“抽屜原则”及它的一些应用

在这篇短文里,我們向讀者介紹一个在数論中用到的原則,即所謂“抽屜原則”;应用这个原則,我們先証明某些用有理数去迫近实数的定理;再进一步証明一种不定方程——貝尔方程——的解的存在,並介紹一下与貝尔方程     

多面体的体积

一、引言本文是前两篇文章“綫段的长度”、“多边形的面积”(分别发表于本刊今年九月和十月号)的續篇。多面体是以簡单多边形为面的封閉空間图形,和面积的概念相似,多面体的体积定义是:多面体A的正实值函数V(A),它滿足下面两条件:ⅰ)两合同的多面体的体积相等,即A≡B时,V(A)=V(B);ⅱ)如果把多面体A剖分成两个多面体B和C,則V(A)=V(B)++V(C)。完全和多边形面积理論相似,从这个定义出发,我們能够証明多面体的体积是存在的,如果我們进一步把边为单位长的立方体的体积定义为1的話,則任意多面体的体积还是唯一的。然后,沿着中学立体几何教科书中的途径,我們能証明許多常見的多面体的体积公式。     

关于九年一貫制数学教学改革方案中的两个问题

我們制訂的九年一貫制数学教学改革方案初稿,在中国数学会第二次代表大会上提出以后,引起了广泛的討論。关于数学教学体系问题,不少同志对“以函数为綱”,“数形結合”这两个原則展开了討論。我們愿意进一步阐明对这两个原則的看法,提出商榷,参加讨论。一、关于“以函数为網”新体系以函数为綱,把旧的算术、代数、几何、三角、解析几何的材料結合在一个系統之中。从小学算术开始就培养学生的函数及运动变化的观点。过去初中代数部分,現在也用函数的观点加以研究。原高中代数中的初等函数、三角和解析几何的一些知識按数形結合的原則合为一門初等函数課。在初等函数中系     

再談数学归納法

在“谈談数学归納法”(本通报1963年第二期28-34頁)一文里,作者曾提到数学归納法可以用一些更簡单的原則来代替,但未詳細介紹內容。本文便想在这方面作一些簡要的介紹。在文末还对前一文中沒有注意到的事項作一些补充。什么是“更簡单”的原則呢?这是很难說的,因为簡单与否必須相对于整个公理系統而言。对这个公理系統說来某原則是簡单的,对另一公理系統說来它却不是簡单的了。在本文中我們不想詳細討論各公理系統(除略为介紹递归算术以外),因此我們最好不說“用更簡单的原則来代替”,而說“可用別的原則来代替”。这里我們只介紹四个原則。这四个原則都有它的直觉根据,都已被数学家所經常使用,它們是:(1)最小数     

帶分數乘法为何要先化为假分數守進行乘的運算

(一) 前言我們在進行分數的加減运算時,对於帶分數,有兩种不同的运算方法:一种是先將带分数化为假分数之後,再按分數加減法的一般法則去進行运算;另一种是不把带分數化为假分數,而是採用带分數的整數部分与整數部分進行相加減的运算,分數部分与分數部分進行相加減的运算,然後再將这兩部分的結果合併在一起。初中一年級的学生在未進入初中之前,对帶分數加減法的兩种运算法則,大致都已学过一些,可是当他們在初中学習到分數乘法關於带分數相乘的問题時,我們教給学生必須先將帶分數化为假分數後,再按分數乘法的一般法則去运算,但是对於带分数不化为假分数能否進行乘的运算的問題,便閉口不談,而一些鑽研性較强的     

关于图上作业法

这篇文章共分三小节,分別討論三个不很連貫的內容。第一小节为物資調运图上作业法基本定理的証明。这个定理,已經有很多人証明了很多次了,为什么还要多此一举呢?这是因为,此一重要定理虽然有很多人証明了很各次,但在証明中省有同一的疏漏之处,而且是并不算小的疏漏,所以就还需要于此再証一次。第二小节为正则流向图的唯一性。这个問题,也曾有不少人討論过,但只是得到了在单圈时正則流向图是唯一的充要条件。在本文中,将給出在一般情况下正则流向图是唯一的充要条件。第三小节为双曲綫图上作业法。关于双曲线图上作业法,我們只看到了发站只有两个,叁个时的情形,在本文中,将对多个发站时的情形加以討論。但我們的討論还很不成熟,只是在理論上解决了問題,离付諸实用尚很远。     

关于Leray的一个定理

<正> 这理所謂Leray定理,是指在适当条件下,一个空間与它的一个复盖的神經复合形有相同的同調羣而言.Leray的原証(以及Borel,Cartan,Serre等在各种变化形式的証明),奠基于他的Converture理論(亦或用及束論与譜叙列論).本文将按照Eilenberg-Steenrod的体系給出另一証明.我們的証明虽只适用于有限复盖,但易于推广到基本羣的情形,而巳知方法則不适用.我們也同样討論丁关于同伦羣与同伦型的情形.     

关于序数的一个定义

1.引言在本文中我們提出序数的一种定义。这一定义有两个优点,即比較簡单同时又是把自然数作为具有下述两性貭的最小集合A的元素定义的明显推广: (ⅰ) 空集0∈A且 (ⅱ) 若x∈A,則x+1∈A(此处x+1=xU{x})。通过添加一个第三条件,首先定义了序数集合Q,然后定义序数为Q的元素或Q自身。正如上述自然数定义結合着通常的归納原則一样,我們的定义結合着超穷归納原則。对于序数性貭的証明,这是仅有的最为有力而且直观的工具,其合用性之由定义得出大大地簡化了理論的发展。不过,看来我們的定义只在某些类型的集論中方是可能的,即只在許可存在非常大的集合的集論中方为可能。根据这个理由,我們先对我們在其中工作的公理系統作一个簡短的描述。以后在第6中再比較充分地討論这一系統及其与旁的系統的关系。     

欧拉凸多面形定理和欧拉示性数

Ⅰ.凸多面形的欧拉定理 1.定理的敍述和来源象中学立体几何教科书中所說的,由若干个平面多边形所围成的封閉的立体叫作多面体。这些多边形的每一个叫作多面体的面,这些多边形的边和頂点分別叫作多面体的棱和頂点。当多面体在它的每一个面的平面的同一側,它就叫作凸多面体。凸多面体的表面叫作凸多面形,它的面、棱和頂点也就是凸多面形的面、棱和頂点。例如图1中的(一)到(四)都是凸多面形,图1中的(五)不是凸多面形。     

論数学归納

引言依照近代邏輯严格性的准則,每一个純粹数学分支都需要利用下述两种方法之一来奠定基础:或者它的全部基本概念应該借某些先行数学分支的概念之助来加以定义,在这一情形,它的定理可以由这些先行数学分支的定理連同这些定义推演出;或者它的基本概念被当作未定义的,它的定理則由含有这些未定义术語的公理集合推演出。自然数0,1,2,3,…属于我們幼年时期研习的数学对象的范围;我們对于这些数及其性貭的知識一般地讲是带有直观的特征的。然而如果我們期望对这些数建立精确的数学理論,我們不可能依靠非形式化的直观作为理論的基础,而必須用上述两种方法之一为此理論奠基。事实上两种方法都是可行的。正如德国数学家Frege所指出,从純邏輯和集合     

祖暅之公理

我國古代的祖暅之公理,也就是现代一般人所說的卡瓦利利(Cavalieri)公理,是指下述公理而言的,即:界於二平行平面之間的兩個立體、被任一平行於二平面之平面所截,若其二截面面積常相等,則二立體體積亦必等。當我們承認了連續公理並且有了某些積分學的知識之後,這公理也可被證為是一個定理,這公理,或是說這定理在考慮立體體積時常常會用到,特別是在考慮未知的,比較複雜與不规則的立體體積時,由這公理,就可以用已知的比較規則的在等高處截面面積相等的另一立體去代替。卡瓦利利是17世纪纪上半纪意大利的數學家,他的生卒年代是1598—1647年。     

实数的連續性

在高中代数課本第二册83。“关于极限的定理”这一节中,列举了关于极限的六个定理。除了第二个定理外,其余五个定理,在任何一本数学分析課本中,都可找到証明。但是,对于第二个定理,通常的数学分析課本上,有着不同的处理方式:有的采取作为不加証明的基本命題;有的从实数的連续性出发,当作一个定理来証明它。由于对实数連續性的叙述,有各种不同方式,因而,对这个定理的证明,也是各式各样的。这里,我們将从高中代数課本第一册的实数字义出发,介紹这个定理的証明。实数是什么?可以有各种不同方式来回答这个問題:中学代数是用无限小数来作为实数定义的。而在高等数学中,最常见的有两种方式:按照德得金(Dedckind)的实数理论,实数是有理数的分划;按照康脱(Cantor)的实数理論,实数是有理数的正則序列的类。可以証明,这几种定义是等价的。由于定义实数     

論数学归納(續)

§3.任意归納模型中的加法和乘法正如我們前面所指出,由定理1推出在每个Peano模型中存在唯一的加法运算[即对于所有x,y ∈N滿足条件(5.1)和(5.2)的二元运算f]。事实上我們更有定理2.在每个归納模型中有唯一的加法运算。这个定理的証明不能在定理1的基础上作出,因为正象我們在§2中指出的,后者并不对于一切归納模型为真。我們采用如下的引理来代替它: 引理。若为任意归納模型,則对于每个x∈N在N上存在着唯一的一元运算hx,使得条件(3.1)和(3.2)对于所有y∈N为真。 証.首先我們指出,对于任何x∈N最多只能存在一个运算hx滿足条件(3.1)和(3.2)。事实上,我們假定h_x和h′_x为滿足这些条件的两个运算且設G为N的这样的子集使得y∈G当且仅当hxy=h′_(xy)。显然,O∈G,因为h_xO=x=h′_xO。此外,集合G对于S为     

洛必大法則的一個推廣

用來求無窮小或無窮大變量之此的極限的洛必大(G.F.de l′Hospitale)法則為我們所熟知,本文用幾何方法來證明此法則因而推廣此法則,最後並利用推廣後的法則說明它與極限論中一古典定理——施篤茲(O.S.Stolz)定理問的關係。§1. 洛必大法則的幾何證明洛必大法則有兩個,可叙述如下: 法則一如f(t)及g(t)連續於區間(a,b),且(?)而在這區間內部導數f′(t)及g′(t)都有限,且f′(t)≠0;如果(?)(有限或無窮大),則必(?) 這裹為了以後說話方便,將所有的極限都寫成了右極限,其實只要這一法則能够證明,那末     

在算術教學中運用直觀原則的體驗

“直觀原則”是中學教學過程中重要教學原則之一;教學中直觀因素愈多,學生领會教材就愈順利也愈深刻。在教學中運用直觀原則是多種多樣的,算術教學也是這樣。因而,在算術教學中運用直觀原則,不應局限於實物的運用,只要是能够使教材或所講述的內容達到“直觀性”舆“具體性”的方式方法,就應加以運用和重視。一年來,在課堂教學中我們除掉運用必要的“實物教具”(如用模型說明三角形和圓形面積的公式等)外,又經常通過下列幾種方法來貫徹直觀原則: (一) 運用“圖線”以說明與指導學生解四則應用問題。 對於一些條件衆多,關係比較複雜的習題,最初,學生往往把握不住已知量和未知量之間的關係,因此在解題時不知從何着手,我們在指導學生解這類習題時,當學生明確了那是已知條件和要求的未知数以後,多籍助於“圖線”法,使習題中的各個量間的關係明確化。具體化,從而促進學生積極思考,發現解法的關鍵。     

一个数学力学問題

1.給定平面上的几个点,求在該平面上与此n个点的距离的平方和为一定值的点的軌迹; 2.巳知n个同向平行力,它們的量值相等,而且作用点在同一个平面上,求合力的作用点。这两个問題看来是互不相干的分属数学、力学两个不同学科的問題,但是下面将看到它們之間是有內在联系的,在本文的定理1里叙述这种联系,定理2,定理3是其推广,达些定理的証明是不难的,因此有些証明就略去了。証明里要用到下面的辅助定理,因此让我們从这个輔助定理开始。 輔助定理。若P,A,B,C是同一平面上的四点,且ABC在一条直线上。(图1)。又AC/CB=λ,則pA~2 λPB~2=(1 λ)PC~2 AC~2 λBC~2,     

在高一代数講求极值的应用題的一堂課

在高一代数讲完二次函数之后,我們上了一堂利用二次函数求极值解应用題的課。我們认为,在这个地方加入这样一堂課,可以使学生巩固所学知識,进一步提高学生學习数学的兴趣;可以貫彻理論联系实际原則。下面,是这堂課进行的情况。复习提問:我們已經知道二次函数y=ax~2 bx c。这个函数显然可变形为     

算術教學改革總结

我們在全國文化建設高潮的推動下和祁建華速成識字創造精神影響下,遵照毛主席的指示,「速成的、聯繫實際的但又是正規的」文化教育方針,根據幹部文化教育的任務和要求,在黨的直接領導下和王校長指示下,進行了教學改革。根據王校長的指示,我們首先精簡了教材。在不違反算術教學整個體系的原則下,把可講可不講的部分不講,把非講不可的部分精講,掌握了重點,我們的教學能夠速成,是掌握了算術由低到高、由淺到深、由具體到抽象的原則,在教法上則是系統的、聯繫實際的,由熟的講生的,由熟悉的講不熟悉的,針對學員的特點,吸取了本校前段典型試驗的經驗,以初中算術課本為藍本,我們嚴密的編組了教材,配當了時間,決定用66個早晨計132個小時完成算術速成教學,結果以48個早晨計96個小時勝利的提前完成了五個班的全部算術速成教學,三次測驗,總平均分數是90.9分。     

集合与一一对应(續)

§4. 对应与一一对应由上面討論可見,一一对应是一个很重要的概念,它在數学中有許多的用处。下面我們就詳細討論一下这个概念: 我們先从一个更廣义的概念“对应”談起,它在數学中佔有更重要的地位。很多人都学过“函數”这个概念,見过一些函數的例子,例如:f(x)=x~2+1,g(x)=sin x等等。我們回想一下函數的定义,在实數範圍內,它是这样說的: 如果有一个法則Ф,根据这个法則我們对每一个实數x,都能得出一个确定的实數y与它相应,我們就把这个法則叫做(定义在实數集上的)一个(取实數值的)函數,与x相应的y記作Ф(x),称为x在函數f下的值。例如f(x)=x~2+1这个函數是表示如下的法則f:“(給出实數x後)算出:x的平方,再加1(得到与x相应的f(x))。”在g(x)=sin x時,我們的法則g叙述起     

有关同时学习数学課程中某些題目的問題

在数学教学方法中,有一种是以下列原則为出发点的:“……向儿童介紹不同的新概念,不要同时讲解,而要在不同时間,分別地讲解”。这个原則初看起来似乎很对,并且也是許多人所贊同的。但是,如果这些新概念之間有着密切的联系(例如,类似的或者互逆的),那么同时引进这些概念,