不等式a~2+b~2≥2ab的几个推论及应用

不等式a2+b2≥2ab(*)在数学中有着广泛的应用,但有时直接用这个不等式解题,往往很难凑效.本文给出(*)的几个推论及应用,以加深同学们对(*)式潜在的应用价值的理解和掌握.     

a~2 b~2≥2ab的变形推广及应用

人们熟知的不等式 a2 b2 ≥ 2 ab应用很广泛 ,如果将其变形后再应用 ,你会感到另一种新奇与愉悦 .原式 a2 b2≥ 2 ab中 a,b∈ R,为变形方便 ,将条件强化为 a,b∈R ,则a2b≥ 2 a- b ( 1 )如果将此式推广 ,可有结论a2b≥ 2λa-λ2 b (λ≠ 0 ) ( 2 )应用举例例 1　设 x1,x2 ,… ,xn是正数 ,则x21x2 x22x3 … x2n- 1xn x2nx1≥ x1 x2 … xn( 1 984年全国联赛试题 ) .证明 :由 ( 1 )式 ,x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn- x1,将以上各式相加 ,命题即得证例 2　设 α、β、γ为锐角 ,且 sin2 α sin2 β sin…     

运用a~2 ab b~2的变式证明一类不等式

众所周知,在不等式的证明过程中,常常要将待证的式子进行适当的变形,以利于问题的解决.本文将式子a2 ab b2进行适当的变形后,对一类不等式的证明起到了较好的效果.变式1a2 ab b2=(a 2b)2 3b24.例1已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥23(x y z);证明x2 xy y2=(x 2y)2 43y2≥23|y|≥23y,同理y2 yz z2≥23z,z2 zx x2≥23x,三式相加即可,x=y=z=0时取等号.变式2a2 ab b2=a2 b2 (a b)22例2已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥2(x y z).证明x2 xy y2=x2 y2 (x y)22≥|x 2y|≥22(x y),同理y2 yz z2≥22(y z),z2 zx x2≥22(…     

不等式a~2 b~2>=2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ的一个推广及应用魏家忠杨华（阜阳教育学院２３６０１６）（江苏省东台市城北中学２２４２００）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２２ａｂ（１）当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本里一个最基本的不等式，（１）的特点是左边两项系数之和恰为各...     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和a~x+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,m是正偶数,V(r)+U(r)(-1)~(1/2)=(m+(-1)~(1/2))~r.本文证明了:当a=|V(r)|,b=|U(r)|,c=m~2+1时,如果r≡5(mod8),m>r~2且r<11500或者m>2r/π且r>11500,则方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,r).     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和x~2+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,a,b,c是满足a~2+b~2=c~r的互素正整数.证明了:当r(?)5(mod8),c>10~(12)r~4且b是奇素数的方幂时,方程x~2+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(a,2,r).     

不等式a~2 b~2=2ab在解方程(组)中的应用

甘二一丫丁=2召丁;l‘二一l,}”“.了乙_(z二一2丫2;X勺︺之了/|12、!l、、 我们知道,对于任意的实数a和西,有 (a一乙)2)0,…aZ马一乙2)Za乙(I)当且仅当a=乃时取等号。 若动>O,在(工)的两边同除以动,即,。ab__、r卜~,一、t,。,。_,么_。得一牛 生一)2当月.仅当。=乙时取等号。     

应用(a±b)~2=a~2±2ab+b~2速算整数的平方

熟记11～25各整数的平方,是速算整数平方的基础。因而本文是在能熟记11～25各整数平方的基础上展开讨论的。一 25～100各整数的平方 1° 25～75各整数的平方 25～50的二位数可表示为50-a(a∈Z,且a≤25),a叫做该二位数对于50的补数; 50～75的二位数可表示为50+a(a∈Z,且a≤25),a叫做该二位数对于50的过数。 (50±a)~2,=50~2±2×50·a+a~2=2500±100a+a~2=(25±a)×100+a~2=〔(50±a)-25〕×100+a~2。上式说明:求25～75各整数的平方,可先求该数与25之差的100倍,再加上补数或过数的平方。     

a~2=b~2+mc一类几何题的证明

在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,且a>b,若证a2=b2+mc时,可以C为圆心,BC为半径作圆C,然后分别延长BA,AC和CA,使与圆C相交,再应用相交弦定理证之.     

若4ab=4a~2 9b~2且a、b为正数

不少的资料上都有这样一道题: 若4ab=4a~2 9b~2,且a、b为正数,求证lg(2a 3b)/r=1/2(lga lgb)。同时还给出了如下的解答。请同学们认真审查一下,看有没有错误,并指出错在哪里?然后再看答案。解法1 ∵4ab=4a~2 9b~2,∴4a~2 12ab 9b~2=16ab,即(2a十3b)~2=16ab。便有2a 3b=4ab~(1/2),从而有(2a 3b)/4=ab~(1/2),故得lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)。解法2 假定lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)成立     

a2+b2+c2≥bc+ca+ab≥4√3S的一个类似

在△ABC中,△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别为a,b,c,有一个很熟悉的不等式链:     

例谈不等式ab≤((a+b)/2)~2≤(a~2+b~2)/2在联赛最值问题中的应用

<正>~~     

a~3 b~3 c~3≥3abc的几种证法

一个人数学基础是否扎实,主要看他对一些基本定理的理解.然而,同学们往往忽视命题的证明过程,只记其结论,这未免有些不好.在自学中,我对a3 b3 c3≥3abc这一定理发掘出几种证法.     

基本不等式a+b≥2√ab的构造性证明

构造性方法也是中学数学一种很重要的思想方法,但往往因为需要一定的创造力才能构造出恰当的符合要求的模式而使学生望而生畏.但它对于培养学生的创造力和创新能力是非常有益的.     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

巧用(a+b)2≥4ab证明不等式

试比较如下两个平凡不等式 :　　 a b≥ 2 ab ( 1 )　　 ( a b) 2≥ 4 ab ( 2 )将 ( 1 )式两边平方 ,即得 ( 2 )式 ;但对 ( 1 )式 ,a,b不能是负数 ,而对于 ( 2 )式 ,a,b却可以是任意实数 .可见 ( 2 )式的应用范围更为宽广 ,而且应用更加生动灵活 .本文旨在介绍 ( a b) 2≥ 4 ab在不等式证明中的种种巧用 .1　正用例 1　已知 3y =3x z,求证 :y2≥ 4 xz.证明　依 ( 2 )式 :( 3y) 2 =( 3x z) 2 ≥ 4 .3xz,故　　 y2≥ 4 xz.例 2　设 a,b,c∈ R,且 a c- 2 b≠ 0 ,求证 :　 ( c b - 2 a) 2　≥ 4 ( a c - 2 b) ( a b - 2 c) .…     

COS~2((α-β)/2)=c~2/(a~2+b~2)的几何证法

本刊86年七期《问题与解答》栏,刊登了这样一道题: 已知锐角α、β为方程accsx+bsinx=c(a≠0,b≠0)的两个不等实根,求证:cos~2(α-β)/2=c~2/a~2+b~2 下面提供一利二利用数形结合的解法:     

利用b~2≥4αc解一类竞赛题

在数学竞赛题中,经常出现条件等式a b c=0,由a b c=0表明,关于x的方程ax2 bx c=0有实根,因此b2≥4ac.利用a b c=0,则b2≥4ac去解题,往往能收到事半功倍之效.下面举例说明.     

运用“a~2≥ 0”解题三例

我们知道a2≥0表示一个数的平方是非负数,这里的a既可以表示一个数也可以表示字母,还可以表示一个式子,它的非负性在解题中的作用很大,下面结合例子来说明.