等式 z·=|z|~2||~2应用一例

复数运算是复数一章的重点,而共轭复数的性质在解题中起作一定的作用,等式z·z=|z|~2=|z|~2沟通着复数与实数的运算,是这两种运算互相转化的有力工具,下面举一例在求复数上的应用。例设z为复数,且|z|=1,若z~2 2z 1/z是负实数,试求z。解设W=z~2 2_z 1/z,则W=-W 即 z_2 2_z 1/z=z~2 2_z十1/z=z~2 2z 1/z     

关于方程 Z~2=■

解:由z~2=z两边求模,得|z|~2=|z|=|z||z|=1(|z|≠0)。再用Z(≠0)乘方程两边得z~3=z·z=1。这是高中代数复数中的一道习题: 已知z是虚数,解方程z~2=z 此题的解法通常利用复数的代数式化为二元方程组分别求z的实部和虚部,也有化为三角式求z的模及其辐角的。但都不如以下解法简便。 32     

巧妙变化耳目一新--利用共轭复数的性质解复数方程

复数方程是复数学习中的一个重要内容 ,我在教学中发现 ,不少学生总是迫不及待地将方程中的变量设为代数形式或三角形式 ,将方程转化为实数方程解决 ,然而这种方法有时是非常费时费力的 .当遇到这种情况时 ,我们需要引导学生在解决问题的同时 ,再探求更加简单的方法 .共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位 ,若能在解复数方程中灵活运用 ,则可以大量减少运算量 ,起到事半功倍的效果 .共轭复数的性质有很多 ,在此列举几条供大家参考 :( 1 ) z∈ R　 　 z=z;( 2 ) z是纯虚数 ( z≠ 0 )　 　 z z =0或 z2 =- | z| 2 ;( 3) | z| 2 …     

高中代数复习(续)

二、复数复数这一章很多题都是用到任意复数z。z=a+bi(a,b∈R)或z=r(cosθ+isinθ)这个表示法来解或证的。例1.解方程|z|+z=8—4i求复数z。解:设z=a+bi(a,b∈R)|z|=(a~2+b~2)~(1/2)。由题设(a~2+b~2)~(1/2)+a+bi=8—4i由复数相等的条件得:     

一类复数题的解答与剖析

在许多期刊中,常有如下一类题:1.设|z|=1,z~5 z=1,求复数z;2.设|z|=1,z~2 z=1.求复数z;3.设|z|=1.z~(11) z=1,求复数z。这类题目的一般形式是:设|z|=1,z~n 2=1(n∈N),求复数z。 此时,按所提供的解法一般有如下两种: 解法1 设z=cosθ isinθ,     

求解复数问题的基本思路

复数是实数的拓广 ,它与几何、三角有着紧密的联系 ,解决复数问题时 ,可根据题目的特点 ,将问题进行适当的等价转化 ,转化为代数、三角或几何问题求解 .1　利用复数的代数形式化归为代数问题例 1　 (1992年全国高考题 )已知z∈C ,解方程zz - 3iz =1+3i.解　设z =x +yi(x ,y∈R) ,代入原方程得(x +yi) (x - yi) - 3i(x - yi) =1+3i,整理得x2 +y2 - 3y - 3xi=1+3i,由复数相等的条件得- 3x =3,x2 +y2 - 3y =1,解得　 x =- 1,y=0 ,或 x =- 1,y =3.故z1=- 1,z2 =- 1+3i.2　利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例 2　已知复数z1,z2 满足z1+z2…     

在习题教学中培养学生的特征思维

对于学生“特征思维”能力的培养,是当前数学习题课教学中亟待解决的重要课题。下面仅以几例谈谈我们的作法和体会,以为引玉之砖。例1 复数z满足方程 (x-2)(-2) (x 2)( 2)=2(32-|z~2-4|)判定与Z对应的点z的轨迹。学生多令z=x y(z、y∈R)。化原方程为普通方程。但这样做,其过程很繁,计算能力较强的学生尚能     

一类含绝对值方程的几何解法

含绝对值的方程,一般解法是分区间讨论,但计算量较大.如果渗透数形结合的思想,运用复数与解几知识求解,可收到事半功倍之效。例1 求方程|x 5] |x-1|=8的实数解. 解:若把x看成复数,则此方程是以z_0=-2为中心,长半轴a=4,半焦距c=3的椭圆方程.此方程的实数解就是椭圆与实轴交点对应的复数:x=-2±4即-2或-6. 一般地,形如|x-c_1| |x-c_2|=2a(a>0,c_1相似文献   

浅谈复平面上的轨迹问题

求复平面上的轨迹方程是复数知识的一个重要问题。我们知道,平面解析几何在建立坐标系的基础上,通过用坐标(一对实数)表示点,可以根据已知条件求出动点轨迹的实数方程f(x,y)=0。那么,当数的概念从实数集扩充到复数集,并建立了复数平面之后,通过用复数表示点,当然也可以求出动点轨迹的复数方程f(z)=0。     

解答复数问题的若干技巧

复数问题涉及知识面广 ,运算复杂 ,对能力要求高 .若能总结归纳其变化规律 ,掌握解答复数问题的方法和技巧 ,定会收到事半功倍之效 .笔者在教学过程中总结了 8种技巧 .1　巧用 z =z z∈ R解题例 1　设复数 z满足等式 |z - i|=1,且 z≠ 0 ,z≠ 2 i,又复数 w使得 ww - 2 i.z - 2 iz 为实数 ,问复数w在复平面上所对应的点 Z的集合是什么图形 ,并说明理由 .解　∵　 ww - 2 i.z - 2 iz ∈ R,∴　 ww - 2 i.z - 2 iz =( ww - 2 i.z - 2 iz )=ww 2 i.z 2 iz 　 w( w 2 i)w( w - 2 i) =z( z 2 i)z( z - 2 i) 　 　 w =z.∵　　 |z - i|=1　…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

从一道高考试题的评卷谈起

今年全国普通高等学校招生统一考试数学试题理科第24题(文科第25题)是一道复数方程题:设a≥0,在复数集C中解方程x~2 2|z|=a.该题旨在“考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力。”满分为12分,是同压轴题一样为分数最高的题。从本人所接触的考生和评卷教师乃至毕业班任课教师,为数不少的对本题多少有点抱怨情绪。认为该题需要多层次地进行分域讨论,谈不上难,但无论是考生解题还是教师评卷,都有一个“繁”的感觉。甚     

一个数学问题的再探讨

命题若复数z_1,z_2,z_3满足z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。文[1]的作者给出了该命题的一种证法。并探讨了该命题的逆命题。若复平面内以模为1的复数z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是正三角形,则z_1+z_2+z_3=0。容易证明此命题也正确(略)。作者还对该命题进行了推广,笔者读后受益非浅。本文将进一步探讨以上两个命题在解题中的应用。下面以例示明。例1 (1986年苏州市数学竞赛题) 已知复数z满足|z|=1,z~(11)+z=1,求z。解∵ |z|=1, ∴|z~(11)|=|z|=|-1|=1 又z~(11)+z+(-1)=0 ∴z~(11),z,-1所对应的三点构成一个正三角形。故z=(-1)(cos120°±sin120°)=(1/2)±3~(1/2)/2i 例2 (1987年第二届全国高中数学冬令营赛题)     

复数运算中的典型错误剖析

实数集扩充成复数集后,在实数集中成立的结论在复数集中就不一定成立了,而许多同学的思维往往停留在实数集上,错误地照搬一些结论,下面就典型的错误进行剖析. 一、把表面不含“i”的数当成实数去处理 例1 解方程x2-(9-i)x 20=0. 错解由复数相等的定义得 ∴原方程无解. 剖析上面解方程时忽视了x∈C这一条件.     

利用一题多解培养学生的创新意识

发散思维是培养和训练学生创新意识的较好方式之一 ,一题多解属发散思维的一种形式 ,在教学中 ,若能抓住一些典型题例 ,运用一题多解的教学方式 ,它将有益于学生创新意识的培养 .课例　已知复数 z1=3 i,| z2 | =2 ,z1z22 是虚部为正数的纯虚数 ,求复数 z2 .多数学生选用的是代数形式和三角形式 ,两种方法都是利用方程和不等式混合组求解 ,但解法均较复杂 .我首先启发他们 ,| z2 | =2 ,z1已知 ,z1z22为纯虚数 ,从模的角度入手呢 ?很快学生得出解法 3　∵　 | z1| =| z2 | =2 ,∴　 | z1z22 | =| z1| | z22 | =8,则　 z1z22 =8i,　 z22 =2 …     

■=z■z∈R的应用

如果复数z是实数,则z的共轭复数仍是它本身,反之也对,利用=zz∈R解决一些复数问题常常显得思路清晰,解答迅速准确。例1 名为虚数,且z 4/z为实数,求复数z的轨迹。解 z 4/z为实数:=z 4/z 4/=z 4/zz- 4/z-4/=0(z-)(1-4/)=0(z为虚数z-≠0)1-4/=0=4|z|=2。故满足条件的复数z的轨迹是以原点为圆心,以z为半径的圆(不包括与实轴的交     

“复平面上点的轨迹问题”教案一例

课题复平面上点的轨迹问题目的使学生会用参数法解决简单的复平面上点的轨迹问题,并通过本节课的教学提高学生综合分析能力。课型习题课。教法讲练结合,启发式过程:例1 已知复平面上A、B两点表示的复数分别是1 i和1-i。表示复数z的动点N在线段AB上移动,求复数z~2所对应的点M的轨迹。轨迹的探求:(由老师引导学生解答下列问题) (1)如图1当N点分别落在A、B、E三点上,相应的M点会分别落在哪些地方? 答:利用公式|z~2 |=|z|~2,和argz~2=2argz(或者argz~2=2argz-2π)可知点M依次落在图1中的C、D、E上。     

用复数求sin18°的值

求sin18°的值,多采用三角方法戏几何方法,这里介绍一种新的方法一一复数方法。设复数z=cos72° isin72°,则有z~5=cos(5×72°) isin(5×72°)=1,因此z~5-1=0。分解因式(z-1)(z~4 z~3 z~2 z 1)=0。因为z≠1,故得z~4 z~3 z~2 z 1=0 又z~2≠0,用z~2除方程两端得 z~2 z 1 1/z 1/z~2=0 令z 1/z=y,则z~2 1/z~2=(z 1/z)~2-2=y~2-2     

解复数题常需整体变形

解复数题时,如果不加思索地采用复数的代数形式或三角形式,有时会带来繁琐的运算或使解题思路受阻.因此,有必要从宏观上分析问题的结构特征和内在联系,有意识放大考察问题的“视角”,对题设或结论(或局部)进行整体变形,通过对整体结构的调节或转化使问题迅速获解. 例1 复平面内方程||z-i|-3| |z-i|-3=0的图形是_. 分析视|z-i]-3为整体,则方程可变形为||z-i|-3=-(|z-i|-3).因为|z-i|-3∈R,所以方程与|z-i|-3≤0等价,故其图形为圆心在(0,1),半径为3的圆面. 例2 已知复数z满足2|z-3-3i|=|z|,求|z|的最大值和最小值.     

新题征展(20)

A　题组新编1 .已知 z∈ C,解下列方程 :( 1 ) z2 - 5| z| 6 =0( 2 ) z| z| - 5z 6 =0( 3) z| z| - 5| z| 6 =0( 4 ) | z2 | - 5| z| 6 =02 .已知棱长为 a的正方体 ABCD -A1B1C1D1,则( 1 )各棱在平面 AB1D1上的射影长之和为 ;( 2 )各棱与平面 AB1D1所成角之和为;( 3)各面在平面 AB1D1上的射影的面积之和为 ;( 4 )各面与平面 AB1D1所成角之和为.3.( 1 )在实数集 R上定义的函数 f( x) ,对任意α,β有f (α) f (β) =f ( α β2 ) f ( α -β2 ) ,且　 f ( 1 ) =2 ,f ( x) 2 ,则满足条件的一个函数是 .( 2 )已知 f ( x)…