微积分严格化之后(续二)

一、复数域上的微积分Frobenius定理说 :实数域上所有有限维结合可除代数 ( Division Algebra)只有三个 ,即 :实数域 ,复数域 ,四元数 ( Quaternion)代数 ,如果去掉结合性要求 ,则实数域上还有另一个可除代数 Cay-ley-Dickson代数 ,即 Octonion代数。在实数域上的维数为 8。由于四元数代数不可交换 ,Cayley-Dickson代数既不可交换又不结合。而复数域既可交换又可结合 ,且复数早已为人们所熟悉 ,于是人们在考虑原有微积分 ,即实数域上的微积分之后 ,理所当然地考虑复数域上的微积分 ,这就形成了复分析。复分析既然是复数域上的微积分 ,那…     

四元数、Clifford代数与超复数及其在物理学中的应用

本文是一篇介绍Clifford代数基本性质和应用的文章．Clifford代数是实数、复数、四元数和向量代数的统一和推广,它准确、忠实地刻画了时空的内在性质,为众多数学和物理理论提供了统一、标准、优雅和开放的语言和工具．超复数系有望能够完成现代科学的一次新的大综合,值得在本科物理和数学的教学中普及．     

融入数学文化 领略数学精神 培育核心素养——以“数系的扩充与复数的概念”教学为例

复数是几何与代数主线课程内容之一,在“数系的扩充与复数的概念”教学过程中,尝试以数系发展的历史顺序为基础,将数学文化融入课堂教学,让学生认识到建立复数概念的必要性,感受到数系的扩充在数学发展中的重要作用,从实数系扩充到复数系的过程和方法中,尝试用数学语言描述,形成数学概念的抽象化和精致化融合的理性思维过程,领略求真、求实、追求统一的数学精神,培育数学核心素养.     

一类超W-代数上的Poisson超结构

源于Poisson几何的Poisson代数同时具有代数结构和李代数结构,其乘法与李代数乘法满足Leibniz法则.超W-代数是复数域C上的无限维李超代数.主要研究一类超W-代数上的Poisson超结构.     

求解复数问题的思维策略

正高中学习复数是数域完整性的一个要求,对复数的学习要围绕"数系扩充"和基本概念开展.试题多围绕代数运算及复数的有关概念展开,结合方程、集合等知识,以小题为主,侧重考     

浅说两个复数间的关系

高中数学课本《代数》(甲种本)第二册 P.195,有这样一段话:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小。”虽然,课本中指出:“关于这个命题的证明,本书从略。”但是,对于求知欲很强的学生,这个问题是必须要求教师解答的。如果仅像教学参考书上那样,只举两个例子也是不能圆满解释清楚的。笔者认为,对于这个问题要从以下三个方面进行解释。一.两个复数问存在顺序关系首先我们给出数集扩大原则。即“在扩大数集中,对于某些运算与关系应重新定义,并且当其将原来数集中的数看成扩大数集中的数时,要与新定义一致。”根据这条原则。我们就可以研究复数的顺序问题了。对于复数 x+yi(x、y∈R,本文中 R 表     

复数在解题中的应用

应用复数解题也是一种较好的综合训练,结合复数的教学和中学数学复习注意这种训练,对于加深学生对复数基础知识的理解,培养学生灵活地运用所学知识解数学题的技能技巧,沟通代数、几何、三角等之间的相互联系都是很有益的。下面举出一些不超过中学复数知识所能解答的例子,说明复数在解代数、三角、几何题中的应用,供教学参考。     

复数

1　考点简析新课教学与高三备考复习是有区别的 .但是新课教学又不能不顾及高考 ,不能对高考的要求心中无数 ,而应当循序渐进地、有机地渗透“考试说明”的有关要求 .1.1　知识点剖析本章的知识点有 7个 (见课本 7个小节的标题 ) ,其内涵与外延是 :复数的有关概念 (含模与共轭复数的有关性质 ) ,复数的整体形式、代数形式、三角形式及其转换 ;复数代数式与三角式的运算 ,复数的几何表示 ,复数运算的几何意义 ,几何意义与运算的转换 ,图形与方程的转换 ;在复数集中解一元二次方程和二项方程 .1.2　思想方法化复 (数 )为实 (数 ) ,数形结合 ,…     

用逼近方法建立代数无关性

应用逼近方法建立了一个关于复数代数无关性的一般性判别法则，并用来研究某些缺项级数在代数点和超越点上值的代数无关性．     

关于“复数无大小”的問题

在高三代数課复数这一章的教学中,一个突出的問題是如何向学生讲授“复数无大小”?教学大綱的說明中沒有涉及这个問題,但現行課本中关于这个問題却有一段比較含糊的敍述。根据历年来我讲授这部分教材的經驗,都有較多学生提出問題,最普遍的問題是:“为什么不規定复数的大小?”     

复数計算与几何証題

同学們在代数課程中学习复数这一部分的时候,一般对复数的代数演算注意得比較多,而对这种数及其运算的几何意义注意得比較少。其实,复数及其运算的几何解释在数学中有着重要的地位,在物理学、力学中有着广泛的应用。在这一讲中我們要比較詳細地解释一下复数及其四則运算的几何意义,并且用一些有趣的例子来說明怎样利用复数演算来証平面几何題。一、复数的几何意义大家知道,如果我們在平面上引进一个笛卡儿坐标系,那么任何一个复数     

复数

复数成都树德中学严红梅、游家学习导引复数是高中代数的重要内容之一。复数概念的引入，使数系得到了又一次扩充。本章主要内容有：复数的有关概念，复数的三种形式：代数式、三角形式、几何形式，复数的运算，复数的模与辐角，复数的应用，复数集上的方程等等。通过本...     

一类商代数上的双-Frobenius代数结构

设C[X]为复数域上的一元多项式代数,I为n+1次Dickson多项式E_(n+1)(X)生成的C[X]的理想,C[X]/I为商代数.证明了商代数C[X]/I既是Frobenius代数,又是Frobenius余代数.进一步,该商代数在恒等对极下还是双-Frobenius代数.     

复数四则运算的教学实录

设计背景在体会数系的发展过程中,理解复数意义的基础上,实现让学生掌握复数代数形式的四则运算这一教学目标是很容易实现的,但新课程理念下的教学要求远不止这些它更要学生在丰富、现实的与他们的经验紧密联系的背景中感受数学、建立数学、运用数学让学生在恰当的情景中观察、     

向量旋转与诱导公式的联系

我们知道,在平面上选定直角坐标系,复数z=x+iy就可以用点P(x,y)或者向量表示。按照《高等代数》中线性空间观点,复数域K可以看作是实数域只上的线性空间,数1与i是一组基。则复数可写作     

求解复数问题的思维策略

高中学习复数是数域完整性的一个要求,对复数的学习要围绕“数系扩充”和基本概念开展．试题多围绕代数运算及复数的有关概念展开,结合方程、集合等知识,以小题为主,侧重考查基本知识和基本技能．复数集是实数集的扩充,因此,不能把实数集上的某些法则和性质照搬到复数集中来,单纯的复数加、减、乘、除理解起来并不是太难,但若涉及到复数方程,复数求最值等问题,则需要根据不同题型,选择恰当的思维策略来解决．     

复数平方根的求法

现行十年制数学课本中已略去了关于复数的平方根的求法的专门章节,但习题中需对复数开平方者并不少见,这样的处理,我认为是为了用最精简的篇幅讲述最重要的,最基本的知识,而把其它内容作为习题让学生自己去解决。下面通过实例介绍复数开平方的几种简单方法,供教学参考。一、代数法例1。求3-4i的平方根。解:设3-4i的平方根为x yi(x,y∈R)则     

《数系的扩充和复数的概念》教学设计

几日前,给学生教授<初等代数研究>时,要求学生试着编写<数系的扩充和复数的概念>一节的教案并进行试教,学生的教学让笔者回忆起中学时学习该节内容的体会,总的印象是零零散散,很多东西需要去死记,在此想用三个问题来探讨该节课的教学设计.     

复数的运算

复数是多种知识的汇合点,集代数、三角、几何于一身,从中可生出诸般变化,在数学竞赛中占有独特的地位。复数的表现形式有代数形式、三角形式、点、向量等等,复数的运算既包含实数运算,又有别于它而有自身的特色,要处理好有关复数的运算首先要注意选用合适的形式、全面考虑问题。先看一个较为简单的例子。例1 设两复数a、β满足a~2 β~2=aβ,|a-β|=2,试求 (1)β/a的辐角主值;(2)|a|, (3)在复平面上以复数O,a,β所对应的点。O,A,B为顶点的三角形的面积。     

八元数矩阵的行列式及其性质

赋范的可除代数只有四种:实数R,复数C,四元数日和八元数O.由于八元数关于乘法非交换且非结合,如何对八元数矩阵定义行列式并使其具有较好的运算性质变得非常困难.最近,李兴民和黎丽根据"八元数自共轭矩阵的行列式应为实数"这一数学与物理上的需求,通过选择几个八元数乘积的次序和结合方式,首次给出了八元数行列式的定义.但是,与实数、复数以及四元数的相应的情形比较,如此定义的行列式,其所具备的运算性质较少.本文给出了一种新的八元数行列式的定义,它们具备了尽可能多的运算性质,同时使得"八元数自共轭矩阵的行列式为实数"不证自明.