Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

Die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in eine kreisförmige Bordasche Mündung

Zusammenfassung Für die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in ein kreisförmiges Rohr mit Strahlablösung (Bordasche Mündung) wird eine numerische Näherungslösung angegeben. Hierzu wird für einen probeweise angenommenen Strahlrand die vollständige Strömung berechnet durch numerische Integration der Differentialgleichung der Stromfunktion mit dem Liebmannschen Mittelungsverfahren. Nach den Abweichungen der Geschwindigkeit am angenommenen Strahlrand von dem geforderten konstanten Wert wird dann die Form des Randes verbessert. Schließlich wird noch eine Verbesserung auf graphischem Wege erreicht. Die Ergebnisse werden dann mit denen der entsprechenden ebenen Aufgabe verglichen.     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

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With 14 figures and 4 tables     

Die Orientierung hantelförmiger Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Untersuchung behandelt die Orientierung von länglichen Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten. Als Modell hierfür werden starre Hanteln ohne rotatorischen Freiheitsgrad der Hantelkugeln benutzt. Bei Beschränkung auf schleichende Strömungen werden für eine Flüssigkeit zweiter Ordnung zunächst die Kraft- und Drehmomentbeiträge berechnet, die von der Flüssigkeit auf eine ruhende Kugel ausgeübt werden, sowie die für die spätere Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln benötigten Anteile des Druck- und Geschwindigkeitsfeldes zweiter Ordnung.Mit Hilfe dieser Ergebnisse werden anschließend die stabilen und labilen Gleichgewichtslagen einer an die Scherebene gebundenen Hantel ohne und mit Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln bestimmt. Weiter wird diskutiert, welche Aussagen man aus Beobachtungen an Kugeln oder Hanteln in der Scherströmung einer viskoelastischen Flüssigkeit über deren Stoffverhalten gewinnen kann.In einem abschließenden experimentellen Teil werden dann die theoretischen Ergebnisse an einer 0,1%-igen wäßrigen Polyacrylamid-Lösung durch Versuche an Kugeln und Hanteln überprüft. Obgleich diese Flüssigkeit im untersuchten Schergeschwindigkeitsbereich nicht mehr durch das Modell einer Flüssigkeit zweiter Ordnung beschrieben werden kann, findet man eine qualitative Bestätigung der vorausgesagten Orientierungseffekte. Außerdem werden einige weitere Verhaltensweisen ausgeprägt viskoelastischer Flüssigkeiten beobachtet.

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Summary Orientation effects of slender particles are investigated in shear flow of viscoelastic fluids. As a model for such particles rigid dumbbells are used without freedom of rotation of the dumbbell spheres. For slow flow at first the force and torque contributions are calculated, which are exerted from a second-order fluid on a rigid sphere at rest. In addition the required second-order parts of the pressure and velocity field are evaluated to consider later the interaction between the dumbbell spheres.From these results the stable and unstable orientation angles of a dumbbell in the shear plane are determined. This is done with and without taking into account the interaction effects. Furthermore it is discussed, which information about the material behaviour is available from observations of spheres or dumbbells in shear flow of a viscoelastic liquid.In conclusion the theoretical predictions are tested by experiments with spheres and dumbbells in a 0.1% aqueous solution of polyacrylamide. Even though this liquid cannot be described by the model of a second-order fluid in the range of shear rate applied, the predicted orientation effects are qualitatively confirmed. Moreover some other properties of highly viscoelastic fluids are observed.

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Von der Abteilung Chemietechnik genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf dem Euromech-Kolloquium No. 49 in Jabonna (Polen) vom 2.–5. April 1974 und der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.

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Mit 9 Abbildungen und 1 Tabelle     

Zur Viskosimetrie strukturviskoser Flüssigkeiten bei hohen Werten des Geschwindigkeitsgefälles

Zusammenfassung Viele technisch wichtige Flüssigkeiten, z. B. die Schmieröle, werden im Einsatz einem hohen Schergefälle unterworfen, während die für ihre Wirkung wichtige Viskosität bei einem wesentlich niedrigeren Schergefälle in den genormten Viskosimetern ermittelt wird. Da nicht immer mit Sicherheit Newtonsches Verhalten vorausgesetzt werden kann, besteht in diesen Fällen die Notwendigkeit, das Fließverhalten unter den der Praxis entsprechenden Bedingungen zu bestimmen.Nach allgemeinen Erörterungen über die Ermittlung und Darstellung des Fließverhaltens strukturviskoser Flüssigkeiten und der Fehlerquellen wird das Struktur-Viskosimeter nachH. Umstätter in einer weiterentwickelten Form als ein zur Untersuchung des Fließverhaltens bei hohen Schergefällen geeignetes Gerät beschrieben.Die mit strukturviskosen Ölen mit hochpolymeren Zusätzen erhaltenen Ergebnisse zeigen die bei den Messungen zu beachtenden Besonderheiten (Selbsterwärmung, Relaxation, Molekülabbau). Möglichkeiten zur Interpolation und Extrapolation der Ergebnisse werden angegeben und diskutiert.Nach einem Vortrag auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 10./11. April 1961 in Bad Oeynhausen.     

Die Grundgleichungen für den Verbund bei Stahlbeton-Rechteckplatten

Zusammenfassung Das Problem des Plattenverbundes läßt sich, nachdem man bei der Darstellung der maßgebenden Beziehungen weitgehend in Analogie zur Theorie elastischer orthotroper Platten vorgeht, letztlich auf ein System dreier simultaner Integro-Differentialgleichungen für die Mittelflächenverschiebungen zurückführen, die man für konstante Steifigkeiten mit Hilfe von Produktansätzen lösen kann. Im allgemeinen Falle der veränderlichen Bewehrung wird eine exakte Lösung kaum noch zu erreichen sein. Man kann in solchen Fällen nach der Methode Sattler mit Hilfe angenommener Zeitabhängigkeiten die Gleichungen zunächst einmal auf reine, nur Ableitungen nach x und y enthaltende Differentialgleichungen zurückführen, für die dann z. B. im Sinne des Rifzschen Verfahrens eine Näherungslösung aufzufinden wäre.Abschließend sei noch bemerkt, daß mit der gelungenen Darstellung des Zusammenhanges zwischen den (i. a. zeitabhängigen) Schnittlasten und den Plattenverzerrungen nunmehr auch im Rahmen der Loveschen Näherung der Schalenverbund allgemein untersucht werden kann. Durch geeignete Einführung der Vorspannstahlquerschnitte in die ideellen Gesamtquerschnittswerte kann man auch das Problem der vorgespannten Flächentragwerke erfassen.     

A theoretical study on fiber spinnability

Summary A theoretical investigation on fiber spinnability is undertaken, by formulating the force balance equation for a steady liquid thread under axial tension. In order to investigate the effect of the elastic properties of a spin dope, a simple model of a three-constantOldroyd fluid is chosen to solve the force balance equation. In the present study the effect of a hardening process (coagulation in wet spinning and cooling in melt spinning) is not considered, which confines our investigation to a very short distance from the face of the spinnerette. However, the approach taken in the present investigation is justifiable because in practice the breakdown of a thread in fiber spinning is believed to occur at a very short distance from the spinnerette. Prom the solution of the force balance equation a relation between the pullaway tension and jet stretch is obtained, with the elasticity of the spin dope as parameter. A criterion for spinnability is introduced in terms of the critical tensile stress which is the characteristic of a given spin dope. Some of the results are presented and discussed.

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Zusammenfassung Durch Formulierung einer Gleichung für das Kräftegleichgewicht einer stationären Flüssigkeit unter axialer Spannung wird die Spinnfähigkeit von Fasern theoretisch untersucht. Um den Einfluß der elastischen Eigenschaften auf eine Spinnflüssigkeit zu bestimmen, wird ein einfaches Modell einer dreikonstantigen Oldroyd-Flüssigkeit zur Lösung der Gleichung benutzt. In der vorliegenden Arbeit wird der Einfluß des Erstarrungsprozesses (Koagulation beim Naßspinnen und Abkühlung beim Schmelzspinnen) nicht betrachtet, so daß sich die Untersuchungen auf einen kurzen Bereich nach Austritt aus der Spinndüse beschränken. Dennoch erscheint die bei diesen Untersuchungen vorgenommene Näherung gerechtfertigt, weil man in der Praxis annimmt, daß ein Fadenbruch beim Spinnen in einem kurzen Abstand von der Spinndüse auftritt. Aus der Lösung dieser Gleichung wird eine Beziehung zwischen der Abzugsspannung und Strahldehnung abgeleitet mit der Elastizität der Spinnflüssigkeit als Parameter. Ein Kriterium für die Spinnbarkeit wird in Abhängigkeit von der kritischen Dehnspannung, die charakteristisch ist für eine gegebene Spinnflüssigkeit, eingeführt. Einige Ergebnisse werden mitgeteilt und diskutiert.

     

Die Temperaturkontrolle bei Hochdruckviskosimetern

Zusammenfassung Es wird eine Temperaturmeß-Vorrichtung beschrieben, mit der die Erwärmung der Meßflüssigkeit im Hochdruck-Strukturviskosimeter gemessen werden kann, und zwar getrennt als Erwärmung durch die adiabatisohe Kompression des Druckgases und durch die viskose Reibung in der Kapillare. An Hand von Messungen an Flüssigkeiten und Lösungen wird gezeigt, daß bei hohen Schubspannungen Erwärmungseffekte auftreten und berücksichtigt werden müssen.Nach einem Vortrag auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 10./11. 4. 1961 in Bad Oeynhausen.     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

Eindimensionale stationäre Gleichdruekströmung in bewegten Systemen

Zusammenfassung Ausgehend von der Eulerschen Gleichung für die eindimensionale, stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit, für die der auf die Flächeneinheit bezogene Flüssigkeitsdruck überall konstant angenommen wird, werden Strömungen in bewegten Systemen untersucht. Das System war einer gleichförmigen Translation bzw. einer gleichförmigen Drehung unterworfen. Der Zuwachs des Quadrates der Absolutgeschwindigkeit wurde speziell als linear abhängig von einer Längenkoordinate gefordert. Die sich ergebenden partiellen Differentialgleichungen wurden teils rechnerisch, teils graphisch integriert. Es konnten dann sowohl die Absolutbahn als auch die Relativbahn der Bewegung bestimmt werden.Über den Zusammenhang der gefundenen Ergebnisse mit einer von Trefftz gegebenen Formel, die in einer Patentschrift des Reichspatentamtes veröffentlicht ist, und über darüber hinausgehende Anwendungen im Strömungsmaschinenbau soll später berichtet werden.Diese Arbeit wurde vom Verfasser auf Anregung von F. Schicht (Außig) im Zusammenhang mit Berechnungen der Gleichdruckgebläse durchgeführt. Sie war schon am 19. Mai 1944 erstmals bei der Schriftleitung eingegangen und für das (nicht mehr erschienene) zweite Heft des Bandes XV des Ingenieur-Archivs bestimmt gewesen.     

Heterogene Widerstandsverminderung bei turbulenten Rohrströmungen

Zusammenfassung Es wird über Experimente berichtet, bei denen eine viskoelastische Flüssigkeit in die Achse einer ausgebildeten turbulenten Rohrströmung eines newtonschen Fluids injiziert wurde. Bei der Injektion von höher konzentrierter Polymerlösung tritt eine deutliche Widerstandsverminderung auch dann auf, wenn die Lösung als elastischer Faden im Kernbereich mitgeführt wird, d. h. das Polymer noch nicht merklich in die wandnahe Schicht hineindiffundiert ist.Es werden Ergebnisse über die Veränderung des Druckabfalls längs des Rohres in Abhängigkeit von der Gesamtkonzentration des Polymers im Rohr, der Konzentration im injizierten Faden und der Reynoldszahl mitgeteilt und diskutiert. Weiterhin werden die Profile der Hauptströmung, der Turbulenzintensitäten in radialer und axialer Richtung sowie der Reynoldsschen Schubspannungen bei solchen Injektionsexperimenten bestimmt und mit denjenigen des reinen Lösungsmittels sowie einer homogenen Polymerlösung von gleicher, über den Rohrquerschnitt gemittelter Polymerkonzentration verglichen.Der Verlauf des dimensionslosen Geschwindigkeitsprofils und der Reynoldschen Schubspannungen zeigt, daß der Übergangsbereich zwischen viskoser Unterschicht und turbulentem Kern bei der Injektion wesentlich anders strukturiert ist als beim Vorliegen von homogener Widerstandsverminderung. Er ist sowohl im Vergleich zu einer newtonschen Flüssigkeit als auch zu einer homogenen Polymerlösung deutlich vergrößert, und es findet in ihm eine drastische Reduzierung der Reynoldsschen Schubspannungen statt. Die beobachtete Struktur der turbulenten Strömung deutet in Verbindung mit den gemessenen viskoelastischen Eigenschaften der injizierten Polymerlösung darauf hin, daß die großen Turbulenzelemente durch den Polymerfaden in ihrer Bewegung behindert werden. Infolgedessen übertragen sie weniger Energie auf die die Dissipation bewirkenden kleinen Wirbel, wodurch sich eine Widerstandsverminderung ergibt.

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Experiments in which a viscoelastic fluid is injected along the axis of a fully developed pipe flow of a Newtonian fluid are described. For relatively high polymer concentrations the injected polymer solution forms a thread, which remains intact down the entire length of the pipe. Under these conditions remarkable drag reduction is also observed, although the polymer has not diffused noticeably into the layers near the wall.The dependence of the local drag reduction along the pipe on the total polymer concentration in the pipe, the concentration of the injected polymer solution and the Reynolds number was investigated. Furthermore, velocity profiles, turbulence intensities and Reynolds shear stresses were measured and compared with those for the solvent and a premixed homogeneous polymer solution with the same effective concentration.The shape of the velocity profiles and the Reynolds shear stresses demonstrate that the structure of turbulence in the transition or buffer layer between the viscous sublayer and the turbulent core is markedly different in the injection experiments from that in a premixed homogeneous polymer solution. The size of this region is significantly larger than in a Newtonian fluid or a homogeneous polymer solution and the Reynolds shear stresses are drastically reduced. From details of the structure of the turbulence and the rheological properties of the injected polymer solution it may be concluded that the large-scale structures in the pipe are influenced by the polymer thread. It seems that their motion is restricted leading to a reduced transport of energy to the dissipating small eddies and thus to the occurrence of drag reduction.

Von der Abteilung Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigten Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 11. – 13. Mai 1981 und der Ersten Europäischen Rheologen-Konferenz in Graz vom 14.–16. April 1982.     

Analysis of the behavior of a bubble in a viscous incompressible liquid by finite element method

Summary The finite element method is used for the analysis of the behavior of a nonspherical bubble in a viscous incompressible liquid under axial conditions. The finite element approximations of the Navier Stokes equations are formulated by taking velocity and pressure as unknown variables. The flow field is discretized by triangular elements, and the bubble surface is represented by isoparametric elements with curved sides. This numerical technique is applied to the simulation of an initially spherical vapor bubble collapsing near a plane solid wall. It is made clear that a jet formed on the bubble is decelerated by the effect of liquid viscosity.

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Übersicht Mit dem Verfahren der Finiten Elemente wird das Verhalten einer nichtkugelförmigen Blase in einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit bei rotationssymmetrischen Bedingungen untersucht. Die Navier-Stokesschen Gleichungen werden mit der Methode der Finiten Elemente näherungsweise gelöst. Das Strömungsfeld um die Blase wird in kleine dreieckige Elemente zerlegt, wobei die Oberfläche der Blase durch isoparametrische Elemente mit gekrümmten Seiten ersetzt wird. Die numerischen Rechnungen werden für den Zusammenbruch einer Blase, die anfangs kugelförmig war, in der Nähe einer ebenen festen Wand durchgeführt. Das Ergebnis zeigt, daß sich die Geschwindigkeit des in der Blase entstehenden Flüssigkeitsstrahls wegen des Einflusses der Zähigkeit vermindert.

     

Zur Festigkeit von umlaufenden und quer zur Drehebene belasteten Stäben,die gelenkig an die Drehachse angeschlossen sind

Zusammenfassung Der gelenkige Anschluß von Drehflügelholmen an der Flügelwurzel erlaubt die Verwendung von so dünnen Holmen, daß die Flügel im Fluge mehr Seilen als biegesteifen Stäben gleichen. Trotzdem ist in den Holmen die restliche Biegespannung für die Festigkeit maßgebend. Es wird ein Verfahren entwickelt, welches gestattet, eine gegebene Biegemomentenverteilung durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor bestmöglich der tatsächlichen Biegemomentenverteilung anzupassen. Die Anwendung des Verfahrens auf die Biegemomentenverteilung eines starren Holmes als Ausgangsverteilung liefert eine gute Näherung und gestattet bei gegebener Massen- und Biegesteifigkeitsverteilung die Angabe der Näherungslösung in geschlossener Form [Gleichung (25) bei konstanter Massenverteilung und Steifigkeit]. Die Durchrechnung eines Beispiels zeigt deutlich die eigenartigen hier auftretenden Verhältnisse insofern, als es sich innerhalb weiter Grenzen als unmöglich herausstellt, die im Fluge auftretende Biegespannung im Holm einerseits durch Verstärken der Wanddicken oder durch Vergrößerung des Holmdurchmessers herabzusetzen, während andererseits einer im Fluge sich günstig auswirkenden Verringerung des Holmdurchmessers infolge der Biegespannungen durch das Eigengewicht im Stand Grenzen gesetzt sind. Die Betrachtung der dynamischen Verhältnisse am gleichen Beispiel zeigt, daß erhebliche dynamische Beanspruchungen infolge der Erregung der ersten Eigenschwingung des Holmes durch periodisch veränderliche Luftkräfte auftreten. Eine Ähnlichkeitsbetrachtung an Hand der entwickelten Theorie lehrt, daß die Grenzen für die Vergrößerung von Drehflügelflugzeugen, wenn nur die Beanspruchungen im Fluge in Rechnung gestellt werden, die gleichen sind wie für Starrflügler, daß jedoch die Berücksichtigung der Biegespannungen aus dem Eigengewicht der Flügel im Stand engere Grenzen für die Vergrößerung der Flugzeuge bedingt als bei dem Starrflügler.     

Rheological properties of suspensions of spheres in non-Newtonian media

Summary The results of an experimental investigation of the rheologioal properties of dilute suspensions of rigid spheres 100m in diameter in non-Newtonian pseudoplastic liquids are reported. The shear flow properties of suspensions in a solution of polyisobutylene in tetralin, in aqueous solutions of polyacrylamide and sodium carboxymethylcellulose and in a Newtonian fluid have been investigated at solid concentrations up to 10% by volume. A concentric cylinder viscometer was used, results being corrected for end effects and variations in shear rate across the gap. Results for the Newtonian fluid were not inconsistent with published data. It was found that, within the range of variables investigated, for each of the non-Newtonian fluids the relative fluidity, comparing the suspension and the suspending fluid at the same shear stress, was a function of concentration only whereas the relative fluidity comparing the suspension and the fluid at the same shear rate depended on both concentration and shear rate. The fractional decrease in fluidity produced by a given concentration of spheres in polyisobutylene solution was about double that produced by the same concentration in any of the other fluids.In what are believed to be the first reported measurements of normal stress in suspensions, the first normal stress difference (p ₁₁-p ₂₂ for the fluids was derived from the normal force exerted on the cone of a Rheogoniometer during steady rotation. Over ranges of concentration and shear rate limited by experimental difficulties the ratio of shear rate to normal stress for the suspension divided by the corresponding quantity for the base solution appeared to be a function of concentration only when the liquids were compared at the same normal stress but not when compared at the same shear rate. However, this conclusion was less certain than the corresponding result for relative fluidity.

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Zusammenfassung Die Ergebnisse der experimentellen Untersuchung der rheologischen Eigenschaften verdünnter Suspensionen von harten Kugeln mit einem Durchmesser von 100m in nicht-Newtonschen pseudoplastischen Flüssigkeiten werden mitgeteilt. Die Scherströmungseigenschaften der Suspensionen in einer Lösung von Polyisobutylen in Tetralin, in wäßrigen Lösungen von Polyacrylamid und Natriumcarboxymethylcellulose und in einer Newtonschen Flüssigkeit sind bei Festkörperkonzentrationen bis zu 10 Vol% untersucht worden. Es wurde ein konzentrisches Zylinderviskosimeter benutzt. Die Ergebnisse wurden in bezug auf Endeffekte und Schwankungen des Schergefälles über den Spalt korrigiert. Die Ergebnisse für die Newtonsche Flüssigkeit widersprechen veröffentlichten Daten nicht. Es ergab sich, daß innerhalb des Bereichs der untersuchten Variablen bei jeder der nicht-Newtonschen Flüssigkeiten die relative Viskosität bei einem Vergleich der Suspensionen mit der Grundflüssigkeit bei der gleichen Schubspannung nur konzentrationsabhängig war, während die relative Viskosität bei einem Vergleich der Suspension mit der Flüssigkeit bei dem gleichen Schergefälle sowohl von der Konzentration als auch vom Schergefälle abhing. Die teilweise Abnahme der Viskosität, die durch eine bestimmte Kugelkonzentration in einer Polyisobutylen-Lösung hervorgerufen wird, war ungefähr doppelt so hoch wie die, die sich bei gleicher Konzentration in allen anderen Flüssigkeiten einstellte. Bei den, wie wir glauben, erstmals veröffentlichten Messungen von Normalspannungen in Suspensionen, wurde die erste Normalspannungsdifferenz (P ₁₁-P ₁₂) für die Flüssigkeiten aus der Normalkraft abgeleitet, die auf dem Kegel eines Rheometers während einer konstanten Rotation ausgeübt wird. Über die durch experimentelle Schwierigkeiten begrenzten Bereiche von Konzentration und Schergefälle war das Verhältnis von Schergefälle zu Normalspannung der Suspension, geteilt durch die entsprechende Größe für die Grundlösung eine Funktion der Konzentration, nur wenn die Flüssigkeiten bei der gleichen Normalspannung verglichen wurden. Sie waren es nicht, wenn sie bei gleichem Schergefälle gegenübergestellt wurden. Diese Schlußfolgerung war weniger zuverlässig als das entsprechende Ergebnis für die relative Viskosität.

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Paper presented at the British Society of Rheology Conference on Advances in Rheology, Glasgow, September 16–18, 1969.     

Die rheologische Zustandsgleichung

Zusammenfassung In der Einleitung wird die rheologische Zustandsgleichung — d. h. die stoff-spezifische Beziehung zwischen den nicht-starren Bewegungen eines Körpers und den damit in kausalem Zusammenhang stehenden Kräften — als der zentrale Gegenstand der Rheologie bestimmt und anschließend die Rheologie in zwei Hauptgebiete — phänomenologische und statistische Rheologie — aufgegliedert.Der erste Teil behandelt die phänomenologische Theorie (Makro-Rheologie) und umreißt nach einer kurzen kritischen Behandlung der linearen Theorien die allgemeine nicht-lineare Theorie der rheologischen Körper. Nacheinander werden die Konsequenzen des Grundpostulats der Dimensionsanalysis, der Forderung der Invarianz der kinematischen Größen gegen starre Bewegungen und der Isotropiebedingung analysiert und die Ergebnisse am Beispiel der Theorie des isotropen elastischen Körpers, der Theorie der strukturviskosen Flüssigkeit und insbesondere der quasi-stationären Theorie der allgemeinen Flüssigkeit erläutert. Dabei werden zum Schluß auch einige Kriterien für verschiedene viskosimetrische Quereffekte abgeleitet.Im zweiten Teil wird der Abriß einer allgemeinen statistischen Theorie (Mikro-Rheologie) verdünnter Lösungen, Suspensionen und Emulsiopen gegeben. Die hierin enthaltenen hydrodynamischen und statischen Probleme werden analysiert und es wird ein Störungsverfahren zur Lösung des letzteren angegeben, welches zugleich eine Relaxationstheorie enthält. Diese Theorie wird anschließend am Beispiel einer Suspension elastischer Hanteln im einzelnen durchgeführt, wobei die drei Spezialfälle: starre, hart-elastische und weichelastische Hanteln sowohl bezüglich ihres quasi-stationären als auch ihres Relaxationsverhaltens eingehend diskutiert werden. Es ergeben sich dabei bemerkenswerte Unterschiede, welche über das spezielle Modell hinaus für eine zumindest qualitative Kennzeichnung der Suspensionen von Teilchen mit nur permanenter, nur induzierter und schließlich mit sowohl permanenter als auch induzierter Formanisotropie von Bedeutung sind.Vorgetragen auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. und der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. in Berlin am 24. 10. 1956.     

Über den ebenen Fließzustand zäher und zähplastischer Stoffe mit druckabhängiger Zähigkeit

Zusammenfassung Die bei viskosen und viskoplastischen Stoffen beobachtete Druckabhängigkeit der Zähigkeit kann in die Stoffgesetze dadurch aufgenommen werden, daß der die Zähigkeit der Stoffe beschreibende Stoffparameter als vom örtlich herrschenden mittleren Normaldruck abhängig angenommen wird.An Strömungsfällen, die einen ebenen Fließzustand ermöglichen, werden die Auswirkungen untersucht, die die Einführung eines druckabhängigen Zähigkeitsparameters in die Stoffgesetze derNewtonschen und derBinghamschen Flüssigkeit besitzt. Die erweiterten Stoffgesetze führen auf Differentialgleichungssysteme, aus denen durch Reihenansätze bei geringer Abhängigkeit der Zähigkeit vom Druck lösbare Rekursionssysteme linearer, partieller Differentialgleichungen gewonnen werden können.Mit den so gewonnenen Gleichungssystemen werden zwei Beispiele, nämlich die Strömung der zähen Flüssigkeit mit druckabhängiger Zähigkeit infolge eines Druckgefälles zwischen parallelen Platten und die überlagerte Scher- und Druckströmung einer zähplastischen Flüssigkeit mit druckabhängiger Zähigkeit zwischen parallelen Platten untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.     

Heat transfer from a stretching sheet in hydromagnetic flow

An exact solution has been found out for the conjugate problem of cooling of a stretching sheet in an electrically conducting fluid in presence of an imposed magnetic field. Temperature distributions in the sheet as well as in the ambient medium have been obtained and the explicit convergence criterion for the solutions has been established.

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Wärmeübergang an einer gedehnten Membran bei hydromagnetischer Strömung

Zusammenfassung Für das Problem der Abkühlung einer gedehnten Membran in einer elektrisch leitenden Flüssigkeit in Gegenwart eines angelegten magnetischen Feldes wurde eine exakte Lösung gefunden. Die Temperaturverteilung wurde sowohl in der Membran als auch im umgebenden Medium erfaßt und ein eindeutiges Konvergenzkriterium für die Lösung festgelegt.

     

The viscosity of a polar fluid with suspensions

Summary The apparent viscosity of a polar fluid with suspensions of rigid spherical particles undergoing a prescribed bulk motion is calculated. It is shown that the increased rate of dissipation in a polar fluid with suspensions is greater than that of a Newtonian fluid. It is found that the relationship between the viscosity and the concentration has a same form with that of a Newtonian fluid suspension of which ambient fluid has a shear viscosity multiplied by a factor which is greater than unity.

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Zusammenfassung Die scheinbare Viskosität einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten steifen, kugelförmigen Teilchen, die eine vorgeschriebene Bewegung ausführen, wird berechnet. Es wird gezeigt, daß die anwachsende Dissipationsgeschwindigkeit in einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen größer ist als die einerNewtonschen Flüssigkeit. Es zeigt sich, daß die Beziehung zwischen der Viskosität und der Konzentration die gleiche Form hat wie die einerNewtonschen Flüssigkeitssuspension, bei der die umgebende Flüssigkeit eine Scherviskosität besitzt, multipliziert mit einem Faktor größer als 1.