椭圆切线的尺规作法

在研究椭圆问题时 ,得到以下椭圆切线的一个尺规作法 :已知椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b >0 ) ,过椭圆上一点Q(x0 ,y0 )的切线方程为x0 xa2 + y0 yb2 =1 .设Q(x0 ,y0 )为椭圆上任一点 ,下面给出切线的作法 .作法 :( 1 )若Q为椭圆的顶点 ,则切线垂直于所在的轴 ;( 2 )若Q在任一非顶点处如图 ,过Q作QA ⊥x轴 ,垂足为A ,反向延长QA ,①以O为圆心 ,a为半径画弧交射线AQ的延长线于P点②过P点作OP的垂线PN交x轴于N点③连结NQ ,即为过Q点的切线 .　　证明　不妨设Q在第一象限 ,Q(x0 ,y0 ) ,则A为 (x0 ,0 )因为OP =a ,x0 2a2 + y0 2b2…     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

一个有趣的结论

1　问题的提出 :1 995年文科第 2 6题如下 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x =1 2 ,P是l上一点 ,射线OP交椭圆于点R ,又点Q在OP上且满足｜OQ｜·｜OP｜=｜OR｜2 .当点在l上移动时 ,求点Q的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .其答案是 :Q的轨迹方程为(x -1 ) 2 +y223=1 (其中x ,y不同时为 0 ) .从上面答案我们也许看不出什么有趣的东西 ,但将上面答案展开得 :x22 4+y21 6=x1 2 ,并对比已知条件中两条曲线的方程就不能不引起一个对数学问题感兴趣的人的思考了 .无独有偶的是 1 995年高考理科第 2 6题 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x1 …     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

例析圆维曲线中的定点问题

问题已知抛物线E:y2=2px(p>0)上有横坐标为3的一点,它到焦点F的距离为4. 　　(1)求抛物线E的方程; 　　(2)P、Q是抛物线E上异于原点的两动点,且满足OP⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.……     

用特定位置解一类解几填充题

利用特殊位置巧解一类解几填充题,可一望而解: 1.已知圆(x+4)~2+(y-3)~2=4和直线y=mx交于P、Q两点,则|OP|·|OQ|=_______。 2.M是椭圆x~2/9+y~2/4=1上任一点,F_1、F_2是它的焦点,Q是△MF_1F_2的内心,MQ延长线交直线F_1F_2于N,则|MQ|:|NQ|=_______。 3.将曲线y=f(x)平移,使曲线上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则此时的曲线方程是_____。 4.已知抛物线y~2=4x的一条焦点弦被焦     

一道课本习题的探究

<正>问题提出(人教A版选修4-4p_(34)习题第2题)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B_1,B_2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|·|OQ|为定值.1解法探究解法1设M (a cosθ,bsinθ),P(x_P,0),     

三角客观题的图象解法

解三角客观题时 ,利用图象 ,结合分析 ,可以避免对角的讨论及繁琐的运算 ,很容易得到正确答案 .下面举例加以说明 .例 1　已知cosα =- 1213,α是第二象限的角 ,则tan α2 的值等于 (　　 )(A)± 5 .　 (B)± 15 .　 (C) 5 .　 (D) 15 .图 1　例 1图解　如图 1,在第二象限内作线段OP =13,使OP在x轴上的射影长为12 ,则以射线OP为终边的角就是满足题设的角α ,α2的终边就是图 1中的射线OM ,ON .显然 ,tan α2 的值必大于 1,故选 (C) .例 2　已知α为锐角 ,sinα =45 ,cos(α +β) =- 29,则 β的终边在 象限 .图 2　例 2图解　如图 2 ,…     

点关于圆的极线的讨论

文 [1 ]中指出了点P(a,b)关于圆x2 +y2 =r2 (r >0 )的极线 ,当点P在圆内时极线的情形 .最后谈到不必作出相关切线也能较快地作出P点的极线ax +by=r2 :首先解方程组 :ax+by=r2bx-ay =0 ,求得Q点坐标ar2a2 +b2 ,br2a2 +b2 ,然后在OP延长线上依坐标找到Q点 ,最后过Q点作直线OP的垂线即得 .这个办法是代数的方法 ,因为要解代数方程才能得到Q点坐标 ,另一个不易确定的是如何依据坐标在OP上较准确地找到Q点 .这个问题较好的几何处理办法是 :作过P点的直径EF交圆于E、F两点 ,再过P点作直径EF的垂线交圆于MN ,过M点作圆O的切线MQ交直径E…     

利用坐标转移法求轨迹

我们先看下面一道习题: 例1 从一个定点M1(α,b)到圆x2 y2=r2上任意一点Q作线段,M点内分M1Q成2:1,求点M的轨迹方程.(《解析几何》P112复习参考题二,5) 分析这里有两个动点Q和M,并且点M随点Q的运动而运动.因为点Q的运动规律(即轨迹方程x2 y2=r2)已经知道,所以我们只要找出点M与点Q的某种关系,便可由点Q即知点M的运动轨迹. 解设点Q的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),由已知条件得     

综合题新编选登

题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

纵横联想拓展延伸——对一道解几题的深入探究

数学教学中的习题教学应该成为高效的思维训练 .选择典型例题 ,引导学生拓宽思维空间 ,广泛地探寻各种解法 ,通过对比鉴别 ,不断择佳选优 ,然后再进行拓展延伸 ,则是进行这种思维训练的理想途径 .本文以一道解几题为例 ,谈谈这种训练的实施过程 .题目　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )的顶点 O作两条互相垂直的弦 OP1、OP2 ,分别以OP1、OP2 为直径作圆 ,两圆的交点为 O、Q,求Q点的轨迹方程 (如图 1 ) .1　异彩纷呈 ,逐步优化的各种解法图 1由于弦的斜率是引起交点 Q变化的根源 ,所以首先想到的是分别设出直线 OP1和OP2 的方程 ,求出 P1、…     

源于一道教材习题的几例高考题

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题:已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,求证:△P1P2P3是正三角形.1证法由已知OP1+OP2=-OP3,两边平方得OP1.OP2=-12,同理OP2.OP3=OP3.OP1=-12,∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3,从而△P1P2P3是正三角形.反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.即O是△ABC所在平面内一点,OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正三角形△P1P2P3的中心.2弱化题设条件,可得几个充要条件(1…     

圆锥曲线切线的一个有趣的性质

笔者近期研究圆锥曲线切线时 ,发现了一个有趣性质 .定理 1　过圆x2 +y2 =r2 上一点引圆的切线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是 1x2 + 1y2 =1r2 .定理 2　过椭圆 x2a2 + y2b2 =1上一点引椭圆的切线和法线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,法线与x轴 ,y轴分别相交于点M ,N .　 ( 1 )以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是a2x2 + b2y2 =1 ;( 2 )以原点O和M ,N为顶点构成的矩形的另一顶点D的轨迹方程是x2c4a2+ y2c4b2=1 ,其中C2 =a2 -b2 .定理 3　过双曲线…     

角平分线的一个充要条件及其应用

定理:已知点P是角XOY内一点,过P的任意直线AB交OX于A,交OY于B,则OP是角XOY的平分线的充要条件是1/OA+1/OB为定值。证:(必要性)作PQ∥OA交OB于Q,则∠OPQ=∠AOP=∠BOP 故 OQ=QP= OP/2cos∠AOP为定     

“直角”三证

<正>贵刊2017年3月下课外练习栏目初三年级的第3题:已知:如图1,PO平分∠AOB,PA⊥PB,PA=PB,∠A≠∠B,求证:∠AOB=90°.参考答案证明设OA=a,OB=b,PA=PB=x,OP=m,S△POA=S_1,S△POB=S_2,且∠POA=∠POB=α,则S_1=1/2OA·OP·sinα=1/2am sinα,S_2=1/2OB·OP·sinα=1/2bm sinα.同时S_1=1/2OA·AP·sin∠A=1/2ax sin∠A,     

新题征展 (65)

A　题组新编1 .( 1 ) Rt△ ABC斜边 AB的三等分点 E、F,且 CE =sinα,CF =cosα,则 AB的长.( 2 )已知　 A( - 1 ,0 ) ,　 B( 1 ,0 ) ,P为圆( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 =1上一点 ,则 PA2 +PB2 取得的最小值是 .( 3)已知 P( 4 ,0 ) ,Q( 0 ,2 ) ,A为直线 x +2 y - 9=0上一动点 ,使 | AP| 2 + | AQ| 2取最小值时 ,A点坐标 .2 .( 1 )关于 x的方程 x2 + 2 ( a + 1 ) x + 2 a+ 1 =0有一个大于 0小于 1的根 ,求 a的取值范围 .( 2 )对于满足 P∈ [0 ,4 ]的所有实数中 ,使不等式 x2 + px >4 x + p - 3恒成立的 x的取值范围 .(第 1、2题由…     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质:性质1过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交于y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=1/2|AR|·|AQ|.性质2 MN是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=a2|MN|.这两个性质只有当A和Q(或M和N)分别在双曲线的左、右分支上才成立,我们来看一个特例:过双曲线x2-y2=1的左顶点A且倾斜角为60°的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则由文[2]性质1和性质2的证明过程知|OP|2=a2b2b2cos2α-a2sin2α=1·11·cos260°-1·sin…     

用图形法再解一道习题

在文 [1 ]中提出这样一个题目 :设 - 2π <α <β<-π ,求 2α- β的范围 .图 1我们用图形法给出另一种解法 ,并很直观地给出一般情况下的结论 .建立如图 1的坐标系 ,易见α ,β的范围是图 1中的阴影部分 .设 2α- β =t则 β =2α -t表示直线 .由于α ,β的取值范围是图 1中的阴影部分 ,所以π <-t<3π即　 - 3π相似文献   

共线向量定理和共面向量定理的理解与教学

命题1如果点O为空间任意一点,OP=αOA βOB(α,β∈R),其中α β=1是A,B,P三点共线的充分不必要条件.命题2对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA yOB zOC(x,y,z∈R),则x y z=1是四点P,A,B,C共面的充分不必要条件.在教学中,这两个命题往往被错误地理解为充要条件.错误的原因是对空间向量共线定理的推论和空间向量共面定理的推论的理解中没有分清定理的条件和辅助条件而造成的.共线向量定理的推论如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任意一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式OP=OA ta…