非欧几何的发现

欧氏几何包括我们高中生学过的平面几何和立体几何 ,但欧氏几何并不是唯一能正确反映物质空间的几何学 .为了开阔同学们的视野、了解几何空间的多样性 ,这里介绍另一种几何———非欧几何 .欧几里得的《几何原本》是欧氏几何的经典著作 .许多人认为《几何原本》中的第五公设 (它等价于过直线外一点 ,只能作一条直线与已知直线平行 )是可以用其它的公理、公设证明出来的一个定理 .从欧几里得时代起 ,直到十九世纪初 ,都没有找到正确的证明 .俄罗斯数学教授罗巴切夫斯基在青年时代也曾企图找到“第五公设”的证明 ,但很快地他就发现是不能证明…     

平行公理与非欧几何

中学所学的平面几何源于欧几里得《几何原本》 ,而欧氏几何的基础有五个公设和五大公理 .其中的第五公设说“若一直线与两直线相交 ,且若同侧所交两内角之和小于两直角 ,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点 .”现在几何书上的平行线公理就是由此而来 .从公元前 3 0 0年直到 180 0年间 ,人们虽始终坚信 ,欧氏几何是物理空间的正确理想化 ,但是在那样长的几乎整个时期之内 ,数学家却始终对一件事耿耿于怀 ,那正是这个第五公设的证明 .它使许多著名的数学家付出了毕生的心血 ,有的一无所获 ,有的却有新的发现 .其中值得一提的有四位数学家 ,…     

反证中延伸出的数学学科——非欧几何

<正>平行公设也称为欧几里得第五公设,因是《几何原本》五条公设中的第五条公设而得名。它说的是:如果一直线和两直线相交,且所构成的两个同侧内角之和小于两直角,那么,把这两直线延长,它们一定在那两内角的一侧相交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性,而是认为它无论在语句的长度,还是在内容上都不大像是个公设,而倒像是个可以证明的定理,只是由于欧几里得没能找到它的证明,才不得不把它放在公设之列。     

“几何学上的哥白尼”——罗巴切夫斯基

<正>一、试证第五公设与罗氏几何的创立欧几里得的《几何原本》问世以后,人们发现,欧氏第5公设叙述冗长,不像其他公设那么简明,很像是一个定理.于是数学家们想证明第5公设,希望从欧氏的其他公设和公理出发,推导出第5公设来.《几何原本》的第5公设Ⅴ:(在一平面上)若一直线与二直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点(如图1).     

数学竞赛中的递推和猜想问题

1 尝试和猜想方法 大家知道,数学以严格的逻辑推理为主要特征,数学推理的正确性是不容置疑的.有许多数学发现令人拍案叫绝,那么它们又是怎样被发现的呢?一般来说,一个数学结论的发现,首先是发现者对某些事实作出猜测,然后再设法证明或推翻这种猜想.而这些数学发现则是通过试验或观察得到,这就是尝试和猜想的数学方法,它是数学发现的重要方法.在数学竞赛中,尝试与猜想的方法也时有体现.     

几何学概论(二)

(三)罗巴切夫斯基几何的诞生要知道罗巴切夫斯基几何是怎样诞生的,就应该回顾一下欧几里得第五公设的历史.罗巴切夫斯基几何的诞生,归根到底就是试证第五公设的结果.第五公设是这样叙述的:如果两条直线被第三条直线所截,在截线一侧的两个同侧内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一侧无止境地延长之后,一定会相交.     

直觉思维在解题中的运用

直觉思维是一种直接迅速对问题的结果或解决问题的途径作出合理猜测、设想或突然领悟的思维 .数学直觉思维是人脑对数学对象(结构及其关系 )的某种直接的领悟或洞察 ,表现在人们在解决数学问题时 ,不经过逐级分析 ,严谨论证 ,而是直接从整体上把握问题实质 ,迅速敏捷 ,大胆猜想 ,作出判断 .爱因斯坦指出 :“在科学研究中 ,真正可贵的因素是直觉 .”在数学解题中恰当、合理地运用直觉思维 ,可简化思维过程 ,迅速有效地解决问题 .例 1　已知 :ｘ + 1ｙ=1,ｙ + 1ｚ=1,求证 :ｚ + 1ｘ=1.已知两个方程 ,有三个未知数 ,而所求证的等式中只有两个未…     

识别基本结构 突破思维节点——以2022年厦门市中考模拟题为例

几何直观是数学新课程标准里提出的十个核心概念之一.借助几何直观,提出合理的猜想,可以把复杂的数学问题变得简明、形象.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中发挥着重要作用.本文以2022年厦门市初中毕业年级模拟考第24题为例,从解法赏析、思路回顾、教学思考三个方面谈谈笔者的教学感悟.     

中学"边角边"公理教学中的思考

0 引言 近年来,在中学数学课程的不断调整过程中,一个一直有争议的问题是如何处理几何教程中的公理.这个问题也涉及对希尔伯特公理体系的理解,事实上,希尔伯特当初建立一个完整的欧几里德几何公理体系,是为了回答当时很多人对欧几里德几何的严格性的质疑.这个问题是"初等的"几何,但它本身绝不是初等的,恰恰相反,它是很深很困难的,是当时数学的顶尖工作(在今天属于数理逻辑的范围).这项工作说明,欧几里德几何体系完全可以严格化和完备化,并且是不矛盾的.但严格化的方法并不止一种,例如张景中就曾给出与希尔伯特公理体系等价的其他公理休系.     

数学归纳法——兼与史宁中先生商榷

欧氏几何有个平行线公理:过线外一点有且仅有一条直线与它平行.历史上有许多学者宣称得到了它的证明,结果不是发生推理错误,就是用到了一个与它等价的命题.用了二千多年,人们才知道它是不可能证明的.它是建立欧氏几何不可缺少的一个基本假定.因此有时也称为公设.     

数学家传《希尔伯特》中译本已出版

<正> 1970年,西德 Springer-Verlag 出版社出版了康斯坦西·瑞德夫人撰写的数学家传“希尔伯特”.最近,上海科技出版社出版了该书的中译本.译、校者是李文林、袁向东、吴允曾.当代,凡和数学有缘的人,没有一个不知道希尔伯特的大名的.他在数论、代数、几何、分析,数学基础等诸方面,开拓了众多的研究领域.“在整个数学版图上,留下了他巨大显赫的名字”:希尔伯特空间,希尔伯特不等式、希尔伯特变换、希尔伯特不变积分、希尔伯特不可约性定理、希尔伯特基定理、希尔伯特公理、希尔伯特子群、希尔伯特类域….多少才华横溢的青年,追随其后,也在数学青史上留下了美名.20世纪之初,希尔伯特在国际数学家大会的讲台上,发表了纵观数学全局的讲演,题目叫做“数学问题”(即著名的23个数学问题),当时他年仅38岁.半个世纪之后,当美国数学会请著名数学家赫尔     

几何新知教学:由特殊走向一般——以“13.1.2线段的垂直平分线的性质”为例

“特殊与一般”是初中数学几个最为重要的数学思想之一,它在学生获取几何知识过程中的作用是非常明显的.在几何教学中,学生可以从图形的特殊位置或图形(线段、角等)的特殊取值出发,通过对多种不同特殊情形下结论的探究,从而不完全地归纳出可能具有一般意义的数学结论,在经过“严格论证”后,这些结论将会被应用到今后的数学学习和问题解决之中.显而易见,     

数学猜想在初中几何解题中的应用初探

猜想是人们根据事实的某些现象对它的本质属性、服从规律、发展趋势或可能结果作出的一种预测性判断.猜想与数学有着密切的关系,根据某些已知的事实材料和数学知识,对未知的现象及其规律所作出的一种预测性的推断即是数学猜想.数学猜想是数学研究的一种科学思维形式,是解决数学理论自身矛盾疑难问题的一个有效途径,它对丰富数学理论,推动数学科学的发展,促进数学方法论的研究具有重要意义,数学研究是一种探索性思维活动,数学学习活动当然也离不开探索性思维,而探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜想.     

Heilbron型问题又一猜测的证明及其量化

Ｈｅｉｌｂｒｏｎ型问题又一猜测的证明及其量化朱玉扬（安徽省肥西师范学校２３１２００）吴报强先生于数学通报１９９１年第５期发表《关于Ｈｅｉｌｂｒｏｎ型问题的一个猜测》一文（后称文［１］）解决了很多人曾考虑过的著名猜想：最后为估计ｉｎｆ的值提出三个重要猜...     

直说平行性和三角形内角和之本质与关系

平行是欧氏平面几何中的一个重要的基本概念而“三角形内角和恒等于平角”则是具中一个常用、好用的基本定理．在欧氏的几何原本中，两者都有赖于下述第五公设（fifth postulate），亦称平行公设：     

学会用数学语言表达几何逻辑思维过程

中学几何的推理证明是教学的难点,公理体系中的原始概念和公理个数很少,论证要求精心地表述概念和细致地逻辑推理,研究对象抽象、过程严谨.正是由于这一特点使得几何逻辑证明的教学,一方面能激发一部分学生对数学的浓厚兴趣,使他们的逻辑思维能力得到提高,另一方面又使一些学生畏惧、远离数学.几何教学的改革也做过有益的尝试,如:通过直观几何发现几何特征,然后进入完整的逻辑论证阶段.这里直观几何在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面有一定作用,但由于直观几何与论证几何处在分离着的不同阶段,从直观几何到论证几何的过渡,对于几何推理…     

关于数学归纳法的说课

1教材的地位和作用数学归纳法的地位和作用主要体现在以下3个方面:1.1中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式,二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明.在实际问题中,由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题,通过用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的认识更加深入,理解更加透彻.1.2运用数学归纳法可以证明许多数学命题,通过这些数学命题的证明,既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的良好训练.1.3数学归纳法在今后的数学学习过程中经常用到,它是很重要的一种数学工具.因此,掌握数…     

浅谈猜想论证法

对数学命题的结论或问题关键步骤的结论作合理的猜想 ,然后执果索因 ,作出严格论证 (可以是肯定的 ,也可以是否定的 ) ,这是数学解题的一种重要方法———猜想论证法 .1　归纳猜想归纳猜想是指通过对部分对象的研究 ,归纳出共性特征 ,最后提出猜想的方法 .此法在数学中用得很多 ,特别是在解有关数列问题时常常用到 .例 1　已知ｘ∈Ｎ ,3位于 ｘ + 3ｘ 和ｘ + 4ｘ + 1之间 ,求ｘ的所有可能值 .解　分别对ｘ =1 ,2 ,3,4计算 ｘ + 3ｘ 和ｘ + 4ｘ + 1 的值 :当ｘ =1时 ,ｘ + 3ｘ =4 ,ｘ + 4ｘ + 1 =52 ;当ｘ =2时 ,ｘ + 3ｘ =52 ,ｘ + 4ｘ + 1 …     

几何学概论（二）

耍知道罗巴切夫斯基几何是怎样诞生的,就应该回顾一下欧几里得第五公设的历史．罗巴切夫斯基几何的诞生,归根到底就是试证第万公设的结果．     

开展初中数学实验教学的价值和意义

《全日制义务教育数学课程标准》(2011)指出:学生的数学学习内容“要有利于学生主动进行观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”,并强调学生“动手实践”是一种重要的学习方式,和任何自然科学一样,观察、试验、发现、猜想是学习数学不可或缺的实践.数学实验是指为了获得某些数学知识,形成或验证某个数学猜想,解决某类数学问题,运用有关工具(如纸张、模型、测量工具、作图工具以及计算机等),在数学思维活动的参与下进行的一种以学生参与实际操作为特征的数学验证或探究活动.数学实验有别于其他学科实验,它所面对的是数量关系和空间形式等“材料”,基本目的是让学生通过实验,发现、验证和丰富自己的数学认知.因此,数学不仅是严格的逻辑体系,也是一门“实验科学”.