两类组合数和式的递推求解

两类组合数和式的递推求解杨克昌（湖南岳阳大学４１４０００）本文试用递推的方法求解带组合数Ｃｋｎ与Ｃｋｎ＋ｋ的幂和ｎｋ＝１Ｃｋｎｋｍ与ｎｋ＝１Ｃｋｎ＋ｋｋｍ．我们先行建立这两类新颖和式的递推关系，然后具体求出ｍ３的相应和式．定理１记Ｓｍ（ｎ）＝?..     

等式sum from n=1 to ∞(1/n~4=π~4/90)的初等证明

本文利用初等方法证明∑∞ｎ =11ｎ4 =π490 .1　几个引理引理 1　 ∑∞ｎ =1ｃｏｔ2 ｎπ2ｍ+1 =13 ｍ(2ｍ-1 ) ,∑ｍｎ ,ｌ =1ｎ<ｌｃｏｔ2 ｎπ2ｍ +1 ｃｏｔ2 ｌπ2ｍ +1=13 0 ｍ (ｍ -1 ) (2ｍ -2 ) (2ｍ-3 ) .其中ｍ、ｌ、ｎ等均表示整数 ,下同 .证明　由ｄｅ·Ｍｏｖｒｅ公式得ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ +1 )α=(ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) 2ｍ+1于是 ,ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ+1 )α=∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ2ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) +1αｓｉｎ2ｋα+ｉ∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ+12ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) αｓｉｎ2ｋ+1α. (1 )比…     

组合数的一项性质的概率证明

文 [1 ]用数学归纳法证明了组合数的一项性质 :∑ｎｉ =0ｉｒ(-1 ) ｉＣｉｎ =0 ,　　　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !(-1 ) ｎ,　当ｒ =ｎ本文给出此性质一个概率证明 .为此作变换ｉｎ-ｋ ,易见上式等价于∑ｎｋ=0(-1 ) ｋＣｋｎ(ｎ-ｋ) ｒ =0 ,　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !,　当ｒ =ｎ (1 )考虑随机试验 :从 1到ｎ这ｎ个自然数中每次任取一数 ,有放回地抽取ｒ次 ,令Ａｉ={取出的ｒ个数均不等于ｉ},ｉ =1 ,… ,ｎ,则Ｐｋ=Ｐ(Ａｉ1 Ａｉ2 …Ａｉｋ) =ｎ-ｋｎｒ,(1≤ｉ1<ｉ2 <… <ｉｋ ≤ｎ,ｋ =1 ,2… ,ｎ)由概率的一般加法公式Ｐ ∑ｎｉ=1Ａｉ…     

关于组合数的一项性质

对于∑ｎｉ =0(- 1 ) ｉＣｉｎ =0相信大家都很熟悉 ,但笔者发现 ,该式可推广成 ∑ｎｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｎ =0 (ｋ≤ｎ - 1且ｋ∈Ｎ) .证明　 (1 )当ｎ=2时 ,ｋ=1左边 =∑2ｉ=0ｉ(- 1 ) ｉＣｉ2 =- 2 2 =0 =右边等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｔ时 ,对于 1≤ｋ≤ｔ- 1　ｋ∈Ｎ等式均成立 ,那么当ｎ=ｔ 1时 :左边 =∑ｔ 1ｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｔ 1=∑ｔ 1ｉ=1ｉｋ(- 1 ) ｉｔ 1ｉ Ｃｉ- 1 ｔ 0=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(ｊ 1 ) ｋ- 1 · (- 1 ) ｊＣｊｔ(令ｊ =ｉ- 1 )=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(∑ｋ-1ｕ =0(Ｃｕｋ- 1 ·ｊｕ)·(- 1 ) ｊＣｊｔ=- (ｔ…     

集合基数公式在中学数学中的应用

高中数学试验教材第一册在第一章第一小节集合结束后增添了阅读材料 ,集合元素的个数 ,书中指出 ,一般地 ,对任意两个有限集Ａ ,Ｂ ,有Ｃａｒｄ(Ａ∪Ｂ) =Ｃａｒｄ(Ａ) Ｃａｒｄ(Ｂ) -Ｃａｒｄ(Ａ∩Ｂ) ,实际上 ,这是关于两个集合的基数公式 ,也是大家熟知的容斥原理 ,更一般地 ,设有限集Ｉ的ｍ个子集为Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｍ,为简便起见 ,用ｎ(Ａ)表示有限集Ａ的元素的个数 ,则有基数公式 ;ｎ( ∪ｍｉ=1Ａｉ) =∑ｎ(Ａｉ) - ∑ｎ(Ａｉ∩Ａｊ) ∑ｎ(Ａｉ ∩Ａｊ ∩Ａｋ) -…… ( - 1 ) ｍ 1 ｎ( ∩ｍｉ=1Ａｉ)　　 书上指出 ,上面的式子对…     

三角函数的n倍角公式及应用

命题　设ｎ (ｎ≥ 2 )为自然数 ,则　ｓｉｎｎｘ =∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2ｊ 1ｎ ( - 1 ) ｊ　·ｓｉｎ2ｊ 1ｘｃｏｓｎ -2ｊ-1ｘ ( 1 )　ｃｏｓｎｘ =∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2 ｊｎ( - 1 ) ｊｓｉｎ2 ｊｘｃｏｓｎ -2 ｊｘ( 2 )　ｔｇｎｘ =∑0≤ｊ≤ ｍ2( - 1 ) ｊＣ2ｊ 1ｎ ｔｇ2ｊ 1ｘ∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2 ｊｎ( - 1 ) ｊｔｇ2 ｊｘ ( 3)证　ｃｏｓｎｘ ｉｓｉｎｎｘ =(ｉｃｏｓｘ ｓｉｎｘ) ｎ　 =∑0≤ｋ≤ｍ Ｃｋｎｉｋｓｉｎｋｘｃｏｓｎ -ｋｘ　 =∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2ｊｎ( - 1 ) ｊｓｉｎ2ｊｘｃｏｓｎ -2ｊｘ　　 (∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2ｊ 1ｎ ( - 1…     

组合数的又一性质——由《概率论》中离散型随机变量的分布列的性质想到的

初等数学中关于组合数有两条性质 :Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+1 =Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1 ｎ ,组合数还有如下性质 :定理　若ｍ ,ｎ ,ｋ∈Ｎ ,且ｍ≤ｎ ,ｍ≤ｋ ,则有Ｃｍｎ+ｋ =∑ｉ+ｊ=ｍＣｉｎＣｊｋ这里先回顾一下《概率论》中离散型随机变量的分布列所具有的性质 :设 ζ为一离散型随机变量 ,它所有可能取的值为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,事件 { ζ=ｘｉ}的概率为ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .即Ｐ{ ζ=ｘｉ} =ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ①式①为离散型随机变量 ζ的分布列 ,它可用表格的形式绘出 (表 1 )表 1ζ ｘ1 ｘ2 … ｘｎＰ ｐ1 ｐ2 … ｐｎ　　任一…     

对“关于圆锥曲线的又一组定理”一文中错误的订正

文 [1 ]中给出如下的结论 :引理 1　对于任意的正整数ｑ ,∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) ≡ 0引理 2∑ｎ-1ｋ=0ｃｏｓｒ( +2ｋπｎ ) =0 ,　　　ｒ:奇数ｎ2 ｒＣｒｒ2 ,　　ｒ:偶数定理 4　设圆锥曲线的焦点Ｆ ,若Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 是圆锥曲线上的ｎ个点 ,且∠Ａ1 ＦＡ2 =∠Ａ2 ＦＡ3=… =∠ＡｎＦＡ1 ,则对于 ｍ ∈Ｎ ,1ＦＡ1 ｍ +1ＦＡ2 ｍ +… +1ＦＡｎ ｍ 为定值 .笔者认为 ,上述三个结论都不严密 ,现分析如下 :1　对于引理 1 ,作者显然忽视了ｑ是ｎ的倍数的情形 .因为若ｑ =ｔｎ ,则 ∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) =∑ｎ-1ｋ=…     

一类条件不等式的“根”

在教学中 ,笔者常见如下题组 :已知ｘ1∈Ｒ+ (ｉ=1 ,2 ,3) ,且ｘ1+ｘ2 +ｘ3 =1 ,求证 :①ｘ21+ 2ｘ22 + 3ｘ23 ≥ 61 1 ｘ ;②ｘ1+ｘ2 +ｘ3 ≤ 3;③ 1ｘ1+ 4ｘ2 + 9ｘ3 ≥ 36 .( 1 990日本ＩＭＯ选拔赛题 )该类不等式的“根”是什么呢 ?通过研究 ,笔者发现下面结论 .命题　已知ｘｉ,ａｉ∈Ｒ+ (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)且∑ｎｉ=1ｘｉ=ｋ ,ｍ是有理数 ,则1 )当ｍ >1或ｍ <0时 ,∑ｎｉ=1ａｉｘｍｉ ≥ｋｍ(∑ｎｉ=1ａ 11-ｍｉ ) 1-ｍ.2 )当 0 <ｍ <1时 ,∑ｎｉ=1ａｉｘｍｉ ≤ｋｍ(∑ｎｉ=1ａ 11-ｍｉ ) 1-ｍ.证　 1 )当ｍ >1时 ,因为ｍ是有理数 ,可…     

正n边形所有对角线与边长的2p-1次方幂和

文 [1]给出了正ｎ边形所有对角线和边长的 2 ｐ( ｐ∈Ｎ)次方幂和 ,本文将给出正边形所有对角线和边长的 2 ｐ - 1( ｐ∈Ｎ)次方幂和 .引理 1　ｓｉｎ2ｐ - 1θ =4 1-ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｐ- 1 ｋＣｋ2 ｐ - 1·ｓｉｎ( 2 ｐ - 1- 2ｋ)θ.证　设ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ , ｚ =ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ ,则ｓｉｎ2 ｐ - 1θ =ｚ - ｚ2ｉ2 ｐ - 1=( 2ｉ) 1- 2 ｐ 2 ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋＣｋ2ｐ - 1ｚ2 ｐ - 1-ｋ ｚｋ=( 2ｉ) 1- 2 ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋ　·Ｃｋ2ｐ - 1(ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ- ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ)(应用了Ｃｍｎ =Ｃｎ -ｍｎ …     

三项式定理及其三项式系数塔

1　三项式定理(Ａ) (ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ=0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ=0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ证明　首先在这ｎ个相同的因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｎ-ｍ)个ａ相乘 ,再将剩余的ｍ个因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｍ—ｋ)个ｂ相乘 ,最后再将剩余的ｋ个因式 (ａ ｂ ｃ)中的ｃ相乘 ,则由组合数理论知(ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ =0ｃｎ-ｍｎ ａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｍ-ｋｍ ｂｍ-ｋｃｋ=∑ｎｍ =0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ(Ａ)式得证 .2　三项展开式的排序规律经探究 ,(Ａ)左右端展开式的诸项可以按照字典排列法有序地摆放成一结构对称的等边三角形 .…     

一个递推公式与ax~n by~n型竞赛题解法

命题 :已知 :Ｓｎ=ａｘｎ ｂｙｎ,ａ,ｂ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ｎ∈Ｎ .则有递推公式 :Ｓｎ 2 =(ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ.证明 :∵Ｓｎ=ａｘｎ ｂｙｎ,∴　 (ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ=(ｘ ｙ) (ａｘｎ 1 ｂｙｎ 1) -ｘｙ(ａｘｎ ｂｙｎ)=ａｘｎ 2 ｂｘｙｎ 1 ａｙｘｎ 1 ｂｙｎ 2 -ａｘｎ 1ｙ -ｂｘｙｎ 1=ａｘｎ 2 ｂｙｎ 2=Ｓｎ 2 .即Ｓｎ 2 =(ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ.由上述递推公式可知 :只要Ｓ1和Ｓ2 及ｘ ｙ和ｘｙ已知 ,则可依次计算Ｓ3 ,Ｓ4,…的值 .该递推公式结构简洁 ,但在求解国内外的一些数学竞赛题时却有着独特的功能 .现举例如下 :例 1　 (1 989年江苏省初中数学竞赛题 )若ｍ2 =ｍ 1 ,ｎ2 =ｎ 1 ,且ｍ≠ｎ ,则ｍ5 ｎ5=.解 :∵ｍ2 -ｍ -1 =0 ,ｎ2 -ｎ -1 =0 ,ｍ≠ｎ ,∴ｍ ,ｎ是方程ｘ2 -ｘ-1 =0的两根 .由韦达定理得 :ｍ ｎ=1 ,ｍｎ =-1 .∴ｍ2 ｎ2 =(ｍ ｎ) 2 -2ｍｎ =1 2 =3 ....     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

柯西不等式的一个简证

柯西不等式 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ .则∑ｎｉ=1ａ2 ｉ ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ ≥ ∑ｎｉ=1ａｉｂｉ2 (1 )证明　记Ａ =∑ｎｉ=1ａ2 ｉ,Ｂ =∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ,Ｃ =∑ｎｉ=1ａｉｂｉ.ＡＢＣ2 1 =∑ｎｉ=1ａ2 ｉＢＣ2 ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉＢ=∑ｎｉ =1ａ2 ｉＢＣ2 ｂ2 ｉＢ≥ ∑ｎｉ =12 ·ａｉｂｉＣ =2 .所以 ＡＢＣ2 1 ≥ 2 ,即ＡＢ≥Ｃ2 .因此不等式 (1 )成立 .柯西不等式的一个简证@张延卫$江苏宿迁市教委!223800…     

一个优美的代数不等式

文 [1 ]有一个优美的不等式猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ=1ａｋ ｎｋ=11ａｋ ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ<ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2 (1 )本文证明这个猜想 .记Ｆｎ=ｘｎ 1ｘｎ (ｘ∈Ｒ ,ｎ∈ Ｚ-) ,则Ｆｎ≥ 2 .容易验证有如下引理 1　若ｍ1,ｍ2 ∈Ｚ ,ｍ1≥ｍ2 ,则Ｆｍ1 ｍ2 =Ｆｍ1Ｆｍ2 -Ｆｍ1-ｍ2 .引理 2　当ｎ≥ 2时 ,Ｆｎ≥ 2ｎＦ1- 2 (2ｎ- 1 ) (2 )证明　当ｎ =2 ,3时 ,文 [1 ]已证 (2 )式成立 ,即有Ｆ2 ≥ 4Ｆ1- 6 ,Ｆ3≥ 6Ｆ1- 1 0 .假设ｎ <ｋ时 ,(2 )式成立 .则当ｎ =ｋ (ｋ≥ 4)时 ,1 )若ｋ为奇数 ,…     

金融计划概率网络模型可行解的存在性

高荣兴在 [1]中提出的具有增益的概率网络金融计划模型可概括为如下多目标规划模型 :Ｍａｘ ∑ｉ,ｋ ,ｈｘ(ｉ)ｋｈ ｒ( (ｋｉ,ｈｉ 1) ) ｑ( (ｋｉ,ｈｉ 1) ) ,- ∑ｉ,ｋ ,ｈｘ(ｉ)ｋｈ ｐ( (ｋｉ,ｈｉ 1) ) ｑ( (ｋｉ,ｈｉ 1) )( 1)ｓ .ｔ.∑ｍｈ =1ｘ( 0 )ｓｈ =Ｃ(常数 )∑ｍｈ=1ｘ(ｉ)ｋｈ ≤ａ(ｉ)ｋ,　ｉ=1,… ,ｎ ;ｋ=1,… ,ｍ或ｔ;∑ｍｋ=1ｘ(ｉ)ｋｈ ≤ｂ(ｉ)ｈ,　ｉ=1,… ,ｎ ;ｈ=1,… ,ｍ或ｔ;0 ≤ｘ(ｉ)ｋｈ ≤ｅ(ｉ)ｋｈ ,　ｉ=0 ,1,… ,ｎ ;ｋ=ｓ或 1,… ,ｍ ;ｈ=1,… ,ｍ或ｔ.其中 ,ｍ为可供选择的资产种类数 ,ｒ为收益函数…     

某些条件极值问题的向量解法

条件极值问题 ,在日常生活中应用极广 ,涉及到的知识面较为广阔 ,解法多样 .对于某些具有圆型或有限和型条件 ,而且目标函数是圆型或有限和型函数的条件极值问题 ,可通过构造恰当的向量 ,利用向量内积不等式获得简便的解法 ,本文将通过几个具体的例子予以介绍 .本文要用关于向量内积的基本不等式 (柯西不等式 ) :若 ｍ =(ｍ1,ｍ2 ,… ,ｍｋ)、 ｎ =(ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｋ)是ｋ维向量 , ｍ·ｎ=∑ｋｉ=1ｍｉｎｉ(称为向量 ｍ与 ｎ的内积 ) ,| ｍ | =∑ｋｉ=1ｍ2 ｉ12 (称为向量 ｍ的模或长度 ) ,则 | ｍ· ｎ|≤ | ｍ |·| ｎ| .上式等…     

改进一个不等式的思考过程

设ａｉ≥ 0 ,ｂｉ≥ 0 ,ａｉ+ｂｉ=1 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 .记Ｓｎ =∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1 ,规定当ｉ>ｎ ,ａｉ =ａｉ-ｎ,当ｉ<1 ,ａｉ =ａｉ+ｎ.文 [1 ]证明了命题 1　Ｓｎ ≤ ｎ4ｓｉｎ2 πｎ图 1证法颇为巧妙 :如图1 ,Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 是边长为 1的正ｎ边形 ,在ＡｉＡｉ+1 上取Ｂｉ,使ＡｉＢｉ =ａｉ,则ＢｉＡｉ+1=ｂｉ.显见 ∑ｎｉ=1Ｓ△ＢｉＡｉ+1 Ｂｉ+1 ≤ＳＡ1 Ａ2 …Ａｎ,也就是12 ｓｉｎ(ｎ- 2 )πｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1　≤ ｎ2 · 14ｓｉｎ2 πｎ·ｓｉｎ2πｎ整理即得 (1 ) .在图 1中作正ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的对角线Ａ1 …     

一类不等式的新证法

对于形如∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≥Ｐ或∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≤Ｐ(Ａｉ ＣＢｉ=Ｑ ,Ｃ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)的一类不等式 ,利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可简捷地给予证明 .定理　设Ａｉ,Ｂｉ∈Ｒ ,λＡｉ μＢｉ=Ｑ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,λ,μ为常数 ) ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,记Ａ =∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ,则当 μ >0时 ,Ａ≥ωｎ ;　当 μ <0时 ,Ａ≤ωｎ .证　因为λＡｉ μＢｉ=Ｑ ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,所以ｎＱ =λ∑ｎｉ=1Ａｉ μ∑ｎｉ=1Ｂｉ=λ∑ｎｉ=1Ａｉ μω∑ｎｉ=1Ａｉ=(λ μω)∑ｎｉ=1Ａｉ,所以　Ｑ =λ …     

FTT不等式的一个简单证明及其发现过程

四十多年前 ,Ｋ .Ｆａｎ ,Ｏ .Ｔａｕｓｓｋｙ和Ｊ .Ｔｏｄｄ发现并证明了如下两个优美的初等不等式[1] :设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 皆为实数 ,1°　若ａ0 =ａｎ 1=0 ,则2 (1-ｃｏｓ πｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎ 1ｋ =1(ａｋ-ａｋ- 1) 2 (1)等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .2°　若ａ0 =0 ,则2 (1-ｃｏｓ π2ｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎｋ =1(ａｋ-ａｋ - 1) 2 (2 )等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπ2ｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .1982年 ,Ｇ .Ｖ .Ｍｉｌｏｖａｎｏｖｉｃ和Ｉ.…