等差数列方幂和的统一处理

定理 设数列{αn}是等差数列，sn=α1^m＋α2^m＋…＋αn^m，m∈N^＊，则存在λi∈R（i=2，3，…，m＋1），有g（n）=λm＋1αn^m＋1＋λmαn^m＋…＋λ3αn^3＋λ2αn^2，使{sn-g（n）}为等差数列．     

等差（比）数列的前n项和的几个性质及应用

等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1＋1/2n（n-1）d，通过分析这个公式，不难得到等差数列前n项和的性质．     

一个组合问题的解法及拓展

文[1]用待定系数法求出了由递推式 αn＋1=cαn＋d/ααn＋b确定的数列{αn}的通项公司（只要方程αx^2＋（b-c）x-d=0有根（包括复数根），都可用[1]的方法求解；若无根，则α=0，b=c，d≠0，得{αn}是等差数列。[1]中对数列{αn}的各项取倒数时，应要求αn≠0（n∈N^＊）。     

利用等差中项巧解数列问题

请先看下面的问题: 设有二等差数列{αn}、{bn},其前n项和Sn与Sn’之比为了5n 3/2n 7,求α9/b9的值. 在对此题的分析和研究中,我们发现等差数列的等差中项有一个简单性质,它可以加以推广应用.请看: 设{αn}是一个等差数列,Sn是其前n项和,则有: S3=3α2,S5=5α3,S7=7α4,…… 一般地有: S2n-1=(2n-1)αn,其中n是自然数. 要证明此结论很简单.根据等差数列的前n项和公式及通项公式得:     

运用S_(m n)公式解高考题

设数列｛an}的前n项和为Sn则Sm＋n＝Sn＋（am＋1＋…＋an＋n）．（1）若数列如｛an}是公差为d的等差数列，则Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd（1）特别地，sn＋1=a1＋Sn＋nd．推论等差数列的前n项和为A，次n项和为B，后n项和为C，则（2）若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则am＋1＋…＋am＋n特别地，Sn 1=a1＋qSn(2)推论对等比数列有SS＋Sg。一战（SZ。＋Ss。）．在处理某些等差（或等比）数列的“和”问题时，运用上述公式可简捷求解．例1已知k。）是等比数列，若。1＋。2＋a。218，a；＋a3＋a。—一人且入一al＋a。＋…＋a。，那么tims＂的值…     

数形结合巧解等差数列问题

等差数列的通项a．和前n项和S．都可以看作为n的函数，下面就从函数的图象出发，谈一谈如何利用数形结合的思想来处理等差数列的有关问题．（1）等差数列的通项公式表明点（n，an）（n=1,2，…）共线于y=dx＋a1-d上．例1设2和3是某等差数列中的两项，试证明此数列中的任何一项都不是有理数．此题的常规解法是用反证法证明，但着手较难，其过程也不自然，数形结合方法却一目了然．把xR换成nN，y换成an，则有理数，即这个数列的任何一项都是无理数．例2已知等差数列的第P项为q，第q项为P（P＞q），求它的第户十q项和第户一q项．解设A（p，q…     

上楼梯问题的一种解法及推广

人民教育出版社《数学》（必修）第一册（上）第129页习题3．5第7题． 已知数列{αn}是等比数列，Sn是其前n项和，α1，α7，α4成等差数列，求2S3，S6，S12-S6成等比数列．     

等差数列的一个性质及应用

性质设等差数列｛an｝前n顶和为S。，其创n顶和的算术平均数为M，即M一一，则（1）当n为奇数的，M是前。顶中间一顶，当n为底数的，M就是中间两项的算术平均数；（2）。。＋。。。＋l一ZM（OM6Mn，b为整数）；（3）当n为偶数时，前n顶中偶数项和与。。。，、。。－。。nd、．、。。。。专数顶和之差为S．一S。一千；当”为率数W，S．S．＝M．证明（1）设n一Zk—1（kEN），则例1已知者差数列中。16—40，末531．解等差数列31顶中，中阎须是第16顶，所以M—40；从而531—31M—1240．例2已知等差数列｛a。｝顶数m为奇数，真申S’一44…     

正项二阶等差数列的不等式

文[1]、[2]研究了正项等差数列方幂的不等式，本文研究由递增正项二阶等差数列若干项构成的不等式，为了简便起见，以下约定{an}是递增正项二阶等差数列，bn=a（n＋1）-an，{bn}的公差为d，其前n项和为Sn，m，k，n，p为正整数．     

从2010年江苏卷一题的错解谈起

题目 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn．已知2a2=a1＋a3，数列{√S2}是公差为d的等差数列．     

一次意外的探究性学习

1案例 高三数列这一章复习时，我选择了以下例题：已知等差数列{αn}中，S是其前n项和，且S10=100，S100=10，求S110．[第一段]     

巧求一类等差数列前n项和的最值

例1（1995年高中联赛）设等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1〉0，Sn为其前n项之和，则Sn（n∈N＋）中最大的是（ ）．     

与直线方程有关的最值问题

（2006年江苏高考第21题）设数列{an}，{bn}，{Cn}，满足：bn=an-an＋2，Cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1，2，3，…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{Cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n=1，2，3，…）     

从一道高考题产生联想

（2011年安徽高考数学理科卷第18题）在数1和100之间插入”个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作L，再令an=lgL，n≥1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=tana。·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和S。     

一道高考题的再推广

2006年江苏高考第21题：设数列｜an｜,｜bn｜,｜cc｜满足：bn=an-an＋2,cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1,2,3,…），证明｜an｜为等差数列的充分必要条件是｜cn｜为等差数列且bn≤bn＋1（n=1,2,3,…）。     

等差数列的一个性质及应用

设公差为 d的等差数列 { an}的前 m项之和、前 n项之和分别为 Sm、Sn,其中 m≠ n,则Sm =ma1 m(m - 1 )2 d,Sn =na1 n(n - 1 )2 d.变形得 Smm=a1 m - 12 d,1Snn=a1 n - 12 d. 21 - 2并整理得Smm- Snnm - n =d2 . 3等式 3表明等差数列 { an}具有一个重要的性质 :对于任意的 m、n∈ N 且 m≠ n,必有Smm- Snnm - n =常数 .下面通过例题说明上述性质在解决某些与等差数列前 n项和有关的问题中的应用 .例 1　在等差数列 { an}中 ,已知 S3 =S10= 3 0 ,试求 Sn 的最大值 .解　由性质得Snn- S3 3n - 3 =S101 0 - S3 31 0 - 3 ,把　 S3 =S10 …     

等差数列前n项和的几个性质及应用

定理1 设数列{an}是公差为d的等差数列，前以项和为Sn,则有 Sn/n=Sm/m＋n-m/2d（1） 证因为等差数列{an}中     

利用点列共线巧证等差数列的几个有趣性质

等差数列的通项可以表示为an=dn＋（a1-d），从函数的观点看，点列（n，an）在直线y—kx＋b（k=d，b=a1-d）上．故有下面的命题：     

一道高考试题的背景探究与推广

问题（2007年广东卷第21题）已知函数f（x）=x^2＋x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α〉β），f＇（x）是f（x）的导数；设。α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f＇（αn）（n=1，2，…）     

江苏卷第19（2）题别解

第19题：设各项均为正数的数列{an）的前n项和为Sn已知2a2=a1＋a2,数列{√Sn}是公差为d的等差数列．