关于定积分換元法則的討論

定积分的計算在数学分析中,无疑是极为重要的。木刊近年来发表了[1],[2]与[3]三篇文章,都談到了积分計算的基本原則問題。确实,几乎所有稍微复杂一些的定积分,都常常需要运用到某些变換来簡化其中的演算步驟或者使之明朗化,而往往此种变換——即所謂“換元法則”的寻找与采用,就体現了运用者的某种技巧与方法。而所有这些慣用的方法,都必須服从变換所应具有的基本原則。即若干定积分換元法則所应遵循的一些充分条件。假若基本原則所規定的条件越寬,适用度越大,当然技巧性也就越容易普及,容易被人們寻找到方便的     

也談定积分的换元法則

§1.一个反例数学通报1962年8月号載有张广柱和帅启慧的文章“关于定积分換元法則中的若干問題(下称文(*))。該文讲述了定积分換元法則与不定积分換元法則的不同之处,以及如何避免計算中可能产生的某些錯誤。对于这两个問題,我們认为有值得商榷的地方。該文所引述的是(?)菲赫金哥尔茨的微积分学教程第301节的一个法則(注意,該书第304节还有严格証明着的另一法則。这,下文还要論及): 定积分換元法則A.設f(x)是区間(?)上的連續函数,区間[a,b]含于区間(?)之中,(?)(t)是区間[α,β]上滿足下列条件的函数:     

关于定积分微元法的一点补充

通过一个实例提出问题,进而给出微元法中推导微元及检验微元表达式的简便方法.     

关于定积分换元法則中的若干問題

在讲到定积分換元法則时,由于較不定积分的換元法要求的条件多,在实际計算中偶一疏忽往往容易产生錯誤,因而很自然地提出以下的几个問題: 問題1.在計算定积分时,既然有牛頓-萊布尼茲公式作为依据,而且在不定积分求原函数的过程中也介绍过換元法則,     

巧用换元法求定积分

指出定积分换元积分法与不定积分换元积分法存在差异，总结并介绍定积分换元积分的几个常用公式，实例说明这些公式的使用方法及换元技巧．     

定积分的二种换元法及其应用

1．引言在定积分的计算中,运用变量替换可以大大简化计算过程,因此在计算定积分时常常需要考虑换元法．本文介绍了定积分的二种换元法：交换变换和减半变换,并列举了典型范例．2定积分的两种换无法定理亚若f（x）在闭区间[a,b]上,可积,则证明用换元法设u—a＋b—x,则dx—一du,当x一a时,u—b,当x一b时,u—a,Hx一a＋b—u6「a,hi,即f（＋b—u）在［a,hi上也是可积的,故我们把这种上、下限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当a一O时有下列推论：推论1若f（x）在［a,hi上可积,则由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要…     

关于积分中值定理的一点改进

<正> 在一般的理工科教材中,关于积分中值定理叙述如下: 定理1 若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使得∫_a~b f(x)dx=f(ξ)·(b—a) 定理2 若f(x,y)在闭区域D上连续,则在区域D上至少有一点(ξ,η),使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)·σ其中σ表示闭区域D的面积。关于定理1,黄炳生同志在f(x)的条件削弱了的情况下,证明了其中的ξ可以取到开区间(a,b)内。本文一方面推广了黄炳生的证明方法,证明了定理2中的(ξ,η)也可以取     

曲面积分的换元法

给出了曲面积分的换元法,丰富了曲面积分的计算方法.     

曲线积分的换元法

给出了曲线积分的换元法,丰富了曲线积分的计算方法.     

对“关于定积分换元法則中的若干問題”一文的意見

“数学通报”1962年第8期上登載了张广柱和帅启慧两位同志合写的“关于定积分換元法则中的若干問题”一文(以下簡称原文),經过初步閱讀后,我感到有必要弄清楚定积分换元法则的适用范围的問題。对这个問題,我不作全面詳尽的探討,只談談自己的一些粗浅看法,借此与张、帅二位同志商榷。原文首先在§1中对于积分簡单地列出了它的換元法则。即假設:1.f(x)是区間[a,b]上的連續函数;2.命x=φ(t),使函数φ(t)合于下列諸条件: (ⅰ) φ(t)在某一区間[α,β]上确定且連續,并且当t在区間[α,β]上变化时,φ(t)的值不超出区間[a,b]的范围(可能发生这样的事情:函数f(x)在比[a,b]更大的区間[A,B]上确定且連續,于是只需要     

定积分换元法的表述

就定积分换元法的表述,查阅了大量的教科书,并把它们分为六类.通过分析和举反例的方法,发现某些表述中有不必要的条件,某些表述甚至是错误的,而同济大学五版的《高等数学》中的表述更适合于工科学生.     

定积分不等式

<正> 含有抽象函数定积分的不等式证明题,在全国十八所院校暖通专业87级的评估题中,在88年全国招考研究生试题中都出现过。在87年前各校自行命题的招考研究生试题中,也多次出现。但在同济大学编《高等数学》(第二版)中,具体函数的定积分估值问题是常见的,而抽象函数定积分的不等式证明题并不多见。若教学时适当予以补充,则费时不多而能使学     

三角函数的定积分

利用围道积分和参数展开,得到了一类含三角函数定积分的值.     

分割积分区间计算定积分

在定积分的计算中,当积分区间关于坐标原点对称且被积函数为奇函数或偶函数时很容易计算．当被积函数为非奇非偶函数时的计算方法是先分割积分区间再作变量替换,进一步给出任意区间上的定积分的计算有相同的计算方法．     

改进的定积分中值定理在解题中的应用

传统的定积分中值定理对“车”的范围限定在闭区间上,事实上,“ξ”的取值范围可改进为限定在开区间内．利用改进的定积分中值定理．可使某些极限题目的求解更简便,快捷;对某些证明题目能得到更强的结论．而同样的题目．借用传统的定积分中值定理未必能够完成求解或论证．     

曲线积分转化为定积分的方法

基于形象直观思维下,本文阐述如何用简便方法把两类曲线积分转化为定积分.     

定积分计算探讨

综合利用傅里叶级数法,参数求和法,参数展开法,得到了一些定积分的值.     

三用定积分

定积分是新课标的新增内容,它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液,还给学生提供了数学建模的新思路、用数学的新意识,通常利用定积分可以求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力作功等.另外,利用定积分也能证明不等式,下面举例说明.     

解方程计算定积分

将未知定积分置于方程中,通过求解方程而求得定积分结果,该方法简单、灵活,适用范围广,学生易掌握,本文列举了6种情况并举例说明,以供教学参考.     

三用定积分

定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力作功等．另外，利用定积分也能证明不等式，下面举例说明．