巧用斜率解三角函数问题

对于形如y=asinx b/acosx c可理解为y 是(cosx,sinx)与(-c/a,-b/a)两点间的斜率(k=y1-y2/x1-x2).例1 求函数y=2sinx-2/2cosx 1的值域.     

函数观点下的等差数列

等差数列是一类特殊函数 ,用函数思想理解等差数列能加深对其概念和公式的理解和运用 ,加强知识点间的联系 .1　一次函数等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+ (ｎ - 1)ｄ =ｎｄ+ (ａ1-ｄ) ,它是关于ｎ的一次函数 ,其图象是一条直线上的点 ,求和公式Ｓｎ=ｎａ1+ ｎ(ｎ - 1)ｄ2 可变形为 Ｓｎｎ =ａ1+ ｎ - 12 ·ｄ ,也是关于ｎ的一次函数 .因此 ,对于涉及到等差数列的有关问题 ,有时可利用一次函数的性质及图象求解 .例 1　在等差数列 {ａｎ}中 ,ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ(ｍ≠ｎ) ,求ａｍ +ｎ.解　设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａｎ=ｎｄ +(ａ1-ｄ)是关…     

这个结论如何理解？

结论 把圆x^2＋y^2=a^2按b/a压缩成椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1,．则可得椭圆的面积S=nab．如何理解？     

冷眼看“f[f~(-1)(x)]=x”

数学作为一种工具,强调应用性,新教材教学极其关注这一点,尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用,近年来各省的高考试题有不同程度的体现.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,从基础出发,重定义,才能至千里.本文主要通过实例,探讨反函数及f[f-1(x)]=x的实质和应用,加强同学们对抽象函数的理解,希望能给大家一点启示.1求抽象函数的反函数——重在理解反函数的定义例1已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),求函数y=f(2x-1) 1的反函数.解析由y=f(2x-1) 1得,f(2x-1)=y-1,∴f-1[f(2x-1)]=f-1(y-1),即2x-1=f-1(y-1),x=21f-1(y-1) 21.∴y=f(2x-1) 1的…     

一道考察变形能力的赛题

<正>第25届"希望杯"初二2试18题:若x-y-2=0,2y2+y-4=0,则x/y-y=____.这道题结构朴实无华,但内涵丰富涉及到二元一次方程、一元二次方程、分式的相关知识.对试题的理解角度和理解深度的不同,会产生特征各异的解题方法.方法1利用一元二次方程知识容易求     

准确理解一元二次方程的根与系数的关系

<正>一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a.这个关系通常称为韦达定理(Victa's theorem)学习时,我们要准确理解一元二次方程的根与系数的关系,把握其本质特征,理顺两根x_1、x_2与系数a、b、c之间的相互关联.而要全面准确地理解一元二次方程的根与系数的关     

关于“解三角形”的教学思考

一、重视例习题的反思,创设探究情境 例题与练习(人教A版必修5第一章“解三角形”P3例1、2,P8练习1、2) 例1 在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形. 例2 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形. 练1 在△ABC中,已知a=2.7cm,b=3.6cm,C=82.2°,解三角形. 练2 在△ABC中,已知a=7cm,b=10cm,c=6cm,解三角形. 在学习“解三角形”这章时,首先,教师可将这些例习题放在一起请学生思考:完成这些题目后你发现了什么?这将促使学生主动进行题后反思活动并从不同角度进行分析,有的学生根据自己的解法发现知道两角及其中一角对边或知道两边及其中一边对角用正弦定理解三角形;知道三边或两边及夹角用余弦定理解三角形.     

数e简史

π和ｅ是数学中一对极为重要的无理数 ,对π其来源是人们所熟知的 ,但对ｅ见诸介绍的却很少 ,所以常有学生问及ｅ的来源 .本文就中学生能理解和接受的程度谈谈ｅ的来源 ,供同学们参考 .　　让我们从如下重要不等式开始 .ａ1 ａ2 … ａｍ ａｍ 1 … ａｎｎ≥ ｎ ａ1·ａ2 ·…·ａｍ·ａｍ 1·…·ａｎ ( 1)其中ａｉ∈Ｒ ,ｉ=1,2 ,… ,ｎ ,当且仅当ａ1=ａ2=ａ3=… =ａｎ 时取等号 .在 ( 1)中 ,若令ａ1=ａ2 =… =ａｍ=ａ ,且ａ≠ 1,ａｍ=ａｍ 1=… =ａｎ=1,则有 ｍａ (ｎ -ｍ)ｎ >ｎａｍ,即 1 ｍｎ(ａ - 1) >ａｍｎ,再令 ｍｎ =ｂ,则有…     

一元一次方程错解剖析

初一同学刚学一元一次方程解法时 ,由于对知识理解不透 ,基础掌握不牢 ,常常在解题时出现各种错误 .现将同学们常见的错误解法剖析如下 :【题 1】　解方程　ｘ -1=1-ｘ .解　ｘ -1=1-ｘ =ｘ +ｘ =1+ 1=2ｘ =2 =ｘ =1.【剖析】　这题错解在于连用等号 ,混淆了代数式运算与解方程知识 ,这是初学者受知识负迁移的影响 .本题正确解法如下 :ｘ -1=1-ｘ ,ｘ +ｘ =1+ 1,2ｘ =2 ,ｘ =1.【题 2】　解方程　 8ｘ + 12 -9ｘ + 5 =8.解　 8ｘ -9ｘ =8+ 12 + 5 ,-ｘ =2 5 ,∴　ｘ =-2 5 .【剖析】　此题违反了“移项要变号”法则 .移项必须变号 ,它是由等…     

例谈反比例函数中的几个不变性问题

反比例函数是最基本的函数之一.通过学习反比例函数可以使学生进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,深化对函数内涵的理解和掌握.对于每一个具体的反比例函数来说,其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的,但它还有自身的独特性质,笔者在教学中发现了一些关于反比例函数的几个不变性问题,本文通过实例谈谈这些不变性问题中体现的数形结合及转化等一些重要的数学思想.1面积的不变性问题图1例1如图1,已知双曲线y=xk(k为常数,k>0,x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,则E一定是边BC的中点.分析要证明E是边BC的中点,只需要证明S△OCE=41S矩形OABC或者S矩形OMEC=21S矩形OABC即可,为此可以将问题转化为反比例函数中的面积不变性命题来证明.证明设点E的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),点F的坐标为(x2,y2)(x2>0,y2>0).则x1.y1=x2.y2=k.过点E、F分别作EM⊥x轴于M,FN⊥y轴于N.则OM=x1=x1,OC==y1=y1,OA=x2=x2,ON=y2=y2.∴S矩形OMEC=OM.OC=x1.y1=k,S矩形OAFN=O...     

数形结合活跃思维

著名数学家华罗庚曾经说过 :数形结合千般好 ,数形分离万事休 .这说明 ,数离不开形 .对数学知识的理解、记忆若能结合几何图形 ,往往理解深刻 ,记忆牢固 .在解数学题时 ,若能构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法 ,而且数形结合是培养学生创造性思维的一个极好的切入点 .下面结合本人的教学实践 ,略举数例 .1　构造图形 ,证明公式例 1　 a、b∈ R ,且 a≥ b,证明 :　　 a≥ a b2 ≥ ab≥ b. 1如图 1,BC为Rt△ ABC的斜边 ,○.O为△ ABC的外接圆 ,AD⊥ BC于 D.记BD =a,CD =b,则AO =12 BC=12 (a b) .图 1依垂…     

“三角形内角平分线性质定理”教学实录 湖北省六市、三企教研协作会数学公开课之一

一课题:三角形内角平分性的线质定理。二教学目的 1.理解定理的含义,初步用来解答一些基本习题; 2.理解定理的证明过程,了解这种证法的基本思想。三重点与难点三角形内角平分线的性质定理及其证明过程是重点;证明定理时适当添作辅助平行线是难点。四教学方法:研究式教学法。五教学过程 1.引入新课教师:如图1,已知△ABC中,AB=AC且AD平分∠BAC;那么BD/DC=? AB/AC=? 〔众生举手,教师指定A生回答。〕 A生:BD/DC=1,AB/AC=1。教师:这两个比有何关系?     

对函数式y=f(x a)理解不当致错两例

《函数》一章是高中数学的重点,函数的有关概念有时很抽象,容易产生错误认识. 1.y=f(x 1)与y=f-1(x 1)的关系. 很多同学认为这两个函数互为反函数,这说明对反函数的概念没有真正理解,如果我们要得到了y=f(x 1)的反函数,按照反函数的定义应该这样做:若f(x)有反函数,先反解     

公式C_n~kC_k~m=C_n~mC_(n-m)~(k-m)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但如果把它们与准确、形象、生动的实例联系在一起,就不困难了。 组合数的性质C_n~k·C_k~m=C_n~m·C_(n-m)~(k-m)就是这样。如果说C_n~m=C_(n-1)~m C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了组合数的“加法”和“减法”运算的话,那     

集合论与代数的新运算(Ⅱ)

定义1 令X={x_1,x_2,…,x_n,…}=可数无穷集合,是有限集。对于先作一一对应其中i_1,i_2,…,i_n,…∈{0,1}满足然后把A与A所对应的(i_1,i_2,…)作恒同的理解,中最多只有有限个i_a等于1,其余的均为0),对于A=(i_1,i_2…,i_n,…)令其中当{l:i_1=j_1=0}≠φ(非空),min{l:i_1=j_1=0}     

用函数思想解数列问题

数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系,增强化归能力.1　利用一次函数性质例1　设ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和,求证:ｓｍ ｎｍ ｎ=ｓｍ-ｓｎｍ-ｎ.证　设{ａｎ}公差为ｄ,则ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ-1)2ｄ.∴ｓｎｎ=ｄ2ｎ...     

论“审题数要”

审题是整个解题过程中的第一个关键步骤,如何做好审题工作,应从哪些方面入手做好审题工作是很有探讨必要的,本文拟就此谈一点个人的看法。 1 词意式义的理解 审题的起码的也是首要的要求是看懂题意。对命题中的词意式义要有正确的理解,否则处于不知所云的朦胧状态中,如何谈得上去设计解题方案呢? 例1 若p={x|y~2=-2(x-3)},Q={y|y=x~2-     

怎样避免对棣莫弗公式的错误理解

本刊今年第四期上刊登了《避免对棣莫弗公式的错误理解》一文。在该文中指出:将棣莫弗公式理解为复数n次幂的辐角等于这个复数的辐角的n倍,是错误的。这种错误理解写成等式即为 Argz~n=nArgz (1) 在上述文章的基础上,本文将谈谈避免错误理解的4种方法。     

谈数学教学中的"反例"效用

在数学教学中适当运用反例,可以收到事半功倍的效果.1反例是理解概念的工具数学概念是整个数学大厦的基石.教师要善于利用反例把“死”知识教活.例如,函数的概念对于初学者来说是比较难理解的,利用反例可加深学生对反函数的理解.现举例如下:例1下列图形中,不可能是函数y=f(x)的     

关于 x~2+y~2=n 的有理解

文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b…