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由圆的切线到椭圆、双曲线、抛物线的切线都有诸多性质,这些性质都有着广泛的应用.本文就圆锥曲线切线的性质做进一步的探讨.性质1:过抛物线外一点向抛物线引两条切线,给出三个条件:①互相垂直;②交点在准线上;③切点连线 相似文献
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笔者在研读贵刊2010号问题时,发现其作图方法虽然巧妙,但前提是要知道抛物线的对称轴和焦点.本文改进其方法,在仅知道其对称轴的情况下,得到过抛物线上任意一点作切线的方法,并予以证明.其原理是:先求出过抛物线上任意一点的切线与对称轴的交点,然后再作出这个交点.连接这两点,就作出了过抛物线上任意一点的切线.沿着这条思路,也找到了过椭圆和双曲线上任意一点作切线的方法,现和大家一起分享. 相似文献
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关于圆锥曲线的切线性质的一组定理 总被引:2,自引:1,他引:1
本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1 椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2 抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1 过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为x2a2 -y2b2 =1 ,a、b ∈R+,P为双曲线上任一点 ,l为过点P的切线 ,F1、F2 为两焦点 ,F1A⊥l于A ,F2 B⊥l于B ,由引理 1可知 ,∠… 相似文献
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从两道过一点作曲线的切线的条数问题出发,引申出过一点可作曲线的几条切线这一问题,并通过一个具体问题提炼出解题策略,最后介绍一些同类问题. 相似文献
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所谓二次曲线的切点弦,即从二次曲线外一点向曲线作两条切线,连接两切点的线段。其方程由下面几个定理给出。定理1:过园x~2 y~2=r~2外一点p(x_0,y_0)引园的两条切线,设切点分别是p_1,p_2,则切点弦(即p_1p_2)的方程为 相似文献
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过某曲线上一点P向圆A引两条切线,若这两条切线又与某曲线G(或直线)分别交于B,C两个点,求解相关问题.这是近几年高考或统考中的常见题.本文介绍一个有效的方法一一同一法.下面分三种情况说明这类问题的统一解法. 相似文献
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人教社高中数学第三册(选修Ⅱ)第112页例3是:例如图1,已知曲线y=1/3x3上一点P[2,8/3],求(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线的方程.问题展示后,学生大多能迅速找到解题思路,并得到正确结果:(1)4;(2)12x-3y-16=0.接着笔者给出了如下变式,请同学们继续思考.变式已知曲线y=13x3上一点P(2,38),求过点P的切线的方程.经过讨论,我们对“曲线过点P的切线”和“曲线在点P处的切线”进行了区别,并求得变式题的切线有两条(如图2),方程分别为12x-3y-16=0与3x-3y 2=0.图2中,切线3x-3y 2=0与曲线有两个交点,过曲线上一点P可以作两条直线与曲线相切,… 相似文献
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文[1]讨论了二次曲线切点弦具有的一个统一性质:给定二次曲线c:Ax2 Cy2 Dx Ey F=0及定点G(m,n),过定直线l:Amx Cny D·m x2 E·n y2 F=0上任一点M(点M在曲线c的外部,当c为双曲线时,点M不在其渐近线上)引曲线c的两条切线MA,MB,则切点弦AB所在直线恒过定点G,当n=0,E=0时,kAB·kMG 相似文献
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1 问题与解答《数学通报》2010年12月第1888号数学问题如下:设A(非顶点)为双曲线上任一点,则过A点切线作法如下:在双曲线实轴上找一点B,使B与A在虚轴同侧,B到虚轴距离是A到虚轴距离的2倍,以B为圆心,以A到虚轴距离平方2倍,减去实半轴长平方的算术平方根为半径作圆,与过A的实轴的垂线交于点C,过C作圆的切线交实轴于D,则直线AD就是该双曲线的切线,给予证明. 相似文献
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近年来(数学通报)多次发表文章论圆锥曲线切线的几何作图法,但都是过已知点作其切线,本文拟谈一下如何作抛物线、椭圆及双曲线的切线使平行于已知直线的问题.先看以下定理.定理1 抛物线的焦点在其切线上的射影的轨迹是过抛物线的顶点而垂直于抛物线的对称轴的直线.(证略)定理2 椭圆的焦点在其切线上的射影的轨迹是以椭圆的长轴为直径的圆.(证略)定理3 双曲线的焦点在其切线上的射影的轨迹是以双曲线的实轴为直径的圆.(证略)由定理1、2、3可知,为了要作抛物线、椭圆及双曲线的切线,只要先确定一焦点F在所求切线上的射影N,然后过N作FN的… 相似文献
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通过对一道求切线例题的讨论,引申出求过一条三次曲线上一点的切线的求法,进而推出求解这类问题的一个一般性结论. 相似文献
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在双曲线中,蕴涵着许多结构新颖独特、内容丰富多彩的性质,其中一类与数量积为定值-b2的性质特别引人注目、别具一格.本文主要从双曲线的渐近线、焦点三角形、割线、切线四个方面加以归纳与探讨.1与双曲线的渐近线有关性质1已知过双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)上任意一点P作x轴的 相似文献
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笔者最近通过探究,发现圆锥曲线的一个新性质.即性质已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ两条切线PA,PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线l 相似文献
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教材第三册 (选修Ⅱ )“导数的概念”一节 ,讲到导数的几何意义时 ,给出了两个例题 (例 3、例 4 ,P114— 115 ) ,都是利用导数求曲线上某一点P处的切线 ,也就是求以P为切点的切线 ,这样的切线只有一条 .如果求过点P的切线 ,就得另当别论 ,点P处的切线当然是过点P的切线 ,但过P点的切线却未必是点P处的切线 ,因为P点可能不是切点 ,从而这样的切线可能不只一条 .为了便于比较 ,我们把教材中例 3(P114)的 (2 )求点P处的切线 ,改为求过点P的切线作为例题 .图 1 例题图例题 如图 1,已知曲线 y =13x3 上一点P 2 ,83,求过点P的切线方程 .解… 相似文献
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文 [1 ]将圆上的两上结论 :结论 1 P是⊙O上任意一点 ,AB是直径 ,经过A和B各作圆的切线 ,分别与经过点P的切线相交于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 2 过同心圆中的小圆上任意一点P作小圆的切线与大圆相交于A和B ,则P图 1 椭圆是弦AB的中点 .我们将上述结论作如下推广 .结论 3 如图 1 ,过椭圆 x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴AB的端点A ,B分别引切线AM ,BN ,P是椭圆上异于A ,B的任意一点 ,过点P引椭圆的切线CD分别交AM ,BN于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 4 过椭圆… 相似文献
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1渐近三角形的定义
如图1,设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(n〉0,6〉0)上的一点P(x0,y0)的切线,l与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,与x轴交于点Q,则称△OMN为双曲线的渐近三角形. 相似文献