点到平面距离公式的简证及相关结论

利用定比分点坐标公式和两点间距离公式证明点到平面的距离公式,同时得出点到平面垂线的垂足、关于平面的对称点及垂线上一般点的坐标公式。     

确定垂足位置的两个基本图形

在立体几何中两异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离基本上都是转化为点与点之间距离来解决;直线与平面所成的角的确定、二面角平面角的确定(主要是三垂线定理及其逆定理法)也都涉及到由平面外一点向平面引垂线的垂足问题,所有这些使确定过一点向一个平面所引垂线的垂足的位置变得非常关键.     

用三棱锥的体积关系式解题

在立体几何中，求点或直线到平面的距离、两异面直线的距离、三角形面积、二面角；求证四面体中有关距离的等式或不等式问题，可以利用三棱锥的体积关采式获解，这是一种简捷而有效的方法．1求点到平面的距离例1已知P为矩形平面ABCD外一点，PD上平面ABCH，AB—a，PD—b，来A点到平面PBC的距离d．解田三垂线定理知，BC上PC．在R’thABC中，S。。。一了a“BC，放由VA．P。一VP。BC，待于是汪用三俊雄的体积等回关系式来点到平面的距离的优点是，不需作出波点到此平面的垂线段．Zk直线到旱面的距志例2已知亘三棱枉ABC——AIB…     

距离的几种求法在高考中的应用

距离是立体几何中的基本位置关系之一,也是高考的重点内容之一,均可转化为点到平面的距离,而这个转化过程要体现出线面的垂直关系的运用,分析近几年的高考试题,将距离的求法可归结为以下几种方法.1直接法即可直接作出点到平面的垂线,再求出其垂线段的长度,此种方法的关键是要确     

点到直线距离公式的一个简捷求法

点到直线距离公式的一个简捷求法陈国正（湖南津市一中４１５４００）求点Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离．一个自然的解题思路是：作ＰＱ⊥ｌ于Ｑ；列出垂线ＰＱ的方程；解方程组求垂足Ｑ的坐标；计算｜ＰＱ｜得所求．课本［１］指出：“这个方法虽...     

数学诗一首——立体几何

一点二面三垂线 ,解决问题是关键 ;垂足平面与垂线 ,图中位置细分辨 .已知条件想性质 ,再推性质要精选 ;求证结论想判定 ,解题思路方可现 .言必有据书写简 ,说理计算序不变 ;概念定理熟记准 ,解题正确结果见 .说明　 1　点、平面、垂线是解立体几何题的关键 .点主要是指垂足 ,即线互相垂直或线垂直面的垂足 ,点在线上的射影 ,点在面内的射影 ;有时也指线段的端点或中点 ;也可以是三角形的垂心或多边形中有关的点 .平面主要是指线的垂面、互相垂直的面、二面角的面和已知条件较多的平面图形所在的平面 .垂线主要是指线的垂线、平面的垂线、平…     

距离问题的垂足法求解

空间解析几何中的距离问题通常与垂直相关,解得垂足,即可化为两个点的距离.用垂足法分析求解了点到平面、点到直线、异面直线间的距离问题,展示了方法的思路、步骤和过程.举例说明了某些与距离相关的问题也可采用此法.     

浅谈点面距离的求法

点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1　定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1　 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1　例 1图解　如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ…     

利用三棱锥的体积求距离

三棱锥是一个特殊的棱锥:它的每个面皆可为棱锥的底面,每个顶点皆可为棱锥的顶点,而其体积总是不变的,利用这一点,我们可以把求点到面的距离转化成求三棱锥的高。这给求点到面、线到线的距离另辟了蹊径。一、求点到平面的距离求点到平面的距离,一般先作出过这点的平面的垂线,此点与垂足之间的部分即为所求。我们也可以把求点与面的距离转化成求三棱锥的高,进而利用等积的三棱锥来求。例1 正方体AC′的棱长为1,BC上有一点E,BE=1/3 BC,AA′上有一点F,AF=1/4 AA′,0为正方体的中心,求B′到面EFO的距离     

求异面直线间距离的另一种方法

贵刊在去年第3期登了求异面直线间距离的五种方法。我认为还有另一种方法可求,即建立函数关系求最小值法,今介绍如下. 在第一条直线上任取一点M向第二条直线所在平面作垂线,垂足为P,再过P作第二条异面直线的垂线PN,N为垂足,连接MN则MN⊥     

高考专题复习系列讲座——直线、平面和简单几何体

[考试内容及考试要求]考试内害：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法．平行直线，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定，三垂线定理及其逆定理，两个平面的位置关系。空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积，直线的方向向量，异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离＋直线和平面垂直的性质，平面的法向量，点到平面的距离．直线和平面所成的角，向量在平面内的射影，平行平面的判定和性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定和性质，多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球．     

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理毛会文湖南平江二中【基本概念】三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．关于上述定理...     

探究圆锥曲线的垂足曲线

本文介绍作者利用《超级画板》研究圆锥曲线的垂足曲线得到的一些结论.那么什么是圆锥曲线的垂足曲线呢?一般地,在平面内,已知曲线C和定点A,从A向曲线C的任意切线作垂线,垂足的轨迹就叫做曲线C关于点A的垂足曲线.     

三垂线定理一课的教学管见

１　定理的本质功能高中立体几何的三垂线定理是立几中的重要定理之一,它在线线、线面、面面垂直中起到纽带作用．通常立体几何问题的处理,大多是将立几问题转化为平几问题来解决．唯有三垂线定理,在不同平面内直接判断线线垂直,这是三垂线定理的本质功能．２　精读定理（１）有斜线要确定射影,必须牵涉到垂线．有了垂足和斜足,才能确定斜线的射影．所以涉及这一定理的有４条直线．（２）垂线、斜线及它的射影在同一平面内,射影与平面内一直线确定另一平面．（３）斜线与它的射影固定后,而平面内那条直线平行移动时,定理仍然成立．…     

到两线段“距离”相等的点的轨迹

在平面上,已知直线l与l外一点P,任取直线l上的点Q,连接PQ,那么,当PQ⊥l,线段PQ的长度最短,称点P到直线l的距离就是该垂线段的长度．直线是无限延伸的,可是如果l不是直线,而是线段,那么,距离该怎么理解？下面我们来看看2011年高考上海卷中的这道题：     

求点到平面的距离

解决好点到平面的距离是学好立体几何中距离关系的关键.下面是一个简单的实例,我们通过这个实例来体会一下求点到平面距离的几个常见的方法.例题:在正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为1.求点A1到平面AB1D1的距离.一、用点到平面距离的定义由于要求点到平面的距离就是要求点与该点在平面内射影间的线段的长度.因此,只要找到该点在平面中射影,问题就可以迎刃而解.解法一:连结A1C1交B1D1于O,连结AO,过点A1作A1E⊥AO,垂足为点E.∵AA1⊥平面A1B1C1D1且B1D1平面A1B1C1D1∴AA1⊥B1D1又∵B1D1⊥A1C1且A1C1∩AA1=A1∴B1D1⊥平面AA1…     

点面距离的求法

立体几何中的距离种类很多,最常见的也 是最重要的当数点面距离．本文就点面距离的 求法进行一些探讨,供同学们参考． 一、直接法 即直接由点向面作垂线,求 垂线段的长度．     

五立体几何

1.如果平面外的一条直线与这个平面的一条垂线垂直,那么这直线与这个平面平行。 2.已知a、b为两异面直线,由直线a上两点A、B分别引直线b的垂线,垂足为A_1、B_1,已知AB=2,A_1B_1=1;求异面直线a、b所成的角。 3.已知三条射线SA、SB、SC所成的∠ASC=∠BSC=30°,∠ASB=45°;求平面ASC与平面BSC所成的二面角的大小。 4.巳知A、B、 C、D四个点在平面a和平面β之外,A、B、C、D在平面a上的射影是A~1、B~1、c~1、D~1,且这四点在一直线上 A、B、C、D在平     

设而不求推导点到直线的距离公式

已知点P(x0,y0)和直线L:Ax By C=0,求点P到直线L的距离. 教材中给出下面一种思路:如图,设点P 到直线L的垂线为L’,垂足为Q.由L’⊥L可知L’的斜率为B/A(A≠0),根据点斜式可写出 L＇的方程.并由L与L＇的方程求出点Q的坐标,由此即可根据两点距离公式求出|PQ|,这就是P到直线L的距离. 接着教材总结道:“这个方法虽然思路自然,但是运算很繁.”不错!解L与L＇联立的方     

由一个基本图形构造的若干命题

如图 1,三棱锥A BOD中 ,AB⊥面BOD ,∠BDO =90 .以此三棱锥作为模型的载体是处理线线角、线面角、二面角、线线距离、线面距离的最佳图形 .由这一图形构建的下列命题可以看作是以往一些定理的推广或延伸 .1　空间四边形正弦定理如图 1,过点B作BE⊥AO ,垂足为E ,过点D作DF⊥AO ,垂足为F ,设BE =mB,DF =mD ,BD=m ,二角面B AO D为θ ,BD与平面ADO所成角为θB ,DB与平面ABO所成角为θD ,则 msinθ=mBsinθB=mDsinθD.证　过点B作BN⊥AD于N ,∵AB⊥平面BOD ,且OD⊥BD ,由三垂线定理知OD⊥AD ,∴OD⊥平面ABD .∴…