当等号不能成立时

在应用基本不等式的有关定理求最值时要把握定理成立的三个条件,就是＂一正——各项都是正数;二定——积或和是定值;三相等——等号能否取到＂.求最值时,若忽略了某个条件,就会出现错误,     

用均值不等式求最值取等号的错因剖析

用均值不等式求最值是高中代数教学的一个重点和难点，也是高考在综合题、应用题中出现频率很高的知识点．运用时必须注意三个限制条件，即“一正、二定、三取等”．笔者在教学实践中，发现很多同学在“取等”这一环节上由于观察不仔细，条件分析不充分，知识方法应用不恰当等原因，经常出现错而不知的现象．本文拟从多角度剖析运用均值不等式求最值时取错等号的原因，以期引起大家的注意．     

“不正、不定”怎么办

基本不等式＂（a＋b）/2≥（ab）（1/2）（a,b≥0）＂是高中所学不等式中的重点,其内涵丰富,应用之广泛.其中求最值是它最典型的应用,也是高考常考内容.在利用基本不等式求最值时,必须要满足＂一正、二定、三相等＂三个条件,缺一不可,才能确保等号的成立.＂一正＂即＂a、b均为正数＂;＂二定＂即＂和为定值时,积有最大值...     

倍值换元法求解二元最值问题

有些二元最值问题,取得最值时两个变元之间存在某种倍值关系,在求最值时就可以考虑倍值换元,通过实例说明倍值换元法在解决数学竞赛和名校自主招生试题中的应用.     

2021年全国高中数学联赛加试最值题引发的思考

笔者推广了2021年全国高中数学联赛(B卷)加试最值题的结论,给出了一个类似结论.笔者将其作为证明方法的类推应用,阐述利用平均值不等式法、柯西不等式法、待定常数法(或凑等号法)、切线法、中间不等式法,通过构建并运用局部不等式,使一大批不等式竞赛题获得简洁证明.     

条件最值（不等式）问题的一种解（证）法

求条件最值及证明条件不等式问题 ,情形复杂 ,解法灵活 ,技巧性强 ,是学习的难点之一 .本文运用平均值不等式及柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式推导出几个条件不等式 ,并举例说明它们在求条件最值及证明条件不等式方面的一些应用 ,供大家参考 .1　若ａｉ,ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,且 ｎｉ=1ａｉｘｉ=ｋ ,则1) ｎｉ =1ｘｉ≥ 1ｋ ( ｎｉ=1ａｉ) 2 (ｎ∈Ｎ) ( 1)2 ) ｎｉ =1ａｎ≤ｋ ｎｉ=1ｘｉ(ｎ∈Ｎ) ( 2 )证　 1)∵ ｎｉ =1ａｉｘｉ=ｋ ,　∴ ｎｉ=1ｘｉ =1ｋ· ｎｉ =1ｘｉ· ｎｉ =1ａｉｘｉ≥ 1ｋ( ｎｉ=1ｘｉ·ａｉｘｉ) 2 =…     

双根式和或差的函数求最值方法

关于t的双根式和或差的函数u=√f(t)±√g(t)求最值问题,方法比较灵活.为了研究方便,笔者先给出比较简单的关于r的函数u=√at+b±√ct+d(a,6,c,d都是常数,且ac≠0)求最值的方法,此时f(t)、g(t)都是一次函数形式;然后举例说明f(t)、g(t)分别是一次、二次函数形式如何求最值;再举例说明f(t)、g(t)均是二次函数的特殊情形如何求最值;最后举例说明f(t)、g(t)更为复杂的情形如何求最值.     

圆锥曲线最值问题的不同思路分析

与圆锥曲线最值相关的问题考查形式多种多样,常见的有求参数的最值、求线段的最值以及求面积的最值.解答这些问题应根据已知条件与曲线特征选择不同的方法,其中定义法、函数法与不等式法都是常见的解题方法.本文中结合实例,具体分析解答圆锥曲线最值问题常见的解题思路.     

求复数模的最值的常用策略

复数的模是复数中的重要概念之一 ,复数ｚ的模 |ｚ|是其对应点Ｚ到原点的距离 (复数模的几何意义 ) .复数模的最值问题既是复数问题中的一个重点 ,也是一个难点 .其最常用的策略有 :用函数思想、方程思想可将问题转化为代数法或三角法 ,用数形结合思想可将问题转化为几何法 ,用重要的不等式公式可将问题转化为不等式法 .下面我们就来分别举例说明这几种策略 .1　用代数法求最值用代数法求复数模的最值 ,在这里是指把问题转化为求代数中的最值问题来解决 .例 1　已知复数ｚ满足 |ｚ - (2 + 3ｉ) | + |ｚ -(2 - 3ｉ) | =4 ,试求 |ｚ|的最值 .…     

巧用柯西不等式求最值

文[1]、[2]分别给出了巧用向量不等式和椭圆不等式求一组最值问题的方法,读后很受启发．作为对这组问题探究的继续,本文从巧用柯西不等式的视角再给出其解法（限于篇幅,各例均略去不等式取等号的条件）,供大家参考．     

引入参数求最值

在利用均值定理求最值时,往往由于忽视等号成立的条件而导致错误,引入参数求最值可避免这类错误的发生.下面举例说明,供同学们参考. 例1当0相似文献   

解题切莫忽视自变量的取值范围

建立二次函数模型求最值时,很多同学极易受"当x=-b/2a时,二次函数y=ax2+bx+c有最值(4ac-b2)/(4a)"的结论影响,而不认真分析自变量x的取值范围,导致出错.下面通过两道例题,谈谈自变量的取值范围在求函数最值时的作用,希望对同学们有所帮助.     

最值问题中的常见错例及其剖析

最值问题是中学数学的一类重要问题 ,其解法繁多且灵活多变 ,因此学生求解时极易出现错解、误解的现象 .本文归纳、整理了学生在求解最值中的一些常见的问题 ,通过展示错解、剖析错因、给出正解 ,以达正本清源、辩别正误的目的 .1　消元时忽视条件的限制　　例 1　设 3ｓｉｎ2 α 2ｓｉｎ2 β =2ｓｉｎα ,求ｙ =ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β的取值范围 .错解 :ｙ =ｓｉｎ2 α 12 ( 2ｓｉｎα - 3ｓｉｎ2 α) =- 12(ｓｉｎα - 1) 2 12 ( 1)　　由 |ｓｉｎα|≤ 1,∴ ｙ∈ [0 ,12 ] .剖析 :显然当 ｙ =ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =12 时 ,ｓｉ…     

应对取等号条件不成立的若干策略

<正>大家都知道,"一正,二定,三取等"是应用平均值不等式求最值的三个条件,缺一不可,而在解题时却经常遇到等号不成立的情况,如何应对这种情况就成为解题的难点和重点,也是解题者特别关注的问题,现就应对这种情况的常见策略加以盘点,以期抛砖引玉.     

三角函数的最值

求三角函数的最大值和最小值是三角函数部分的重点内容 ,也是高考考察的热点 .本文就对三角函数最值的解法作一总结 .1　求三角函数最值的常用方法　1)配方法 (主要利用二次函数理论及三角函数的有界性 ) ;2 )化为一个角的三角函数 ,主要利用和 (差 )角公式及三角函数的有界性 ;(如　ａｓｉｎθ +ｂｃｏｓθ =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(θ + φ) ,φ为辅助角 )3)数形结合法 (常用到直线的斜率关系 ) ;4 )换元法 (如用万能公式 ,将三角函数转化为代数函数 ) ;5 )函数的单调性 ;6 )利用均值不等式 .2　举例例 1　求函数ｙ =(ｓｉｎ2 ｘ + 1) (ｃｏｓ2 …     

三角函数的最值问题探究

求三角函数的最值,是历年高考考查的知识点,是三角函数基础知识的综合应用.高考中通常在知识交汇处与向量、实际问题等知识结合,其综合性强,解法灵活.解决三角函数最值这一类问题,可充分利用三角函数自身的特殊性,还要注意化未知为已知,用转化化归思想求三角函数最值问题.     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

巧用七招 突破最值

最值问题一直是高考试题中的一个热点,几乎年年都有所涉及.求最大(小)值问题,绝大多数都可转化为不等式问题.本文总结了解决最值问题的七个常用模型.     

曲线上一动点到两定点距离之和的最值

运用多种方法,求所给直线、圆、椭圆上一动点到两定点距离之和的最值,以及求椭圆上一动点到一焦点与椭圆内(外)一定点距离之和的最值.     

利用均值不等式巧解三角问题

<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)^(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a²