解一道竞赛题的意外收获

正题目:在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连AN、CM交于P点.试求∠APM的度数,并写出你的推理证明的过程.(1993年北京     

自拟几何问题

<正>题目如图,任作一圆内接三角形,过三顶点A、B、C分别向对边引线段交三角形于Y、Z、X交圆于F、E、D,三条线段交于圆内一点M,已知△BMF和△AME外接圆圆心分别是O₁和     

数学问题解答

2012年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2056设正△ABC的外接圆为⊙O,P是BC上一点,直线AB、CP交于M,直线AC、BP交于N,D、E分别为BM、CN的中点,DE分别交BN、CM于G、F,求证:OP⊥FG,且√3OP=2FG.     

解一道竞赛题的意外收获

题目：在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN—BM,连AN、CM交于P点．试求么APM的度数,并写出你的推理证明的过程．（1993年北京市数学竞赛初二复赛题）     

三角形的一个共点性质及其空间拓广

共边定理 若直线AB和PQ相交于点M，则有S△PAB/S△QAB=PM/QM（证明明见文[1]） 共面定理 若平面ABC和PQ相交于点M，则有VP-ABC/VQ-ABC=PM/QM（证明可仿共边定理证明）     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

几种解法 多种思考

<正>下面是一道题的几种解法,供同学们学习时参考.题目如图1,抛物线y=ax³/2-x-2的2图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.解法一构造函数法     

一个新性质的统一证明及本质

文[1]给出了圆锥曲线的一个新性质:性质已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ两条切线PA,PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线l的直线l’与PA,PB分别交于点M,N,记△AFM,△PMN,     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义 如图1，设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，6〉0）上的一点P（x0，y0）的切线，l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，与x轴交于点Q，则称△OMN为双曲线的渐近三角形．     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

三角形中位线定理应用例谈(下)

<正>(三)综合例题例7如图15,点O是凸四边形ABCD内一点.∠AOB=∠COD=120°,AO=OB且CO=OD.K是AB中点,L是BC中点,M为CD中点.求证:△KLM是正三角形.证明如图15,连接BD、AC,设BD,AC交于P.易知△BOD≌△AOC(边、角、边),所以BD=AC.∠PBO=∠PAO.     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

数学中“常见病”“多发病”的防治(续完)

三、循环论证症病例6。在△ABC中,BC、AC边上的中线AD、BE交于I,求证:AB边上的中线也通过点I。证明:∵任何三角形的三中线交于一点,而AD与BE只有一个交点,所以点I就是△ABC的重心,因此AB边上的中线必通过点I。病理分析:命题所要证明的实质上就是“三角形的三条中线相交于一点”,命题中的提法只是“三角形的三条中线相交于一点”的另一表达形式,而证明过程中第一句话就以“三角形三中线交于一点”作为根据,这怎么可以呢?     

两种方法的结果是相同的吗?

<正>问题设P是锐角△ABC的边BC上的一个定点,试分别在边AB和AC上各求一点M和N,使△PMN周长最小.作法1如图1,分别作出点P关于AC的对称点P_1和点P关于AB的对称点P_2,连结P_1P_2,P_1P_2分别与AB和AC交于点M和N,点M和N即为所求点.(证明略)由两点间线段最短,及二相交直线只有唯一交点,可得所求点M及点N都是唯一的.     

赏析 溯源 推广——一道数学试题的探究与思考

2009年高考理科数学(湖北卷)20题:过抛物线y~2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M_1,N_1.(Ⅰ)当a=p/2时,求证:AM_1上AN_1;(Ⅱ)记△AMM_1,△AM_1N_1,△ANN_1的面积分别为S_1,S_2,S_3.是否存在λ,使得对于任意的a     

对一道中考试题的命制猜想与感悟

1题目呈现 (2010年辽宁本溪市24题)如图1,∠EBF,=90°,请按下列要求准确画图: (1)在射线BE,BF上分别取点A,C,使BC相似文献   

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

论向量法解几何问题的基本思路(续)

例15 如图15,设O是△ABC内一点.过O作平行于BC的直线,与AB和AC分别交于J和P.过P作直线PE平行于AB,与BO的延长线交于E.求证:CE//AO.     

陈省身杯一赛题的别证

题目[1]在△ABC中,D、E分别为边AB、AC的中点,BE与CD交于点G,△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P(P≠A),AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L(L≠A).     

从一道题中提炼的“曲直结构”模型

<正>1.试题(无锡市宜兴市2016一模拟试题)如图1,在直角△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点,且DE=3.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为().(A)8/5(B)2(C)12/5(D)14/5