On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

О коэффициентах рядо в Фурье по множествам

The following statement is proved: Theorem.Let f(x), 0≦x≦2π, possess the Fourier expansion $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty c_\kappa e^{in} \kappa ^x with \bar c_\kappa = c_{ - \kappa } , n_\kappa = - \bar n_{ - \kappa }$$ where {n _k } is a Sidon sequence. Then in order to have $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty |c_\kappa |^p< \infty$$ for a given p, 1 $$\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \left( {\frac{{\left\| f \right\|L^k (0,2\pi )}}{k}} \right)^p< \infty$$ . An analogous statement holds true for series with respect to the Rademacher system.     

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

On the properties of the strong Cesàro summability and strong convergence of series

Говорят, что ряд \(\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \) сумм ируется к s в смысле (С, gа), gа >?1, если $$\sigma _n^{(k)} - s = o(1),n \to \infty ,$$ в смысле [C,α] _λ , α<0, λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {\sigma _k^{(\alpha - 1)} - s} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ и в смысле [C,0] _λ , λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {(k + 1)(s_k - 1) - k(s_{k - 1} - 1)} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ где σ _n ^(α) обозначаетn-ое ч езаровское среднее р яда. Суммируемость [C,α] _λ , α>?1, λ ≧1 о значает, что $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty k^{\lambda - 1} \left| {\sigma _k^{(\alpha )} - \sigma _{k - 1}^{(\alpha )} } \right|^\lambda< \infty .$$ В данной статье содер жится продолжение ис следований свойств [C,α] _λ -суммиру емо сти, которые начали Винн, Х ислоп, Флетт, Танович-М иллер и автор, в частности свя зей между указанными методами суммирования. Наконец, даны некотор ые простые приложени я к вопросам суммируемости ортог ональных рядов.     

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

On the regular summability of multiple function series and Lebesgue functions

Основной целью работ ы является обобщение одного результата Кратца и Т раутнера [4], известного для одном ерных функциональны х рядов, на кратные ряды. Этот рез ультат касается суммируемо сти функционального ряда почти всюду при слабых пред положениях. В частности, он примен им к суммируемости по Чезаро и по Риссу. Мы рассматриваемd-кр атный ряд $$\mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x), \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d }^2< \infty $$ и предполагается, что функции \(f_{k_1 ,...,k_d } (x)\) интегрируе мы по пространству с полож ительной мерой и имеют почти вс юду ограниченные фун кции Лебега для метода суммирова ния Т. Метод Т определяетсяd-мерной матрицей \(T = \{ a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } \} \) сл едующим образом: $$t_{m_1 ,...,m_d } (x) = \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x).$$ Эти средние существу ют, поскольку мы предп олагаем, что \(a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } = 0\) ,если max(k ₁,...,k _d) достаточно вели к (в зависимости, конеч но, отm ₁,...,m _d). При некоторых дополнительных усло виях на матрицуТ (см. (7)– (9) в разделе 3) устанавлива ется почти всюду регулярная схо димость средних \(t_{m_1 ,...,m_d } (x) \user2{} \user2{(}m_1 \user2{,}...\user2{,}m_d \user2{)} \to \infty \) . Как вспомогательный результат, в работе об общается теорема Алексича [1] о сх одимости почти всюду некоторы х подпоследовательн остей частных сумм функцио нального ряда.     

On the zero distribution of the Riesz transforms of power series

Рассматривается последовательность преобразований Рисс а степенного ряда $$f(z) = \sum\limits_{v = 0}^\infty {\alpha _v z^n } ,$$ задаваемая формулой $$\sigma _n (z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\textstyle{{Pk} \over {P_n }}}s_k (z)} ,$$ гдеs _k (z) — частная сумма порядкаk рядаf, a {p _k } — комплексная послед овательность, для которой $$P_n = \sum\limits_{k = 0}^n {p_k \ne 0, n = 0,1,2,... .}$$ Показано, что число ну лей полиномовσ _n в кру ге ¦z¦ <R связано при определе нных условиях лакунарнос ти с порядком роста {σ_n} и с их сверхсходимостью.     

Solvability of the Dirichlet problem for degenerate quasilinear elliptic equations

In a bounded domain of the n -dimensional (n?2) space one considers a class of degenerate quasilinear elliptic equations, whose model is the equation $$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial F}}{{\partial x_i }}} (a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i - 2} u_{x_i } ) = f(x),$$ where x =(x₁,..., x_r), l_i?0, m_i>1, the function f is summable with some power, the nonnegative continuous function a(u) vanishes at a finite number of points and satisfies \(\frac{{lim}}{{\left| u \right| \to \infty }}a(u) > 0\) . One proves the existence of bounded generalized solutions with a finite integral $$\int\limits_\Omega {\sum\limits_{i = 1}^n {a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i } dx} }$$ of the Dirichlet problem with zero boundary conditions.     

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series

Пусть Λ=(λ_n) — возрастаю щая к+∞ последователь ность неотрицательных чис ел, λ₀=0, а S₊(Λ) — класс абсолют но сходящихся в С рядо в Дирихле вида $$F\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\},$$ где a₀=1 и a_k>0 (k∈N). Положим $$\begin{gathered} S_n \left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\}, \hfill \\ \sigma _n \left( F \right) = \max \left\{ {\frac{1}{{S_n \left( x \right)}} - \frac{1}{{F\left( x \right)}}:x \in R} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} $$ Доказано, что для того, чтобы для любой функц ии F∈S₊(Λ) выполнялось равенст во $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}}\ln \frac{1}{{\sigma _n \left( F \right)}} = + \infty ,$$ необходимо и достато чно, чтобы $$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{{n\lambda _n }}< + \infty .$$ Аналогичные результ ы получены для различ ных подклассов классаS ₊ (Λ), определяемых условиями на убывани е коэффициентова _n.     

On absolute summation of Fourier series by subsequences

В работе изучается сл едующая задача. Пусть заданы числа 0<α≦1 и β<α. При каки х условиях на строго во зрастающую последов ательность натуральных чисел {n _k } _k ^t8 =1 для всех 2π-периодических функ ций \(f(x) \sim \sum\limits_{v = - \infty }^\infty {c_v e^{ivx} } \) , принадлежащих к лассу Lip α, равномерно пох будет выполнено неравенство $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {|\sum\limits_{n_k \leqq |v|< n_{k + 1} } {c_v e^{ivx} } |n_k^\beta< \infty ?} $$ .     

On the Fourier coefficients of contracted functions

РАБОтА пОсВьЩЕНА ИжУ ЧЕНИУ сВьжИ кОЁФФИцИ ЕНтОВ ФУРьЕ ФУНкцИИ ?(x) И g(x) тАкИх ЧтО (1) $$\parallel \Delta _h^m g(x)\parallel _{L^2 } \leqq \parallel \Delta _h^m f(x)\parallel _{L^2 } $$ Дль ВськОгОh≧0 И НЕкОт ОРОгОт. пОкАжАНО, ЧтО сУЩЕстВ УУт НЕпРЕРыВНыЕ ФУНк цИь ?(x) Иg(x), УДОВлЕтВОРьУЩИЕ сОО т-НОшЕНИУ (1), И тАкИЕ, ЧтО $$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty [a_n^2 (f) + b_n^2 (f)]^{\alpha /2}< \infty $$ Дль ВськОгО α>0 И $$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty [a_n^2 (g) + b_n^2 (g)]^{\beta /2} = \infty $$ Дль ВськОгОΒ<2. АНАлОгИЧНыИ РЕжУльт Ат ДОкАжыВАЕтсь И Дль пЕРИОДИЧЕскИх МУльт ИплИкАтИВНых ОР-тОНО РМИРОВАННых сИстЕМ.     

Criterion of polynomial increase of a function and its derivatives

ДОкАжАНО, ЧтО Дль тОгО, ЧтОБы Дльr РАж ДИФФЕРЕНцИРУЕМОИ НА пРОМЕжУткЕ [А, + ∞) ФУНкцИИf сУЩЕстВОВА л тАкОИ МНОгОЧлЕН (1) $$P(x) = \mathop \Sigma \limits_{\kappa = 0}^{r - 1} a_k x^k ,$$ , ЧтО (2) $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - P(x))^{(k)} = 0,k = 0,1,...,r - 1,$$ , НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО, ЧтОБы схОДИлсь ИН тЕгРАл (3) $$\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{r - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t)dt.}$$ ЕслИ ЁтОт ИНтЕгРАл сх ОДИтсь, тО Дль кОЁФФИц ИЕНтОВ МНОгОЧлЕНА (1) ИМЕУт МЕс тО ФОРМУлы $$\begin{gathered} a_{r - m} = \frac{1}{{(r - m)!}}\left( {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m \frac{{( - 1)^{m - j} f^{(r - j)} (x_0 )}}{{(m - j)!}}} \right.x_0^{m - j} + \hfill \\ + ( - 1)^{m - 1} \left. {\mathop \Sigma \limits_{l = 0}^{m - 1} \frac{{x_0^l }}{{l!}}\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{m - l - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t_{m - 1} )dt_{m - 1} } } \right),m = 1,2,...,r. \hfill \\ \end{gathered}$$ ДОстАтОЧНыМ, НО НЕ НЕОБхОДИМыМ Усл ОВИЕМ схОДИМОстИ кРА тНОгО ИНтЕгРАлА (3) ьВльЕтсь схОДИМОсть ИНтЕгРАл А \(\int\limits_a^{ + \infty } {x^{r - 1} f^{(r)} (x)dx}\)      

On the continuity of functions in connection with a problem of V. G. Krotov

В РАБОтЕ ДАЕтсь ОтВЕт НА ОДИН ВОпРОс, пОстАВ лЕННыИ В. г. кРОтОВыМ. УстАНОВлЕН О, ЧтО ЕслИ Ф(х) — МОНОтОННО ВО жРАстАУЩАь ФУНкцИь,Ф (0)=0, Ф(2х)≦кФ(х), х[0, ∞), тО $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {S_k - f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k } \Phi (\lambda _k ) = \infty $$ Дль пРОИжВОльНых НЕО тРИцАтЕльНых ЧИслОВ ых пОслЕДОВАтЕльНОстЕ И {Μ_k} И {λ_k}. (жДЕсьS _k ОБОжНАЧАЕт ЧАстНУУ с УММУ пОРьДкАk РьДА ФУ РьЕ ФУНкцИИf). УстАНОВлЕН О тАкжЕ, ЧтО ВО МНОгИх слУЧАьх $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {\tilde S_k - \tilde f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\lambda _k }}} \Phi ^{ - 1} \left( {\frac{1}{{k\mu _k }}} \right)< \infty .$$      

Асимптотические рав енства для интеграло в от модуля суммы кратн ого ряда из синусов

Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) a_k → 0 for k₁ + k₂ + ...+k_m →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈N^m the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii.     

On orthogonal polynomials

Пустьw(х)∈L[-1, +1] — неотрица тельная функция така я, что $$\frac{{\log ^ + \frac{1}{{w(x)}}}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \in L[ - 1, + 1]$$ и пусть {(р _n (х)} — много члены, ортогональные и нормированные с весо мw(x). Мы доказываем следующие две теорем ы, являющиеся обобщен ием одного известного результа та Н. Винера. I. Для каждого δ, 0<δ<1, суще ствует числоB=B(δ, w) тако е, что если $$f_N (x) = \sum\limits_{j = 1}^N {a_j p_{v_j } (x)} $$ причем выполнено сле дующее условие лакун арности $$\begin{gathered} v_{j + 1} - v_j \geqq B(\delta ,w) (j = 1,2,...,N - 1), \hfill \\ v_1 \geqq B(\delta ,w) \hfill \\ \end{gathered} $$ , то для некоторого С(δ, w) и всехh и δ, для которых $$ - 1 \leqq h - \delta< h + \delta \leqq + 1$$ , имеет место неравенс тво $$\int\limits_{ - 1}^1 {|f_N (x)|^2 w(x)dx \leqq C(\delta ,w)} \int\limits_{h - \delta }^{h + \delta } {|f_N (x)|^2 w(x)dx} $$ каковы бы ни былиa _j ,N и h. II. Если формальный ряд $$\sum\limits_{j = 1}^\infty {b_j p_{\mu _j } (x)} $$ удовлетворяет услов ию лакунарности μ_j+1-μ_j→∞ и суммируем, например, м етодом Абеля на произвольно малом отрезке [а, Ь] ?[0,1] к ф ункцииf(x) такой, что \(f(x)\sqrt {w(x)} \in L_2 [a,b]\) , то $$\sum\limits_j {|b_j |^2< \infty } $$ Теорема I — это первый ш аг в направлении проб лемы типа Мюнтца-Саса о замкнут ости подпоследовательно сти pv_j(x)} последовател ьности {р_n(х)} на отрезке [а, Ь] в метрике С[а, Ь] (см. теорему II стать и).     

On a strengthened extremal property of the Carathéodory-Fejér functions

Для заданной на едини чной окружности огра ниченной функцииω(ξ) рассматр ивается усложненная задача а ппроксимации аналит ическими функциями: $$\mathop {\inf }\limits_{\varphi \in H^\infty } \left[ {\left\| {\omega - \varphi } \right\| + \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k \left| {\lambda _k } \right|} \right],$$ где ∥·∥ понимается вL ^∞,ε _k ≧0 — заданные чис ла, $$\mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k< + \infty ,\varphi (z) = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \lambda _k z^k .$$ Доказывается, что при всех достаточно малы хε _k экстремальной в этой задаче будет функция обычного наилучшего приближения (та же, что и приε _k =0,k=0, 1, ...). В частности, при $$\omega (\zeta ) = \frac{{\gamma _0 }}{{\zeta ^n }} + \frac{{\gamma _1 }}{{\zeta ^{n - 1} }} + ... + \frac{{\gamma _{n - 1} }}{\zeta }$$ экстремальной оказы вается дробь Каратео дори—Фейера. Переход к двойственн ой задаче позволяет получить т очные оценки для клас са интегралов типа Коши, выделяемого огранич ениями, наложенными на велич ины коэффициентов ря да Тейлора.     

A conjecture of Erdős and Reddy and the rational approximation of Mittag-Leffler type functions

Пусть \(f(z) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k z^k ,a_0 \ne 0, a_k \geqq 0 (k \geqq 0)\) — целая функци я,π _n — класс обыкновен ных алгебраических мног очленов степени не вы ше \(n,a \lambda _n (f) = \mathop {\inf }\limits_{p \in \pi _n } \mathop {\sup }\limits_{x \geqq 0} |1/f(x) - 1/p(x)|\) . П. Эрдеш и А. Редди высказали пр едположение, что еслиf(z) имеет порядок ?ε(0, ∞) и $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f)< 1, TO \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f) > 0$$ В данной статье показ ано, что для целой функ ции $$E_\omega (z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{z^n }}{{\Gamma (1 + n\omega (n))}}$$ , где выполняется $$\lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{{\omega (n)}}{{e + 1}}} \right\}$$ , т.е. $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{1}{{\rho (e + 1)}}} \right\}< 1, a \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) = 0$$ . ФункцияE _ω (z) имеет порядок ?.     

On imbedding of classes of functions

В НАстОьЩЕЕ ВРЕМь ИжВ ЕстНО МНОгО УтВЕРжДЕ НИИ тИпА тЕОРЕМ ВлОжЕНИь, кОтО РыЕ ФОР-МУлИРУУтсь В тЕРМИНАх МОДУлЕИ НЕ пРЕРыВНОстИ. ДАННАь РАБОтА сОДЕРж Ит НЕскОлькО тЕОРЕМ В лОжЕНИь с УслОВИьМИ, ВыРАжЕННы МИ В тЕРМИНАх НАИлУЧшИх п РИБлИжЕНИИE _n(?,p) ФУНкц ИИ ? тРИгОНОМЕтРИЧЕскИМ И пОлИНОМАМИ пОРьДкАn В МЕтРИкЕL ^p: И сслЕДУЕтсь ВлОжЕНИЕ клАссАE(α,p) ФУНкцИИ ИжL ^p, УДОВлЕтВОРьУ-ЩИх Дль жАДАННОИ МОНОтОН НО УБыВАУЩЕИ к НУлУ пОслЕДОВАтЕльНОстИ α={А_n} УслОВИУ $$E_n (f,p) \leqq M\alpha _n (M = M(f))< \infty ;n = 1,2,...).$$ хАРАктЕРНыМИ РЕжУль тАтАМИ РАБОты ьВльУт сь слЕДУУЩИЕ ДВА слЕДстВИь тЕОРЕМ ы 3. слЕДстВИЕ 1. пУстьР≧1И Β>?1.ЕслИ пОслЕДОВАтЕльНОсть {α_n} УДОВлЕтВОРьЕт УслОВИУ: , тО Дль ВлОжЕНИь $$E(\alpha ,p) \subset L^p (\ln + L)^{\beta + 1} $$ НЕОБхОДИМО И ДОстАтОЧНО $$\mathop \sum \limits_{n = 2}^\infty \frac{{(\ln n)\beta }}{n}\alpha _n^p< \infty .$$ слЕДстВИЕ 2.ЕслИ v>p≧1,Β≧0 И {А_{n} УДОВлЕтВОРьЕт УслОВИУ} (1),тО Дль ВлОжЕ НИь $$E(\alpha ,p) \subset L^\nu (\ln + L)^\beta $$ НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО $$\mathop \sum \limits_{n = 2}^\infty n^{\nu /p - 2} (\ln + n)^\beta \alpha _n^\nu< \infty ,$$