求圆锥曲线对称轴的一种方法

形如Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F-0的二次曲线的对称轴的求法,一般地需要通过旋转变换、平行变换等大量繁琐的计算。本文给出一种方法,不进行坐标变换便可较为简捷地求出。这种方法的步骤为 1°利用二元二次方程的判别式B~2-4AC判断出二次曲线的类型,并根据 ctg2θ=(A-C)/B求出一条对称轴与x轴正向交角θ的正切; 2°设出垂直于一条对称铀的直线系方程; 3°把直线系方程代入二次曲线方程得出曲线上两对称点坐标所满足的方程; 4°根据中点公式和韦达定理求出两对称点连线的中点坐标所满足的参数方程; 5°消去参数得出曲线上两对称点连线的中点的轨迹方程。由于此轨迹就是对称轴,因此所求得的轨迹方程就是对称轴方程。     

从微分学观点看二次曲线中心和对称轴

解析几何中已知二次曲线Ax~2 2Bxy cy~2 2Dx 2Ey F=0其中A、B、C不全为零,当△=B~2-AC(?)0时,有中心,其坐标(x_0,y_0)为Ax By D=0和Bx cy E=0的解。本文试图用微分学的方法给出证明,同时给出对     

圆锥曲线的割线的斜率及其应用

给出圆锥曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0。若B=0,则可写成Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)它表示对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线;若B≠0,则可通过坐标旋转化成(1)的形式。因此下面只讨论不含xy项的圆锥曲线的割线的斜率。     

代换法则的一些应用

众所周知,要求经过一般二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0上一点p(x_1,y_1)的切线方程,可以应用如下的代换法则: (1) 用x_1x和y_1y分别代换方程中的x~2和y~2:     

方程(组)同解性应用一则

设二次曲线 Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)与直线 y=kx+d(d≠0) (2)交于两点P、Q,则P、Q两点坐标满足(1)、(2)组成的方程组,而这个方程组与方程组(3): Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx(y-kx)/d+Ey(y-kx)/d+F〔(y-kx)/d)〕~2=0 (y-kx)/d=1是同解的。在特定情况下,解(3)中的二次齐次     

圆锥曲线直角弦上点轨迹的统一讨论

欲求圆锥曲线上一点对其所对直角弦上射影的轨迹 ,有一种统一的解法 ,且解法简捷明快 ,思路清晰 ,今介绍如下 .引理　直线 L :lx my n=0与常态二次曲线 Φ:Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0的两个交点为 Q和 R,O为原点 ,OQ⊥ OR的充要条件为 ( A C) n2 - ( Dl Em) n F( l2 m2 ) =0 ( * )证　若Φ过原点 ,Q,R在坐标轴上 ,则结论易证 .由　lx my n=0得1 =lx my- n代入二次曲线Φ的方程中得Ax2 Bxy Cy2 ( Dx Ey)·- lx myn F - lx myn2 =0 ( 1 )( 1 )是二次齐次方程 ,表示过原点的两条直线 ,设L和 Φ的交点为 ( x…     

二元二次方程的分解

我们知道,二元二次方程 A~x(~2) Bxy Cy~2 Dx Ey F=0 (1) 在平面直角坐标系下一般表示一条园锥曲线,其主要类型是椭园、双曲线和抛物线(当方程不可约即不可分解时)和几种退化情况(当方程可约,即可分解时)。在一般解析几何教程     

构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线lx+my+n=0(n≠0)和曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,则直线OP,OQ上的点均满足方程Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=0.(*)证设点P的坐标为(x1,y1),则lx1+my1+n=0,即-lx1+nmy1=1(1)Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F=0(2)又直线OP上的点均可表示为(tx1,ty1),其中t为任意实数.∵当x=tx1,y=ty1时,方程(*)的左端Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=t2[Ax12+Bx1y1+Cy12+(Dx1+Ey1)(-lx1+nmy1)+F(-lx1+nmy1)2]=t2(Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F)=0,∴直线OP上的点都在方程(*)表示的曲线上…     

中点弦所在的直线方程

已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G＇_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G＇_(x_0,y_0)(x,y)=G＇_(x,y)(x_0,y_0) ② G＇_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表     

圆锥曲线的内、外点及切线型直线

一条圆锥曲线c的方程总可以表为 f(x,y)=Ax~2+2Bxy十Cy~2十2Dx十2Ey+F=0(1) 设P_0(x_0,y_0)为平面上一点,若F_1(x_0,y_0)Ax_0+By_0+D≠0或F_2(x_0,y_0) Bx_0十Cy_0+E≠0,则称P_0为c的正常点。否则称P_0为c的中心点。     

二次曲线切线通解方程的初等形式

《二次曲线切线方程的进一步讨论》 (I)一文中,运用高等数学知识,导出了从平面上一点作二次曲线切线的通解方程。在数学实践中,曾用中学生所熟悉的定比分点及二次方程判别式的原理导出二次曲线通解方程的初等形式。在推导过程中,既能灵活地运用基础知识,又能拓宽学生的思路,在知识方面也形成了一个比较完整的体系。现简介如下。如图,过二次曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)外一点P(x_θ,y_θ)作直线PT,T的坐标为(x_T,y_T),那么分线段PT所成的比为λ的点Q的坐标为[(x_θ+λx_T)/(1+λ),(y_θ+λy_T)/(1+λ)]。若Q     

直线方程xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0的几何意义

文[1]与文[2]分别探讨了直线方程x0x/a^2 y0y/b^2=1和直线方程x0x/a^2-y0y/b2=1的几何意义，读后深受启发，本文是文[1]与文[2]的继续，探讨了是伴随于非退化二次曲Ax^2 2Bxy Cy^2 2Dx 2Ey f=0的直线方程xF1(x0,y0)     

点与二次曲线相对位置的判定条件

本文在研究点与二次曲线相对位置时,把文〔1〕对于二次曲线的结论用初等方法进行证明,还要进一步提出并证明命题:“点M_1(x_1,y_1)和M_2(x_2,y_2)在以二次曲线P(x,y)=0为公共边界的两个相邻区域内的充要条件是P(x_1,y_1)·P(x_2。y_2)<0”,从而将判断方法再行简化。一般来说,二元二次多项式P(x,y)=Ax~2。+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F所对应的二次曲线P(x,y)=0把平面分成两个或者三个区域。就区域而言,“其内每个点连同它的某个邻域都属于这个     

巧用圆的一般方程解题

<正>圆的一般方程C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).当点P(x0,y0)在圆外时,x20+y20+Dx0+Ey0+F>0,那么x20+y20+Dx0+Ey0+F的几何意义是什么呢?经过探索,我们发现:结论1已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),当点P(x0,y0)在圆外时,过点P作圆的切线PA,切点为     

线段与圆锥曲线的公共点问题探讨

设线段P1P2的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),圆锥曲线G的方程为f(x,y)=Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0.则直线P1P2的两点式参数方程为x=x1 λx21 λ,y=y1 λy21 λ其中λ为P(x,y)分有向线段P1P2所成的比,即P1P=λPP2代入f(x,y)=0,并整理化简可得f(x2,y2)λ2 H·λ f(x1,y1)=0(1)其中H=2Ax1x2 B(x1y2 x2y1) 2Cy1y2 D(x1 x2) E(y1 y2) 2F.当f(x2,y2)=0时,P2在曲线G上,方程(1)退化为关于λ的一次方程.当f(x2,y2)≠0时,方程(1)的两根λ1,λ2分别是曲线G与直线P1P2的交点分P1P2所成的比,此时,若f(x1,y1)=0,则P1在曲线G上,方程(1)有一根λ…     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

二元二次式因式分解的一个简便方法

形如Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F的二元二次式的因式分解,一般可用求根公式法,待定系数法等方法进行分解,但计算都比较复杂。下面我们介绍一种简便的分解方法——取零凑尾法。这个方法的理论根据是定理二元二次多项式f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解为一次式之积(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)的充要条件是对 B=a_1b_2+a_2b_1, (1)使得 f(x,o)=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) (2) f(o,y)=(b_1y+c_1)(b_2y+c2) (3)证明:条件的充分性。设上三式同时成立,     

谈无中心型二次曲线方程的化简

数学通讯一九八九年第九期发表了《也谈二次曲线的化简问题》,该文通过圆锥曲线的直径方程给出了中心型曲线 u(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+F=0化简的一种方法。本文将利用二次曲线的对称     

二次六项式可分解的一个判别条件的初等证法

《数学通报》1999年第 8期发表了朱广化老师的佳作《用微积分分解二次六项式》看后深受启发 .作者用微积分的方法给出二次六项式 Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F(其中 A≠ 0 )可分解的一个条件( BD- AE) 2 - ( B2 - AC) ( D2 - AF) =0本文对该条件给予初等证明 .事实上 :Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F= Ax2 2 ( By D) x Cy2 2 Ey F= A〔x2 2 ( By D)A x Cy2 2 Ey FA 〕=A〔x2 2 ( By D)A x ( By D) 2A2 -( By D) 2A2 Cy2 2 Ey FA 〕=A( x By DA ) 2 -( By D) 2A Cy2 2 Ey F=A( x By DA ) 2 -1A〔( B2 -AC…     

构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线Lx＋my＋n=0（n≠0）和曲线Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F=0有两个交点P，Q，0为坐标原点，则直线OP，OQ上的点均满足方程.