抛物线切线的一个有趣性质

在对抛物线的研究中,笔者发现了它的与切线有关的如下一个有趣性质. 定理设P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p＞0)上的不与顶点重合的任意一点,过点P抛物线的切线与x轴的交点为Q,过Q任意引直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则y20=y1y2,x20=x1x2.     

对一道高考题的推广与改编

<正>2013年高考陕西理科数学第20题是:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线L与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线L过定点.推广已知抛物线C:y2=2px(p为正常数),点A(-p4,0),设不垂直于x轴的直线L与抛物线C交于不同的两点M,N,若x轴是∠MAN的角平分线,求证:直线L恒过定点(p4,0).证明由题意,设直线L的方程为y=kx     

抛物线中精彩的"一点一线"

为了引出本文所要探讨的主角,我们首先看如下问题:已知抛物线C:y2=2px,(p>0)及定点M(m,n),过点M任作直线l'交抛物线C于A,B两点,分别过点A,B作抛物线C的切线,两切线交于点N,当直线l'运动时,试求点N的轨迹方程.     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

抛物线的两个有趣性质

经过探究,笔者得到了抛物线的两个有趣性质,现介绍如下.性质1如图1,已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为y轴上异于原点的任一点,过点F作直线l交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线交于点M,直线     

一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

圆锥曲线切线的一个有趣的性质

笔者近期研究圆锥曲线切线时 ,发现了一个有趣性质 .定理 1　过圆x2 +y2 =r2 上一点引圆的切线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是 1x2 + 1y2 =1r2 .定理 2　过椭圆 x2a2 + y2b2 =1上一点引椭圆的切线和法线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,法线与x轴 ,y轴分别相交于点M ,N .　 ( 1 )以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是a2x2 + b2y2 =1 ;( 2 )以原点O和M ,N为顶点构成的矩形的另一顶点D的轨迹方程是x2c4a2+ y2c4b2=1 ,其中C2 =a2 -b2 .定理 3　过双曲线…     

我为高考设计题目

题1已知函数y=kx与.y=x~2+2 (x≥0)的图象相交于不同两点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2),l_1,l_2分别是y=x~2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l_1,l_2与x轴的交点,P为l_1与l_2的交点. (1)求证:直线l_1、y=kx、l_2的斜率成等差数列;     

课本上一道切线问题的推广

人教版《解析几何》第126页第19题:从抛物线的焦点向它的任意一条切线引垂线,求证这条垂线和准线的交点,在过切点且平行于对称轴的直线上.我们将它翻译成符号语言和图形语言,如图(1).直线l是过抛物线y2=2px(p>0)上一点P的切线,过该抛物线焦点F的直线FN⊥l于点N,与抛物线的准线交于点M.求证:直线MP平行于x轴.原题证明比较简单,这里略去.经过笔者研究发现,这里“FN⊥l于点N”的条件是“虚晃一枪”,实质上,点N是“抛物线两条切线(切线l与过顶点的切线——y轴)的交点”,利用一般化和类比的方法,原题可以推广为更一般、更广泛的形式.推广1如…     

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…     

一道高考数学试题的再剖析

(2008年江西省)已知抛物线y2=2px和三个点M(x0,y0),P(0,y0),N(-x0,y0)(y0≠x02,y0>0)过点M的一条直线交抛物线于A,曰两点,AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F(如图1)证明:E,F,N三点共线.……     

两种说法不等价

<正>在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹为C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线过定点P(-2,1),求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时,k的相应取值范围.命题组给出(Ⅰ)小题的解答如下:解设点M(x,y),依题意得     

圆锥曲线切线的一个统一性质

性质1 如图1,已知P是过抛物线y^2=2px（p〉0）的准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为抛物线的焦点,则（1）PF⊥x轴;（2）PC⊥PF． 证明 （1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为x=ty-p/2,联立直线AB的方程和抛物线方程消x整理得y^2-2pry＋p^2=0,所以由韦达定理有y1＋y2=2pt,y1y2=p^2     

偶然中的必然

一、偶然的发现 题1 已知向量a=x·→i+(y-√7)→j,→b=x·→i+(y+√7)→j(x,y∈R),且|→a|+|→b|=4√2,动点P(x,y)的轨迹方程记为C.射线y=2√2x(x≥0)与曲线C的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与曲线C交于A、B两点(异于M).求证:直线AB的斜率为定值.     

圆锥曲线的一个性质的证明与推广

在研究圆锥曲线与其它知识的综合问题时,我们发现抛物线的准线上任意一点与焦点弦的端点、焦点连线的斜率之间存在着一定关系,这种关系不仅可以类推到椭圆双曲线,而且还能将结论更一般化,下面将此性质加以推广和证明,希望能和读者共勉·命题1设点M(m,0)(m>0)是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的一点,过点M的直线与抛物线相交于A、B点·点N是直线x=-m上任意一点,则直线NA、NM、NB的斜率成等差数列·图1证明如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为:x=hy+m,由y2=2px,x=hy+m,消x得y2-2phy-2pm=0,∴y1·y2=-2pm·设点N(-m,n),则直线NA的斜率为kNA=xy11+-mn,直线NB的斜率为kNB=xy22+-mn·∴kNA+kNB=yy121-n2p+m+y2-ny222p+m=2yp12(y+12-pmn)+2py(22y+22-pmn)=2p(y1-ny12-y1y2+y22y2--y1ny2)=2p·y2(y1y-1yn2)(y-1y-1(y2y)2-n)=2p·y1ny(2(y1y1--y2y)2)=2p·y1ny2=2p·-2npm...     

抛物线光学性质的三种证法

本文介绍抛物线的一个光学性质的3种证法.设F是抛物线的焦点,M是抛物线上任意一点(如图1),MT是抛物线在点M处的切线,MN是法线,ME是平行于抛物线的轴的直线,那么法线MN必平分∠FME,即φ1=φ2.图1证法1取坐标系如图1,这时抛物线方程y2=2px.设点M的坐标为(x0,y0),则法线MN的方程是     

“扫雷”一例

例题已知双曲线C:y2-4x2=1,求斜率为2的直线l与双曲线C相交的弦AB的中点轨迹．错解设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点P(x, y),     

一道高考题的思考

<正>题目(2019年全国2卷(理))已知点A(-2,0),B(2,0),动点M (x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1/2.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.证明:△PQG是直角三角形.     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.