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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ABC中 ,O为外心 ,三条高AD、BE、CF交于点H ,直线ED和AB交于点M ,FD和AC交于点N .求证 :1)OB⊥DF ,OC⊥DE ;2 )OH⊥MN .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,A ,C ,D ,F四点共圆 ,∴∠BDF =∠BAC .又∵O为外心 ,∴∠BOC =2∠BAC ,∠OBC =∠OCB ,∴∠OBC =12 (180° -∠BOC)=90° -∠BAC .∴∠OBC +∠BDF =90°,∴OB⊥DF .同… 相似文献
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1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数a ,b ,c .已知复数z1 ,z2 ,z3满足 :|z1 |=|z2 |=|z3|=1.z1 z2 z2z3 z3z1=1.求 |az1 bz2 cz3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式eiθ=cosθ isinθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解 令z1 =cosθ1 isinθ1 ,z2 =cosθ2 isinθ2 ,z3=cosθ3 isinθ3,则z1 z2 z2z3 z3z1=cos(θ1 -θ2 ) cos(θ2 -θ3) cos(θ3-θ1 ) [sin(θ1 -θ2 ) ] sin(θ2-θ3) sin(θ3… 相似文献
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在解析几何的复习中,我们遇到过这样的题:
已知A,B是抛物线y^2=4x上异于原点O的两个不同点,且满足OA^→·OB^→=0,问直线AB是否恒过定点? 相似文献
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2009年全国高中联赛一试解答题第一题为:设直线l:y=kx+m(其中k,m为整数)与椭圆x^2/16+y^2/12=1交于不同两点A,B, 相似文献
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数学学习中,我们做的不只是一道题,还可能是个“传说”!我想,对一些经典题多作些思考、猜想与总结,定会发现“传说”! 相似文献
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解法探究与推广是数学竞赛解题教学时常采用的方法,在解决问题的同时夯实基础知识,熟练解题技能,积累解题经验.再跳出题海,通过一定量训练提升学生思维的灵活性.本文以一道重庆市2022年联赛题为例,阐述对它的解法探究和拓展推广,以提高教学时效性. 相似文献
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题目(2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第8题)设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO=____.思路一关注到题设中的外心是中垂线的交点,通过把内向量转化为外向量,结合向量计算即可. 相似文献
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第8题抛物线y2=2p(x-p/2)(p〉0)上动点A到点B(3,0)的距离的最小值记为d(p),求满足d(p)=2的所有实数P的和. 相似文献
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题目(2010年全国高中数学联赛填空)
已知函数f(x)=√x-5-√24-3x,则f(x)的值域为_______.
解法一(复合函数法)通过观察易知数y=√x-5在[5,8]上是增函数,且y=√24-3x在[5,8]上也为增函数,因此f(x)在其定义域[5,8]上为增函数,故f(x)的值域为[-3,√3]. 相似文献
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2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题:函数f(x)=(1-2x)~(1/2)/(x+2)的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有(1-x2)~(1/2),让人联想到三角公式,于是可采用三角换元... 相似文献
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(2011年高中数学联赛第六题)在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知:四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中, 相似文献
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2008年全国高中数学联合竞赛第一试第9题如下:将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法有_____种 相似文献
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