、搜索法更能生成其可读的证明.几何不等式机器证明的研究,由于多项式完全判别系统的建立,也有了突破.研究领域已由机器证明扩展为包括几何作图在内的一般几何问题的机器求解,并有了实际的应用.     

几何定理机器证明的WE完全方法

在几何定理机器证明的各种方法中，吴氏方法获得了显著的成功．如预先把有关代数簇分解为不可约簇，则吴氏方法可成为完全方法．本文在吴法的基础上，以辗转伪除法为辅助工具，发展出一种不必预先分解代数簇的完全方法，并给出一些手算实例．     

基于多项式组主项解耦消元法的几何定理机器证明

基于多项式组主项解耦消元法 ,将几何定理的假设条件 (多项式组 PS)化为主项只含主变元的三角型多项式组 DTS,可得到定理命题成立的不含变元的非退化条件 ,即充分必要或更接近充分必要的非退化条件 .由于多项式主系数不含变元 ,已不存在 DTS多项式之间的约化问题 ,故方法有普遍意义 .文中例为西姆松定理的机器证明 .     

基于指标形式张量的微分几何定理机器证明

提出了一个基于指标形式张量的微分几何定理的机器证明算法.该算法将微分几何定理转化成带指标的张量多项式的计算问题,然后通过利用重写规则,挖掘等价条件和分次选取条件等方法大大减少了这个多项式系统的方程个数.再利用这个多项式系统本身和关于哑元的方程三角化这个多项式系统,将所得到的首项代入结论, 从而得到了该定理的机器证明.该算法不仅能够证明基于指标形式张量的微分几何定理,也可以用于张量方程的求解.     

仿射括号代数理论与算法及其在几何定理机器证明中的应用

主要讨论仿射括号代数的理论与算法及其在定理机器证明中的应用。文中首次提出了边界扩张算法等几个有效的仿射括号代数算法, 同时分析了边界算子的性质, 为系统实现奠定了基础. 文中也提及了单括号因子整除判定、单项式因子整除判定、仿射几何的构造和对应表示表示等工作. 在符号计算软件 Maple 10中, 应用上述理论与算法实现了仿射几何的定理机器 证明, 并用大约100多个例子进行了测试, 之后将结果进行了比较.     

一类初等微分几何定理机器证明的算法与实现

空间曲面上的曲线论是初等微分几何的重要部分．作者提出了一种以外微分运算和向量计算为主要工具,可以进行有关曲面上曲线局部性质的定理机器证明的算法．该算法结合了曲面上的活动标架,曲面上曲线的测地标架和曲线自身的Frenet标架,在Maple 9下得到实现．对20个例子进行的测试表明,由该算法生成的自动证明简短可读．     

Signature 算子的 Lefschetz 不动点定理的一个几何证明

本文给出流形之间映射的余切映射的 Clifford 表示,结合虞言林给出的Parametrix 证明了 Signature 算子和 Hodge-de Rham 算子的 Lefschet_2不动点定理.     

基于特征列方法和Wronskian行列式的曲面定理机器证明

将Chou与Gao的关于微分几何中曲线定理机器证明的方法推广到微分几何曲面定理中. 改进了经典的Wronskian行列式, 它可以用于判断微分域中的有限个元素是否在其常数域上线性相关. 基于Wronskian行列式, 可以用代数语言来描述微分几何曲面理论中的几何表述, 进而用特征列方法来证明这些定理.     

一个几何模型的证明

《数学通报》1 999年第 7期中《一个几何模型的构建及其应用》一文 (以下简称原文 )提出了一个颇有实用价值的几何模型 :“平面内的任意ｎ边形都可经过折线的刚体运动而内接于唯一的一个圆 .”但笔者认为原文的证明是错误的 .下面 ,本文将指出其错误并重新对此模型进行证明 .一、原文中用ａｉ2 =ｒｓｉｎαｉ 推出αｉ =ａｒｃｓｉｎ ａｉ2ｒ是错误的 (ｒ是圆的半径 ,ａｉ是圆的弦 ,2αｉ是弦对应的圆心角 ) .我们知道 ,圆内接多边形中最长边对应的圆心角可能大于π ,则αｉ 可能是钝角 ,而- π2 ≤ａｒｃｓｉｎａｉ2ｒ≤ π2 ,所以说原文此…     

Proving Theorems in Elementary Geometry with Clifford Algebraic Method

本文结合吴方法及平面几何的Ｃｌｉｆｏｒｄ代数表示，提出了几何定理机器证明的一种完备的方法．用这种方法证明定理时，三角化的过程及证明的过程通常较以前的方法更简短而且它们是可以几何解释的．     

一种几何定理机器证明的零维化方法

本文对一类初等几何定理的证明给出了一种机械化方法，利用这种方法，可计算出一个由有限个素理想组成的集合，所有属于假设部分对应的某一扩域上的理想的素理想都在这个集合中出现并且可以挑选出来．因而一个几何定理一般真确，当且仅当终结多项式属于全部的这种素理想，即对其不可约特征列的余式为零．     

几何定理机器证明的结式矩阵法

本文提出了一种不必预先分解升列为不可约于列而克服所谓“可约性困难”的方法．由于使用了吴除法及子结式计算，我们也称这种方法为ＷＲ分解算法．     

数学定理的机械化证明

1946年电子计算机诞生。4年后的1950年波兰数学家塔斯基(Tarslci,1901-1983)证明：一切初等几何和初等代数范围的命题,都可以用机械化方法判断其真伪,使人们大吃一惊。     

基于吴方法的立体视觉方法

本文把机器证明的吴方法创造性地应用到立体视觉领域。给出了线画图对间边线型匹配约束条件、轮廓线型对应约束条件以及曲线型约束条件,并由此给出了重建三维景物的一种整体立体视觉方法,理论分析和实验结果都表明此方法具有速度快、精度高等特点。     

关于Dandelin定理的证明

教育部制定的《普通高中数学课程标准》把Dandelin定理(编者注：1822年数学家Dandelin首先给出了此定理的证明．此定理说明为什么把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．关于此定理的解析证明可参阅《数学通报》2003年第4期王申怀：“圆锥曲线是椭圆、双曲线和抛物线的解析证     

代数不等式的分拆降维方法与机器证明

利用双变元对称型所构成实线性空间的特点,设计了一种特殊形式的基,基中元素是非负的.如果一个元在此基下的坐标非负,则该元自身也是非负的.于是要证明某个元非负将被归结为证明其在指定基下的坐标非负.通常坐标中的变元数,少于原对称型的变元数,从而起到了降低维数的作用.对非对称型,可通过对称化转换为对称型来处理.根据该方法编制了Maple通用程序Bidecomp.虽此方法并非完备的,但大量的应用实例表明了此种方法证明多项式型不等式的有效性.     

用代数方法和向量方法证明斯坦纳定理

斯坦纳定理：如图1,DB平分∠ABC,EC平分∠ACB,BD—EC,则AB＝AC．即△ABC是等腰三角形． 1．代数方法证明