线性分式函数的迭代

函数的迭代在中学数学竞赛中经常出现 ,其迭代公式与应用也有不少文章论及 ,但多半是对某些整式或特殊的分式函数进行迭代 ,而一般的分式函数的迭代公式还鲜有谈到 .本文将从多项式理论的角度出发分析得出线性分式函数的ｎ次迭代公式 ,并通过实例说明其结论简捷实用 .定义　设函数ｙ =ｆ(ｘ) ,记ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆ…ｆｎ个ｆ(ｘ)… ) (ｎ∈Ｎ) ,则称ｆｎ(ｘ)为函数ｆ(ｘ)的ｎ次迭代 ,显然 ,ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆｎ- 1 (ｘ) ) .定理　若ｆ(ｘ) =ａｘ+ｂｃｘ+ｄ,ｆ1 (ｘ) =ｆ(ｘ) ,ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆｎ- 1 (ｘ) ) ,(ｎ≥ 2 ) ,ａ、ｂ、ｃ、ｄ是保证ｆｎ…     

对一个不等式猜想的讨论

设ａ >0 ,令Ｓｎ(ａ) =ａ ａ … ａ(ｎ个根号 ) ,(1 )ｆｎ(ａ) =ａ-Ｓｎ 1 (ａ)ａ -Ｓｎ(ａ) ,ａ≠Ｓｎ(ａ) ,(2 )其中ｎ∈Ｎ ={1 ,2 ,… }.当ａ=2时 ,文〔1〕上有如下不等式 :14<ｆｎ(ａ) <π22 7,ｎ∈Ｎ . (3)同时 ,当ａ>1时 ,文〔1〕还提出 (即文〔1〕的第 88个未解决的问题 )ｆｎ(ａ) (ｎ ∈Ｎ)的最优上、下界是多少 ?并猜想 :ｆｎ(ａ) >1ａ2 ,ｎ∈Ｎ (4)本文讨论这个猜想 .显然 ,当ａ >0时 ,{Ｓｎ(ａ) }严格递增 ,又由数学归纳法可得 ,对任何ｎ ∈Ｎ ,有 ａ≤Ｓｎ(ａ) <ａ 1 ,所以数列为有界数列 .注意到 Ｓｎ 1 (ａ) 2=ａ Ｓｎ(ａ…     

四 排列 组合 数学归纳法 数列与极限

1 甲、乙、丙、丁四人组成4×100米接力队参加比赛,若甲不跑第一捧,乙不跑第二捧,丙不跑第三捧,丁不跑第四捧,有多少种不同的搭配方式? 2 从1到2000的自然数中,各个数位上都不含有数字8的有多少个? 3 有9张卡片,分别写着1～9九个不同的正整数,每次取出两张卡片,试问两卡片上数字的和为偶数与和为奇数的哪类情形多? 4     

漫画趣题

第一题 甲、乙、丙3人都拿着暖水瓶去打水。甲拿1个水瓶,乙拿2个水瓶,丙拿3个水瓶。现在只有】个水龙头,请问怎样安排他们的打水顺序,3个人所花的总时间(包括等待的时间)最少?漫画趣题参考答案 第一题 按甲、乙、丙的顺序打水,所用的总时间最少. 这里有一个打水时间和等待时间.不管怎样安排3人打水的总时间是不变的;但是等待时间随顺序不同而不同,而按甲、乙、丙的顺序,等待的总时间最短. 第二题 最大数和最大偶数是101001()()010000; 最大奇数是01001000100001; 最小数和最小奇数是00()0■0001 0010l; 最小偶数是00010001001010. 第三题 30…     

一道关于传球问题的解法探究

最近的一次高三数学综合测试卷中 ,有这样一道选择题 :三人互相传球 ,由甲开始发球 ,并作为第一次传球 ,经过 5次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有 (　　 ) .　 (A) 6种　 (B) 8种　 (C) 10种　 (D) 16种该题叙述通俗易懂 ,源自生活 ,背景公道 ,能够反映学生应用数学知识和方法解决实际问题的能力 ,是一道好题 .本文从 4个不同角度探究其解法 .解法 1　画树枝图法约定 :在图 1中用“甲→乙”,表示“甲”把球传给“乙”;“甲→乙→丙”,表示“甲”把球传给“乙”后又传给“丙”,等等 .图 1从图 1中可以清晰地发现 ,球由“甲”…     

排座问题中的杨辉三角

1　问题甲乙丙丁戊己庚七个人坐到 1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7七个座位上 ,问 :①共有几种坐法 ?②“甲不坐 1”有几种坐法 ?③“甲不坐 1,乙不坐 2”有几种坐法 ?④“甲不坐 1,乙不坐 2 ,丙不坐 3”有几种坐法 ?⑤“甲不坐 1,乙不坐 2 ,丙不坐 3,丁不坐 4”有几种坐法 ?解　①共有坐法Ａ77;②“甲坐 1”有Ａ6 6 种坐法 ,故“甲不坐 1”有坐法 :Ａ77-Ａ6 6 ;③“甲不坐 1,乙坐 2”有Ａ6 6 -Ａ55种 ,“甲坐 1,乙不坐 2”有Ａ6 6 -Ａ55种 ,“甲坐 1,乙坐 2”有Ａ55种 .故本问坐法有Ａ77- 2 (Ａ6 6 -Ａ55) -Ａ55=Ａ77-2Ａ6 6 +Ａ55;④先考虑“甲不坐 1,…     

漫画趣题

~~漫画趣题答案第一题甲需要 2 2天 ,乙需要 2 1天 ,丙需要 18天 .设丙完成一项工程需要ｘ天 ,则甲需要ｘ +4天 ,乙需要ｘ +3天 .乙比丙早开工 6天 ,乙不是最后完工的 .甲比丙早开工 3天 ,但甲比丙多用 4天 ,所以甲是最后完工的 .这样 ,甲需要的天数加上乙比甲早开工的 3天 ,共计 2 5天 ,即 (ｘ +4 ) +3=2 5,ｘ =18. 第二题一样多 .第三题最大的数为 9876 52 4 130 ,最小的数为10 2 4 37586 9.令ａ =奇数位数字之和 ,ｂ =偶数位数字之和 ,所以ａ+ｂ =4 5,且 11可以整除ａ -ｂ(或ｂ -ａ) .ａ-ｂ(或ｂ-ａ) =0 ,11,2 2 ,33,因为ａ +ｂ=4 5且ａ…     

1999年小学数学奥林匹克决赛卷

(本卷时间90分钟,总分140分,每小题10分)1.计算:45.9÷1.7÷0.27×0.7= 个7),则这三个数从大到小的顺序是2.若435×口÷35=870,则口=3.计算(答数用分数表示):(未 0.7)×3吾 10.01÷男一一’ 4.用10元钱买4角、8角、1元的画片共15张,那么最多可以买l元的画片——～张. 5.甲、乙、丙、丁四人平均每人植树30多棵,甲植树棵数是乙的号,乙植树棵数是丙的l丢,丁比甲还多植3裸,那么丙植树——棵. 6.一项工作,甲、乙两人合做8天完成,乙、丙两人合做9天完成,丙、甲两人合做18天完成,那么由丙一个人来做,完成这项工作需要一——天. 7.如右图,一个矩形被…     

数学娱乐圈

数学故事二则　　剧　　票某厂工会搞来 2 0张剧票 ,该厂有三个车间甲、乙、丙 ,各有人数 :10 3 ,63和 34 .工会依人数比例欲将票发至各车间 ,计算结果如表 1.表 1　剧票分配表车间人数车间人数占全厂人数比例剧票分配比例甲 1 0 3 5 1 .5 % 1 0 .3乙 6 3 3 1 .5 % 6 .3丙 3 41 7.0 % 3 .4　　按常规甲、乙、丙三车间各分得剧票 10 ,6和 4张 (它们方案的尾数中丙车间最大 ,按整数分配后的剩余一张理当给该车间 ) .当听说工会委员又淘来一张剧票时 ,人们只好重新计算 ,结果如表 2 .表 2　剧票分配表车间人数车间人数占全厂人数比例剧票分配比…     

辩证思维解题策略举要

数学中充满了辩证法 ,解决数学问题常常需要运用辩证思维 ,本文介绍几种常见的辩证思维解题策略 .1　一般与特殊一般性寓于特殊性之中 ,在解决数学问题时 ,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略 .1 1　一般问题特殊化当我们在解决一般问题遇到困难时 ,如果先考虑其特殊情形常常能发现一般规律 ,从而使问题顺利解决 .例 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｘ1 -ｘ2 ,并定义ｆｎ(ｘ)=ｆ(ｆ(…ｆｎ个(ｘ) ) ) ,其中ｎ为自然数 ,求ｆｎ(ｘ) .分析 :此题用直接代入的方法简直无从下手 .如果我们先考虑几个特殊情形 ,如ｆ1 (ｘ)、ｆ2 (ｘ)、ｆ3(…     

一类传球问题的推广及解法公式

问题甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习,第一次甲先传给其他三人中一人,第二次拿球者再传给其他三人中一人.这样共传了4次,则第四次球仍传回到甲的传法共有多少种?分析甲→□→□→□→甲.分两类,第一类中间一空是甲,共有3×3=9种传法.第二类中间一空不是甲,则有3×2×2=12种传     

巧用常数特征解题五法

问题三个人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式有多少种?一般同学解这个问题多用列举法,即把可能出现的传球方式一一列举出来.解若第一次传给乙,传球方式可能出现的情况如下图:甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲丙甲乙甲     

对一道高中数学题的研究

题目甲、乙、丙三人传球,第一次球从甲传出,到第六次球又回到甲手中的传球方式有种.思路1画出树状图,即可得到答案,有22种,图略.图1图2思路2如图1和图2所示,甲、乙、丙三人传球,可以发现,当且仅当在六次传球中,按顺时针方向的传递次数与按逆时针方向的传递次数之差     

筛选解法 多练通法

一个与一次不定方程组相关联的函数值, 你会求吗?例如[1]中问题．有甲、乙、丙三种货物,若购甲货4件, 乙货8件,丙货2件,共需180元,若购甲货 8件,乙货20件,丙货2件,则需220元．今购甲、乙、丙各2003件共需多少元?     

排列组合应用题中的分配分组问题导析

排列组合应用题中的分配分组问题 ,是一类抽象难懂 ,极富思考性和挑战性的重点和热点题型 .由于同学们对其中蕴涵的乘法和除法算理理解不透 ,加之这类问题灵活多变、综合性强 ,以致同学们解题时困惑多多 ,经常出错 .本文结合典型例题从四个方面进行分析 ,旨在探索题型规律 ,总结解题方法 .1　弄懂算理 ,解有依据例 1　有 6本不同的书分给甲、乙、丙三名同学 ,按下列条件 ,各有多少种不同的分法 ?(1 )每人各得 2本 ;(2 )甲得 1本 ,乙得 2本 ,丙得 3本 ;(3 )一人 1本 ,1人 2本 ,一人 3本 ;(4 )甲得 4本 ,乙得 1本 ,丙得 1本 ;(5 )一人 4本 ,另…     

解无理方程的一种方法

定理　设 0≤ｆｉ≤ｇｉ(ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｆ1 ｇ22 - ｆ22 ｆ2 ｇ23 - ｆ23 … ｆｎ ｇ21 - ｆ21 =12 ∑ｎｉ=1ｇ2 ｉ ( 1) ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 ｎ ｆ21 =ｇ21( 2 )证　由不等式ＡＢ≤ Ａ2 Ｂ22 得ｆ1 ｇ22 -ｆ22 ｆ2 ｇ23 -ｆ23 … ｆｎ ｇ21 -ｆ21≤ 12 {[ｆ21 ( ｇ22 - ｆ22 ) ] [ｆ22 ( ｇ23 - ｆ23) ] … [ｆ2 ｎ (ｇ21 -ｆ21 ) ] =12 ∑ｎｉ =1ｇ2 ｉ,当且仅当ｆ21 =ｇ22 - ｆ22 ,ｆ22 =ｇ23 -ｆ23 ,…　…　…ｆ2 ｎ=ｇ21 - ｆ21 ,　即ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 …     

集合基数公式在中学数学中的应用

高中数学试验教材第一册在第一章第一小节集合结束后增添了阅读材料 ,集合元素的个数 ,书中指出 ,一般地 ,对任意两个有限集Ａ ,Ｂ ,有Ｃａｒｄ(Ａ∪Ｂ) =Ｃａｒｄ(Ａ) Ｃａｒｄ(Ｂ) -Ｃａｒｄ(Ａ∩Ｂ) ,实际上 ,这是关于两个集合的基数公式 ,也是大家熟知的容斥原理 ,更一般地 ,设有限集Ｉ的ｍ个子集为Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｍ,为简便起见 ,用ｎ(Ａ)表示有限集Ａ的元素的个数 ,则有基数公式 ;ｎ( ∪ｍｉ=1Ａｉ) =∑ｎ(Ａｉ) - ∑ｎ(Ａｉ∩Ａｊ) ∑ｎ(Ａｉ ∩Ａｊ ∩Ａｋ) -…… ( - 1 ) ｍ 1 ｎ( ∩ｍｉ=1Ａｉ)　　 书上指出 ,上面的式子对…     

一種等分問题的求解公式

Ⅰ.問题的提出問題:甲乙丙三人共有384元、先由甲分給乙內,所給之數如乙丙所有之數,繼由乙分給甲丙,末由內分給甲乙,給法同前。結果,三人所有之錢數恰巧相等,問各人原有錢多少? 首先用算術及代數兩種方法來解答。 (一) 算術法: 先列出最後的結果(即丙給甲乙後)為每人384元+3=128元,再倒退計算至各人原有為止。結果,甲原有208元,乙原有112元,丙原有64元,列得算式如下:甲原有:384÷3÷2÷2+(384-384÷3÷2÷2)÷2=208(元);乙原有:[384÷3÷2+(384-384÷3÷2)÷2]÷2=112(元);丙原有:384-208-112=64(元)。     

初中数学竞赛求值题常用的解法（续）

十二、从整体考虑直奔终点法在解题过程,往往有些步骤和环节并不是非有不可的,这些可称为“作必求成份”.解題时若能眼观全局,明确目的,从整体考虑,直奔终点.巧妙地避开“非必求成份”,就能省时省力,获得巧解. 例12.有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件共需315元.若购甲4件,乙10件.丙1件共需420元.现购甲、乙、丙各一件共需多少元?(85年全国初中数学联赛题)     

Whc168解的下界的再加强

Ｗｈｃ1 6 8 :一堆书放入ｎ个抽屉 (允许有空抽屉 ) ,为了使任意两个抽屉里书的数目之差不同 ,问至少要有多少本书 ?文 [1 ]给出ｎ(ｎ≥ 3)个抽屉里书的总数Ｓｎ 的一个下界 :　　Ｓｎ≥ ｎ3 -ｎ6 ( 1 )文 [2 ],[3]对Ｓｎ 的下界做了改进 ,文[4],[5]进一步证明了如下结果 :Ｓｎ ≥ ｋｎ(ｎ + 1 ) ( 2ｎ + 1 )6 (ｋ + 1 ) -(ｋ2 +ｋ - 1 )ｎ(ｎ + 1 )2 (ｋ + 1 ) ( 2 )Ｓｎ≥ｋｎ(ｎ + 1 ) ( 2ｎ + 1 )6 (ｋ + 1 ) - ｋｎ(ｎ + 1 )2 +ｎ +ｋ - 1 - ｋｋ + 1 ( 3)其中ｎ ,ｋ∈Ｎ ,1 <ｋ <ｎ .取ｋ =2 ,( 2 ) ,( 3)式分别化为 :　　Ｓｎ ≥ ｎ(…