n元集合的子集有多少个？

<正>大数据时代,计数问题在学习和生活中处处可见.本文讨论一个计数问题,源自于高中数学《选修》2-3第一章,探究与发现.问题n元集合的A={a_1,a_2,…,a}子集有多少个?1利用乘法原理探究一要得到集合A的一个子集T,可以分个步骤:第1步,考察a_1是否属于T,由集合元素     

集合背景下的计数问题

涉及集合的最常见的计数问题是，n元集合的子集个数为2^n，其中子集个数按照子集中的元素个数从少到多依次为Cn^0，Cn^1，Cn^2，…，Cn^n．     

竞赛中的组合计数问题

组合计数问题是数学竞赛中常见的一类问题,解决这类问题的基本方法有： （1）运用枚举法．把要计数的集合M中的元素逐一列举出来。不重复不遗漏,从而计算出集合M中元素的个数．     

用一一映射解计数问题

用一一映射解计数问题张进兴（华东师范大学数学系２０００６２）对于集合Ａ与集合Ｂ，如果存在集合Ａ到Ｂ的一一映射ｆ，则可将集合Ａ中的元素ａ与它在Ｂ中的象ｆ（ａ）配成一对（ａ，ｆ（ａ））．显然，Ａ中的每个元素一定出现且只出现在一个对子中，Ｂ的元素也一样．因...     

一道集合计数问题的思考

<正>集合是高中数学的第一课,是高中数学中最简单最基础的知识,那么当集合问题遇上计数问题又会碰撞出怎样的火花呢?题目设整数n≥3,集合P={1,2,3,...,n},A,B是P的非空子集.记a_n为所有满足A中最大数小于B中最小数的集合对(A,B)的个数,(1)求a_3;(2)求a_n.     

一个计数问题的再探讨

一个计数问题的再探讨徐彦明（山东临沂教育学院２７６００１）本刊１９９７年第７期《一道排列组合题的解法探讨》［１］一文给出了一个计数问题的四种较好的解法．这一个计数问题是：有一楼梯共１０级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要上到１０级，共有多少种不同走...     

用一个计数模型证明一类组合恒等式

本文给出了一个组合计数模型,首先证明组合恒等式的一边是此组合计数问题的解,再利用基本的计数原理证明组合恒等式的另一边也是该组合计数问题的解,并利用该方法证明了三个组合恒等式.     

立几组合问题及其它

从七十年代始,中学生数学竞赛试题中的立体几何题,常渗透组合数学的思想,方法和技巧,概括起来,大约有六类问题,连同运动与轨迹问题,现分别举例说明如下。一、计数问题所谓计数,在组合数学中是计算具有某种性质的有穷集合中元素的个数,常用的方法有加法原理与乘法原理,排列与组合,容斥原理,母函数方法,归纳与迭代等。例1 有一百张平面,都经过同一点,但是其中任何三个平面都不经过一条直线;试问:这100张平面把空间分成几个部分? 分析这是一个典型计数问题,计算具有一定性质的一百张平面将空间分成的部分数。采用加强命题     

关于含k圈标号图的计数问题

含k个圈的标号图的计数问题是一个未解决问题.迄今仅对于k=1,2被解决,可是,所得出的计数式均较复杂.本文改进了已得到的一系列公式,并且解决了K=3的上述计数问题.     

图分解与带共轭性质拟群的计数

由一个拟群(Q,☉)可以定义出6个共轭拟群,这6个共轭拟群不一定互不相同,其构成的集合c(Q,☉)的基数t可能的取值是1,2,3或6.记q(n,t)是所有满足|C(Q,☉|=t的n阶拟群的个数,收稿利用完全3部图Kn,n,n的三角形分解来考虑q(n,1)和q(n,3)的计数问题.     

用母函数理解组合问题

母函数是将复杂计数问题简单化的一个工具,利用母函数来处理中学数学中的某些组合问题,可操作性强,学生容易理解.本文先介绍母函数的基本知识,然后用母函数理解一些经典组合问题,再介绍母函数在解决某些复杂计数问题中的应用.     

峰严格递增的Dyck路的计数

本文考虑了由最高峰的高度为m,并且峰的高度沿着Dyck路严格递增的所有Dyck路组成的集合,即集合Dm的子集的计数问题．利用双射、生成树以及Riordan阵的方法来对集合Dm的一些子集进行计数,得到了一些以经典的序列如Catalan数、Narayana数、Motzkin数、Fibonacci数、Schroder数以及第一类无符号Stirling数来计数的组合结构．特别地,我们给出了两个新的Catalan结构,它们并没有明显地出现在Stanley关于Catalan结构的列表中．     

带共轭性质拟群的计数

由-个拟群(Q,(×))可以定义出6个共轭拟群,这6个共轭拟群不一定互不相同,其构成的集合C(Q,(×))的基数t可能的取值是1,2,3或6.记q(n,t)是所有满足|C(Q,(×))|=t的n阶拟群的个数,本文将给出q(n,2)和q(n,6)的计数问题.     

抽屉原理

存在性问题是数学研究中常遇到问题,存在性问题也可看作特殊的计数问题,即对某个集合A,讨论|A|≥1还是|A|=0。一般地说,所谓“存在”指的是“至少有一个”。这里仅须指明“存在”,并不需要指出是哪一个,也不要确定什么办法把这个存在的物体找出来,更没有“唯一”的含义。抽屉原理虽然简单、浅显,却正是解决存在性问题的强有力工具。原理1 把n+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉,它里面有两个或更     

映射与函数

我们知道 ,对于两个集合Ｘ ,Ｙ ,若有一种对应关系 ｆ ,使得Ｘ中的每个元素ｘ ,能在Ｙ中找到一个唯一的元素ｙ与之对应 ,则称这种对应关系 ｆ是从Ｘ到Ｙ的一个映射 .与映射有关的问题中有一类是关于映射的计数问题 .例 1　 (第二届希望杯高一试题 )如果集合Ｍ ,Ｎ各有ｍ ,ｎ个元素 ,那么 ,从Ｍ到Ｎ可能建立的映射个数是 (　　 )(Ａ)ｍ ｎ .　　　 (Ｂ)ｍｎ .(Ｃ)ｍｎ. (Ｄ)ｎｍ.解　对于Ｍ中的每一个元素 ,从Ｍ到Ｎ都可以建立ｎ个不同的对应 .因Ｍ中有ｍ个元素 ,故从Ｍ到Ｎ可能建立的映射的个数是ｎ·ｎ·…·ｎｍ个=ｎｍ.故应选 (Ｄ) .例 …     

例谈映射的计数问题

一些同学在解答与映射有关的计数问题时,往往不知如何下手.本文试通过几例解析这类问题的解题思路,期望对同学们有所帮助.例1集合M={a,b,c},N={0,1},映射f:M→N满足:f(a)+f(b)=f(c),则这样的映射f有多少个?     

关于映射与排列组合的交叉问题

映射是高一阶段一个重要的概念 ,也是初等数学中的一种重要思想和方法 ,它为后面的学习打下了基础 .排列组合是高二的一个重要内容 ,它涉及到方方面面的知识 ,所以在高三复习时 ,我们要加强这两方面知识的联系和渗透 ,在知识的交叉点上来设计和思考问题 .1　映射中的排列组合问题映射是中学数学中一个基本而重要的概念 ,它不仅为函数的学习打下了基础 ,自身还有一些变化 ,由于在两个集合之间有不同的映射类型 ,所以产生了映射和排列组合的联系 ,那就是映射中的计数问题 .而这也是学生学习中的一个难点 ,所以在复习时我们要加强它们的联系 .…     

关于4-连通三角剖分的计数

本文讨论4-连通极大平面地图的计数问题.从地图对偶的角度考虑,它等价 于强3-连通3-正则有根平面地图的计数问题.在此,我们获得了具有一个和两个变 量的精确计数公式.本文的结果简化并推广了文[1,2]中的相应结果.     

应用四面体模型巧解异面直线计数问题

<正>在四面体ABCD中,共有4个顶点,6条棱,并且恰有3对异面直线.这是一个简单的事实.在有关异面直线的计数问题中,若能从几何体中分离出四面体,则可方便地解决异面直线的计数问题.例1 (2005年高考题)过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条.其中异面直线有( ).     

可实现布尔矩阵与传递关系计数

传递关系的计数问题是一个开问题。本文建立了对称传递关系与可实现布尔矩阵的联系,并通过该联系,给出了对称传递关系的计数。