Existence of a solution of a difference scheme for one variational problem

The problem of minimizing the functional (A) $${}_a\smallint ^b \varphi (x,y,y',y'')dx$$ under the conditions (B) $$y(a) = a_0 ,y'(a) = a_1 ,y(b) = b_0 ,y'(b) = b_1$$ is replaced by the problem of finding the vector (y₁,y₂,...,y_n?1) on which the sum (C) $$\sum\limits_{\kappa = 0}^n {C_\kappa \varphi (x_\kappa ,y_\kappa ,\left. {\frac{{y_{\kappa + 1} - y_\kappa }}{h},\frac{{y_{\kappa + 1} - 2y_\kappa + y_{\kappa + 1} )}}{{h^2 }}} \right)}$$ takes a minimal value. Under certain conditions on ? andC _k it is proved that a solution exists for the difference scheme constructed. The method of differentiation with respect to a parameter is used for the proof.     

On weak solutions of linear coercive integral equations in spacesL 2(X; ℋ k )

Пусть (X,A, μ) - полное про странство с σ-конечно й мерой, и пусть \(\overline {\mu \times \mu } \) . - замык ание меры μ×μ. Пусть далееg: X×X→C - квадратично интегрируемая функц ия по мере \(\overline {\mu \times \mu } \) . Рассматривается лин ейное интегральное у равнение (слабого) типа (1) (1) $$u(t) + A(\mathop \smallint \limits_x g(t,s)u(s)d\mu ) = f(t)\Pi .B.B\,X,$$ гдеА - максимальное р асширение L _k ^′ (в простр анстве ХëрмандераH ₁=B₂к) соотв ествующего линейного (псевдодиф ференциального) опер атораL: S→S; иS обозначает класс Щварца функций Rⁿ→-C. Уст анавливается сущест вование (слабых) решений (1) при н екотором условии коэрпитивно сти на оператор (2) (2) $$(L\Psi )(t) = \Psi (t) + \int\limits_x {g(t,s)L(\Psi (s))d\mu ,} $$ где Ψ принадлежит про странстувуD(Х, S) всех конечно-значных функ ций изX→S. Далее, изучается обобщенна я обратимость максим ального расширения оператора L. Наконец, пр иводится некоторое алгебраическое усло вие, обеспечивающее коэрцитивность L.     

Automorphisms of the tensor product of Abelian and Grassmannian algebras

We consider an algebraB _n,m , over the field R with n+m generators x_i,..., x_n, ξ₁,..., η_m, satisfying the following relations: (1') $$\left[ {x_k ,x_l } \right] \equiv x_k x_l - x_l x_k = 0,[x_k ,\xi _i ] = 0,$$ , (2') $$\left\{ {\xi _i ,\xi _j } \right\} \equiv \xi _i \xi _j + \xi _j \xi _i = 0$$ , where k,l =1, ..., n and i, j=1,..., m. In this algebra we define differentiation, integration, and also a group of automorphisms. We obtain an integration equation invariant with respect to this group, which coincides in the case m=0 with the equation for the change of variables in an integral, an equation whichis well known in ordinary analysis; in the case n=0 our equation coincides with F. A. Berezin's result [1, 3] for integration over a Grassman algebra.     

On some properties of trigonometric series with monotone decreasing coefficients

В статье рассматрива ются одномерные и дву мерные тригонометрические ряды с моно-тонными коэффициентами. Дает ся пример двойного тригонометрическог о ряда (1) $$\mathop \sum \limits_{n,k = 1}^\infty a_{nk} \sin nx\sin ky,$$ , коэффициенты которо го монотонны поk и поп, любая последовательность \(\{ S_{n_k m_k } (x,y)\} _{k = 1}^\infty\) прямоугольных части чных сумм ряда (1), где min(n _k ,m _k )→∞ приk→∞, расходится по чти всюду на (0,n)². Кроме того, изучается мера множеств нулей ф ункций (2) $$f(x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^{a_0 } a_n \cos nx\tilde f(x) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty a_n \sin nx,$$ , гдеа _n ↓ приn→ ∞, и доказ ьшается несколько те орем о скорости убывания ко эффициентовa _n рядов (2), если все част ичные суммыS _n (f,x) или \(S_n (\tilde f,x)\) дляn=1,2,... неотрицате ль-ны на (0,n).     

Minimum degree of bipartite graphs and the existence ofk-factors

LetG be a bipartite graph with bipartition (X, Y) andk a positive integer. If (i) $$\left| X \right| = \left| Y \right|,$$ (ii) $$\delta (G) \geqslant \left\lceil {\frac{{\left| X \right|}}{2}} \right\rceil \geqslant k,$$ \(\left| X \right| \geqslant 4k - 4\sqrt k + 1\) when |X| is odd and |X| ≥ 4k ? 2 when |X| is even, thenG has ak-factor.     

Unramified forcing preserving the law of double negation

Shoenfield's unramified version of Cohen's forcing is defined in two stages: one which does not preserve double negation and the other which modifies the former so as to preserve double negation. Here we express the unramified forcing, which preserves double negation, in a single stage. Surprisingly enough, the corresponding definition of forcing for equality acquires a rather simple form. In [2] forcing ∥- is expressed in terms of strong forcing \( \Vdash * \) viap∥-Q iffp \( \Vdash * \) ¬ ¬Q for every formulaQ ofZF set theory and every elementp of a partially ordered set (P, ≦). In its turn,p \( \Vdash * \) Q is defined by the following five clauses: (1) $$p \Vdash * a \in biff(\exists c)(\exists q \geqq p)((c,q) \in b \wedge p \Vdash * a = c)$$ (2) $$\begin{gathered} p \Vdash * a \ne biff(\exists c)(\exists q \geqq p)(((c,q) \in a \wedge p \Vdash * c \notin b) \hfill \\ ((c,q) \in b \wedge p \Vdash * c \notin a)) \hfill \\ \end{gathered} $$ (3) $$p \Vdash * \neg Qiff(\forall q)(q \leqq p \to \neg (q \Vdash * Q))$$ (4) $$p \Vdash * (Q \vee S)iff(p \Vdash * Q) \vee (p \Vdash * S)$$ (5) $$p \Vdash * (\exists x)Q(x)iff(\exists b)(p \Vdash * Q(b))$$ .     

Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients

В статье рассматрива ются_n-кратные тригонометрические ряды вида (1) $$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp (ikx),$$ гдеa _k ≧a _m , еслиk _j ≦m _j при 1≦j≦n иa _k→0 при maxk _j →∞. Для таких рядов доказ ыва1≦j≦n ется несколько теорем, обо бщающих ранее получе нные автором утверждения дляи=2. Сформулируем две из н их. Теорема 1.Ясли 1<р<∞и ря д вида (1) есть ряд Фурье функции f (x)∈L _p ((0, 2π) ⁿ ),mo (2) $$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k^p (k_1 ...k_n )^{p - 2}< \infty .$$ Теорема 2.Если коэффи циенты ряда вида (1) удовлетворяют услов ию (2) яри некотором р>п, то этот ряд сходит ся по Прингсхейму всю ду на (0, 2π) ⁿ ,а ири р=n>1 эmо, вообще говоря, не mак.     

On the central limit theorem for lacunary trigonometric series

Хорошо известно, что в ероятностное поведе ние лакунарного тригоно метрического ряда {cos 2πn _kx} тесно связ ано с «критическим» у словием лакунарности (*) $$\frac{{n_{k + 1} }}{{n_k }} \geqq 1 + \frac{{c_k }}{{\sqrt k }},c_k \to \infty $$ . Например, если выполн ено условие (*), то последовательность {cos2πn _kx} удовлетворяет центральной предель ной теореме, и при этом условие (*) не может быть ослабле но. Для последовательносте й, удовлетворяющих (*), и звестны и другие результаты по добного рода, в то время как для более медленно расту щих последовательносте й {n_k} не известно, по-видимому, ничего. В с татье развит метод, ко торый при помощи мартингально й техники позволяет проводить исследование систем {cos 2πn_kx} для последовательно стей, не удовлетворяю щих условию (*). Получено про стое объяснение условия (*), изучено, как «пропа-дает» центральная предель ная теорема при посте пенном ослаблении условия (*) и дока-заны некоторые центральн ые предельные теорем ы в отсутствие этого усл овия. Получены другие предельные те оремы для {cos 2πn_kx}, напри мер, закон повторного лог арифма и принципы инвариантн ости.     

On strong summahility of Fourier series and differentiability of functions

ПустьS _n (f, x) — суммы Фурье периодической сумми руемой функцииf(x). Доказано, что если фун кцияФ(u), определенная, непрерывная и выпукл ая вверх для u≧0 (Ф(0)=0), удовлетворяет ус ловию (1) $$\int\limits_{ + 0} {\frac{{du}}{{\Phi (u)}}< \infty ,} $$ то имеет место следую щее вложение классов функций (2) $$S(\Phi ) = \left\{ {f:\mathop {\max }\limits_x \sum\limits_{n = o}^\infty \Phi (\left| {f(x) - S_n (fx)} \right|)< \infty } \right\} \subset Lip1,$$ и, более того, при услов ии (1) все функции из кла ссаS(Ф) непрерывно дифферен цируемы, а их производные имеют равномерно сходящие ся ряды Фурье. Установлено также, чт о если функция Ф удовл етворяет условию lim supФ(u/2)/Ф(u)<1, то условие (1) является н е только достаточным, но и необходимым для влож ения (2).     

On the modulus of continuity in connection with a problem of J. Szabados concerning strong approximation

Пустьf(x) — интегрируемая 2π-периодическая функция, aω(f,δ) иs _n(x)=s_n(f, x). соответственно, модуль непрерывности иn-ая сумма Фурье этой функции. В настоящей работе, продолжающей исследования Г. Фрейда, Л. Лейндлера—E. M. Никищина, И. Сабадоша и К. И. Осколкова, доказывается следующая теорема.Если Ω(u) — выпуклая или вогнутая непрерывная функция и если (1) 1 $$\left\| {\left. {\sum\limits_{k = 1}^\infty \Omega (|S_k (x) - f(x)|)} \right\|_C } \right.$$ то 1 $$\omega (f;\delta ) = O\left( {\delta \int\limits_\delta ^1 {\frac{{\bar \Omega (v)}}{{v^2 }}dv} } \right),$$ где ¯Ω(v) —функция, обратная к Ω(и). При этом существует функция f₀(х), удовлетворяющая условию (1), для которой $$\omega (f;\delta ) = c\delta \int\limits_\delta ^1 {\frac{{\bar \Omega (v)}}{{v^2 }}dv} (c > 0).$$ ЕслиΩ(u)— вогнутая функция, то интеграл \(\int\limits_\delta ^1 {\frac{{\bar \Omega (v)}}{{v^2 }}dv} \) можно заменить на \(\int\limits_{\bar \Omega (\delta )}^1 {\frac{{du}}{{\Omega (u)}}.} \) . Отсюда вытекает, что еслиΩ(u) — функция типа модуля непрерывности, то для того, чтобы (1) всегда влекло принадлежность f(x) классу Lip 1, необходимо и достаточно условие \(\int\limits_0^1 {\frac{{du}}{{\Omega (u)}}}< \infty .\)      

Large deviations of the first passage time for a random walk with semiexponentially distributed jumps

Suppose that ξ, ξ(1), ξ(2), ... are independent identically distributed random variables such that ?ξ is semiexponential; i.e., $P( - \xi \geqslant t) = e^{ - t^\beta L(t)} $ is a slowly varying function as t → ∞ possessing some smoothness properties. Let E ξ = 0, D ξ = 1, and S(k) = ξ(1) + ? + ξ(k). Given d > 0, define the first upcrossing time η ₊(u) = inf{k ≥ 1: S(k) + kd > u} at nonnegative level u ≥ 0 of the walk S(k) + kd with positive drift d > 0. We prove that, under general conditions, the following relation is valid for $u = (n) \in \left[ {0, dn - N_n \sqrt n } \right]$ : 0.1 $P(\eta + (u) > n) \sim \frac{{E\eta + (u)}}{n}P(S(n) \leqslant x) as n \to \infty $ , where x = u ? nd < 0 and an arbitrary fixed sequence N _n not exceeding $d\sqrt n $ tends to ∞. The conditions under which we prove (0.1) coincide exactly with the conditions under which the asymptotic behavior of the probability P(S(n) ≤ x) for $x \leqslant - \sqrt n $ was found in [1] (for $x \in \left[ { - \sqrt n ,0} \right]$ it follows from the central limit theorem).     

Averaging of systems of differential inclusions with slow and fast variables

We consider the system of differential inclusions

$$\dot x \in \mu F(t, x, y, \mu ), x(0) = x_0 , \dot y \in G(t, x, y, \mu ), y(0) = y_0 $$

, where F,G: D → Kυ (\(R^{m_1 } \)), Kυ (\(R^{m_2 } \)) are mappings into the sets of nonempty convex compact sets in the Euclidean spaces \(R^{m_1 } \) and \(R^{m_2 } \), respectively, D = R ₊ × \(R^{m_1 } \) × \(R^{m_2 } \) × [0, a], a > 0, and µ is a small parameter. The functions F and G and the right-hand side of the averaged problem \(\dot u\) ∈ µF ₀(u), u(0) = x ₀, F ₀(u) ∈ Kυ (\(R^{m_1 } \)), satisfy the one-sided Lipschitz condition with respect to the corresponding phase variables. Under these and some other conditions, we prove that, for each ? > 0, there exists a µ > 0 such that, for an arbitrary µ ∈ (0, µ₀] and any solution x _µ(·), y _µ(·) of the original problem, there exists a solution u _µ(·) of the averaged problem such that ∥x _µ(t) ? y _µ(t) ∥ ≤ ? for t ∈ [0, 1/µ]. Furthermore, for each solution u _µ(·)of the averaged problem, there exists a solution x _µ(·), y _µ(·) of the original problem with the same estimate.

     

Output stabilization for a class of uncertain systems

The system

$$\frac{{dx}}{{dt}} = A\left( \cdot \right)x + B\left( \cdot \right)u,{\kern 1pt} \frac{{dy}}{{dt}} = A\left( \cdot \right)y + B\left( \cdot \right)u + D\left( {C*y - v} \right)$$

where v = C*x is an output, u = S*y is a control, A(·) ∈ R ^{n × n} , B(·) ∈ R ^{n × (n–p)}, C ∈ R ^{n × (n–p)}, and D ∈ R ^{n × (n–p)}, is considered. The elements α_ij(·) and β_ij(·) of the matrices A(·) and B(·) are arbitrary functionals satisfying the conditions

$$\mathop {\sup }\limits_{\left( \cdot \right)} |{\alpha _{ij}}\left( \cdot \right)| < \infty \left( {i,j \in 1,n} \right),\mathop {\sup }\limits_{\left( \cdot \right)} |{\beta _{ij}}\left( \cdot \right)| < \infty \left( {i \in 1,n,j \in 1,n - p} \right).$$

It is assumed that A(·) ∈ Z ₁ ∪ Z ₃ and A*(·) ∈ Z ₁ ∪ Z ₃, where Z ₁ is the class of matrices in which the first p elements of the kth superdiagonal are sign-definite and the elements above them are sufficiently small. The class Z ₃ differs from Z _t1 in that the elements between this superdiagonal and the (k + 1)th row are sufficiently small. If k > p, then the elements of the p × p square in the upper left corner of the matrix are sufficiently small as well. By using special quadratic Lyapunov functions, a matrix D for which y(t)–x(t) → 0 exponentially as t → ∞ is first found, and then a matrix S for which the vectors x(t) and y(t) have the same property is constructed.

     

On the growth order of the rectangular partial sums of multiple non-orthogonal series

Пустьd-натуральное ч исло,Z ^d — множество на боров k=(k ₁, ...,k _d ), состоящих из неотрицательных цел ыхk _j ,Z ₊ ^d =k∈Z ^d :k≧1. Предположи м, что системаf _k (x):k∈Z ₊ ^d ? ?L₂(X,A, μ) и последовател ьностьa _k :k∈Z ₊ ^d . таковы, чт о для всех b∈Z^d и m∈Z ₊ ^d выполн ены неравенства (2) $$\left\| {\sum\limits_{b + 1 \leqq k \leqq b + m} {a_k f_k (x)} } \right\|_2^2 \leqq w^2 (m)\sum\limits_{b + 1 \leqq k \leqq b + m} {a_k^2 } $$ где последовательно сть {w(m): m∈Z ₊ ^d положительн а и не убывает. Например, есл иf _k (х) — квазистационарная система, то для соотве тствующей последовательности {ω(m) (2) имeeт Меcтo ДЛЯ ЛЮбОЙ ПОС ЛеДОВатеЛЬНОСТИ {a_k}. В работе получены оце нки порядка роста пря моугольных частных суммS _m (x)= =∑ a_kf_k(x) при maxmj→∞ как в случ ае {a_k}∈l₂, таки для {a_k}l₂. Эти оценки явля1≦k≦m 1≦j≦d ются новыми даже для о ртогональных кратны х рядов. Показано, что упомяну тые оценки в общем слу чае являются точными.     

An Engel condition with skew derivations

Let R be a prime ring and set [x, y]₁ = [x, y] = xy ? yx for ${x,y\in R}$ and inductively [x, y] _k = [[x, y] _k-1, y] for k > 1. We apply the theory of generalized polynomial identities with automorphisms and skew derivations to obtain the following result: If δ is a nonzero σ-derivation of R and L is a noncommutative Lie ideal of R so that [δ(x), x] _k  = 0 for all ${x \in L}$ , where k is a fixed positive integer, then charR = 2 and ${R\subseteq M_{2}(F)}$ for some field F. This result generalizes the case of derivations by Lanski and also the case of automorphisms by Mayne.     

Convergent approximations in parabolic variational inequalities II: Hamilton-jacobi inequalities

In this paper we consider two-sided parabolic inequalities of the form (li) $$\psi _1 \leqslant u \leqslant \psi _2 , in{\mathbf{ }}Q;$$ (lii) $$\left[ { - \frac{{\partial u}}{{\partial t}} + A(t)u + H(x,t,u,Du)} \right]e \geqslant 0, in{\mathbf{ }}Q,$$ for alle in the convex support cone of the solution given by $$K(u) = \left\{ {\lambda (\upsilon - u):\psi _1 \leqslant \upsilon \leqslant \psi _2 ,\lambda > 0} \right\}{\mathbf{ }};$$ (liii) $$\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial v}}} \right|_\Sigma = 0, u( \cdot ,T) = \bar u$$ where $$Q = \Omega \times (0,T), \sum = \partial \Omega \times (0,T).$$ Such inequalities arise in the characterization of saddle-point payoffsu in two person differential games with stopping times as strategies. In this case,H is the Hamiltonian in the formulation. A numerical scheme for approximatingu is obtained by the continuous time, piecewise linear, Galerkin approximation of a so-called penalized equation. A rate of convergence tou of orderO(h ^1/2) is demonstrated in theL ²(0,T; H ¹(Ω)) norm, whereh is the maximum diameter of a given triangulation.     

A class of inequalities for non-negative sequences

В работе для неотрица тельных последовате льностей (...,a _?1 ⁱ ), aa ₀ ⁱ ),a ₁ ⁱ ), ...), удовлетв оряющих условию \(0< \mathop {\sup }\limits_k a_k^{(i)}< \infty\) (i=1,...,т), доказ а но неравенство (1) $$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty \mathop {\sup }\limits_{k \leqq k_1 + \ldots + k_m \leqq k + l} (a_{k_1 }^{(1)} \ldots a_{k_m }^{(m)} ) \geqq \hfill \\ \geqq \mathop \prod \limits_{i = 1}^m (\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )\left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \frac{{\mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty (a_k^{(i)} )^{p_i } }}{{(\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )^{p_i } }} + l - m + 1} \right], \hfill \\ \end{gathered}$$ гдеl произвольное не отрицательное целое число, 1≦p ₁, ...,p _m ≦∞ и \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^m p_i^{ - 1} = 1\) . Это неравенство явля ется обобщением и уто чнением неравенств А. Прекопа, Ш. Данча и Л. Лейндлера. Доказано также, что ес ли все последователь ности содержат только коне чное число ненулевых членов, то н еобходимым условием для равенства в (1) является существование такого числа α>0, чтоa _k( ⁱ )=а илиa _k( ⁱ )=0 для всехi=1,...,m;?∞<k<∞.     

Strong approximation of empirical process with independent but non-identically distributed random variables

Let{Y_t,t=1,2,…} be independent random variables with continuous distribution functionsF_i(y).For any y,dencte s=F_t(y)=1/t sum from i=1 to t F_i(y).The empirical process is defind by t~(-1/2)R(s,t) whereR(s,t)=t(1/t sum from i=1 to t I_((?)_t(Y_i)≤s)-s)=sum from i=1 to t I_(?)-ts=sum from i=1 to t I_(?)-(?)_t(y)=sum from i=1 to t I_(Y_(?)≤y)-sum from i=1 to t F_i(y).The purpose of this paper is to investigate the asymptotic properties of the empirical processR(s,t).We shall prove that for some integer sequence {t_k},there is a (?)-process (?)(s,t) such that(?)|R(s,t_k)-(?)(s,t_k)|=O(t_k~(1/2)(log t_k)~(-1/4)(log log t_k)~(1/2))a.s.where (?)(s,t) is a two-parameter Gaussian process defined in §1.     

Moment inequalities and the Riemann hypothesis

It is known that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that all zeros of the Riemann ξ-function are real. On writingξ(x/2)=8 ∫ ₀ ^∞ Φ(t) cos(xt)dt, it is known that a necessary condition that the Riemann hypothesis be valid is that the moments \(\hat b_m (\lambda ): = \int_0^\infty {t^{2m} e^{\lambda t^2 } \Phi (t)dt}\) satisfy the Turán inequalities (*) $$(\hat b_m (\lambda ))^2 > \left( {\frac{{2m - 1}}{{2m + 1}}} \right)\hat b_{m - 1} (\lambda )\hat b_{m + 1} (\lambda )(m \geqslant 1,\lambda \geqslant 0).$$ We give here a constructive proof that log \(\Phi (\sqrt t )\) is strictly concave for 0 <t < ∞, and with this we deduce in Theorem 2.4 a general class of moment inequalities which, as a special case, establishes that the inequalities (*) are in fact valid for all real λ. As the case λ=0 of (*) corresponds to the Pólya conjecture of 1927, this gives a new proof of the Pólya conjecture.     

Operator integration,perturbations, and commutators

Under mild assumption, integral representations of the form (*) $$f(A_1 ) \cdot \mathfrak{J} - \mathfrak{J} \cdot f(A_1 ) = \int {\int {\frac{{f(\mu ) - f(\lambda )}}{{\mu - \lambda }}} } dE_1 (\mu )(A_1 \mathfrak{J} - \mathfrak{J}A_0 )dE_0 (\mu ),$$ are justified. Here A_k, k=0, 1, is a self-adjoint operator in a Hilbert space H_k, is an operator from H₀ H₁; in general, all the operators are unbounded; E_k is the spectral measure of the operator A_k. On the basis of the representation (^*), estimates of the s-numbers of the operator \(f(A_1 ) \cdot \mathfrak{J} - \mathfrak{J} \cdot f(A_0 )\) in terms of the s-numbers of the operator \(A_1 \mathfrak{J} - \mathfrak{J}A_0\) are given. Analogous results are obtained for commutators and antocommutators.