Viscoelastic crack analysis by the boundary integral equation method

Summary The linear viscoelastic three-dimensional crack problem is analyzed by combining the correspondence principle and the boundary integral equation method. In a general crack analysis the usual boundary integral equations lead to a nonunique formulation of the problem, because they do not involve information about the loading on the crack surface. Here, the boundary integro-differential equations are applied to the numerical calculation of the crack opening displacement of a penny-shaped crack in an infinite linear viscoelastic body. Moreover, the influence of several parameters of the three-parameter viscoelastic model on the crack opening displacement and the incubation time is shown.

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Viskoelastische Rißanalyse durch Randintegralgleichungen

Übersicht Das linear viskoelastisch räumliche Rißproblem wird mit Hilfe einer Kombination von Korrespondenzprinzip und Randintegralgleichungsverfahren gelöst. In einer allgemeinen Rißanalyse führen die üblichen Randintegrale zu einer nicht eindeutigen Formulierung dieses Problems, weil die Angaben über Belastung und Rißoberfläche fehlen. Das Randintegralgleichungsverfahren wird für die numerische Berechnung der Rißerweiterung eines münzförmigen Risses in einem unendlich linear viskoelastischen Körper angewendet. Weiterhin wird der Einfluß von verschiedenen Parametern des räumlich viskoelastischen Modells auf die Rißerweiterung und die Inkubationszeit gezeigt.

     

Finite element stability analysis of pre-twisted Beck's column

Summary This paper presents a stability and vibration analysis of a pre-twisted cantilever column subjected to vertical and follower loads at its free end. The investigation is carried out using finite element modelling where the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia are taken into account in deriving the element matrices. By using the assembly procedure and imposing the boundary conditions, a relationship between the load and vibration frequency is obtained. The critical, divergence and flutter, loads are calculated by evaluating the relationship and shown in figures for various values of non-conservativeness parameter, of twist angle, and those of rigidity ratio.

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Untersuchung der Stabilität des verwundenen Beck-Stabes mit Finiten Elementen

Übersicht Dieser Aufsatz stellt eine Stabilitäts- und Schwingungsuntersuchung des vorverwundenen, einseitig eingespannten Stabes dar, der an seinem freien Ende vertikalen und mitgehenden Lasten ausgesetzt ist. In der Untersuchung wird die Methode der finiten Elemente angewendet, und in der Herleitung der Elementmatrizen werden die Einflüsse der Schubspannungen infolge der Querkraft und der Rotationsträgheit berücksichtigt. Eine Beziehung zwischen der Last und der Schwingungsfrequenz wird dadurch ermittelt, daß man die Gesamtssystemmatrix bildet und die Randbedingungen anwendet. Durch die Auswertung der Beziehung werden die kritischen Divergenz- und Flatterlasten für verschiedene Werte des Nichtkonservativitätsparameters, des Verwindungswinkels und des Steifigkeitsverhältnisses ermittelt und in Bildern dargestellt.

     

Das mechanische Verhalten von Thermoplasten bei mittlerer und hoher Deformation bis zum Bruch

Zusammenfassung Es wird versucht, den Deformationsvorgang bis zum Bruch an einem unvernetzten thermoplastischen Material zu analysieren. Dabei zeigt es sich, daß das makroskopische Bruchverhalten des Materials durch die beiden konkurrierenden Vorgänge des mikroskopischen Fehlstellenwachstums und der aufgezwungenen makroskopischen Deformation bestimmt wird. Da das Fehlstellenwachstum wiederum von der molekularen Reaktion des Materials auf die Deformation abhängt, ergeben sich enge Zusammenhänge zwischen dem Dehnungs- und Bruchverhalten und den molekularen Relaxationsprozessen.Diese Zusammenhänge werden an einem Weichmacherfreien PVC erstens mit Hilfe von Zugversuchen in einem weiten Geschwindigkeits- und Temperaturbereich und zweitens mit einer indirekten Methode zur Verfolgung des Fehlstellenwachstums untersucht.Wenn mit niedrigeren Geschwindigkeiten die zur Verfügung stehende Zeit und bzw. oder die Versuchstemperatur zunehmen, steigt die mittlere Dehnbarkeit erstmalig an, wenn die Neben-Relaxationsmechanismen die Streckspannung abbauen können, und erreicht sehr hohe Werte, wenn die Hauptrelaxationsmechanismen die lokalen Spannungen an den Fehlstellen herabsetzen.

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Summary An attempt is made to analyse the deformation process of a non-crosslinked thermoplastic material until fracture occurs. It is shown that the macroscopic fracture behaviour is determined by the competition of the microscopic flaw growing with the macroscopic elongation. The flaw growing itself depends on the molecular reaction of the specimen against the elongation forced upon it. This causes certain relations between the strain- and fracture-behaviour and the molecular relaxation processes of the material.These relations were investigated by means of tensile tests on unplastified PVC in a wide speed and temperature range. Moreover the flaw growing during the tensile tests is examined by a new indirect method.With increasing test time and temperature the mean elongation increases for the first time, when the secondary relaxation processes are able to reduce the yield stress. A further marked increase of the elongation is to be stated when the main relaxation processes diminish the local stresses at the microscopic flaws.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem am 22. Mai 1968.     

Integration elastokinetischer Anfangsrandwertprobleme mittels des Reduktionsverfahrens von L. W. Kantorowitsch

Übersicht Das von L. W. Kantorowitsch für die genäherte Integration von partiellen Randwertaufgaben angegebene Reduktionsverfahren wird auf allgemeine elastokinetische Anfangsrandwertaufgaben angewendet, ausgehend von einer Erweiterung des Hamiltonschen Extremalprinzips. Die daraus für die Zeitfunktionen des Ansatzes folgenden Differentialgleichungssysteme werden aufgestellt und durch Orthogonalisierung der Koordinatenfunktionen mittels einer nichtsingulären Transformation entkoppelt.

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Summary The reduction method for the approximated integration of boundary value problems given by L. W. Kantorowitsch is applied to general elastokinetic boundary value problems, starting from an extension of the Hamiltonian extreme-value principle. The resulting differential systems of the time functions are stated and separated by orthogonalization of the coordinate functions, using a non-singular linear transformation.

     

The steady state in-plane response of a curved Timoshenko beam with internal damping

Summary The steady state in-plane response of a curved Timoshenko beam with internal damping to a sinusoidally varying point force or moment is determined by use of the transfer matrix approach. The method is applied to free-clamped non-uniform beams with circular, elliptical, catenary or parabolical neutral axis excited at the free end; the driving point impedance and force or moment transmissibility are calculated numerically and the influence of the varying cross-section and of the function expressing the neutral axis are studied.

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Übersicht Es werden ebene, stationäre Schwingungen eines gekrümmten Timoshenko-Balkens mit innerer Dämpfung, durch harmonische Punkt-Kräfte oder Punkt-Momente erregt, mit Hilfe von Übertragungsmatrizen berechnet. Diese Methode wird auf einseitig fest eingespannte, ungleichförmige Balken angewendet, deren neutrale Achse verschiedene Formen (Kreisbogen, Ellipsenbogen, Kettenlinie, Parabel) besitzt. Für den am freien Ende erregten Balken werden Erreger-Impedanz und Durchlässigkeit für Kraft und Moment ausgerechnet; die Einflüsse des veränderlichen Querschnittes und der Form der neutralen Linie werden diskutiert.

     

Flow of a viscoelastic fluid between eccentric rotating cylinders and related problems

Summary Results obtained in a previous paper byBallal andRivlin on the forces associated with the slow flow of an incompressible non-Newtonian fluid, contained in the annular region between two infinite eccentric rotating cylinders, are applied to the calculation of the forces associated with the planetary motion of the inner cylinder about the axis of the outer cylinder. Either, neither, or both of the cylinders may rotate about their axes with constant angular velocities. As a limiting case the motion of an infinite cylinder is considered, in a half-space of incompressible non-Newtonian fluid bounded by a rigid plane, when the cylinder moves with constant velocity perpendicular to its length and parallel to the plane.

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Zusammenfassung Die in einer früheren Veröffentlichung vonBallal undRivlin erhaltenen Ergebnisse bezüglich der Kräfte, die beim langsamen Strömen einer inkompressiblen nicht-newtonschen Flüssigkeit im Ringspalt zwischen zwei unendlich langen exzentrisch rotierenden Zylindern auftreten, werden für die Berechnung der Kräfte angewendet, die bei der Planetenbewegung des inneren Zylinders um die Achse des äußeren Zylinders auftreten. Dabei dürfen beide Zylinder entwedet ruhen oder mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um ihre Achsen rotieren. Als Grenzfall wird die Bewegung eines unendlich langen Zylinders in einem Halbraum betrachtet, der durch eine feste Ebene begrenzt wird, wobei der Zylinder eine konstante Geschwindigkeit senkrecht zur Achse und parallel zur Ebene besitzt.

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With 21 figures and 1 table     

Hall effects on free convective flow and mass transfer through a porous medium

Summary A theoretical analysis of unsteady free convective and mass transfer flow through a porous medium bounded by an infinite vertical plate taking Hall effects into consideration is presented when a strong magnetic field is imposed in a direction which is perpendicular to the free stream and makes an angle to the vertical direction. The effect of Hall currents on the flows (primary and secondary) are studied for various values of.

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Halleffekte auf die Naturkonvektion und den Stofftransport durch ein poröses Medium

Zusammenfassung Es wird eine theoretische Analyse der instationären Naturkonvektion und des Stoffüberganges durch ein poröses Medium vorgestellt, das durch eine unendliche vertikale Platte begrenzt ist und in dem Halleffekte, aufgebracht durch ein starkes magnetisches Feld rechtwinklig zur Strömung der freien Konvektion und unter einem bestimmten Winkel zur Vertikalen, zu berücksichtigen sind. Der Einfluß der Hallströme auf die Konvektion (primär und sekundär) wird für verschiedene Werte des Winkels zur Vertikalen studiert.

     

Inelastic deformation of thin cylindrical shells under axisymmetric loading

Summary The response of a thin cylindrical shell of elastic-viscoplastic material to internal pressure is considered. Small displacements and the validity of the kinematical Love-Kirchhoff-hypothesis are presupposed. Further it is assumed that the inelastic behavior of the shell material is governed by a unified constitutive model with internal state variables, where the total strain tensor can be decomposed additively into an elastic and an inelastic part. Under these assumptions the governing differential equation for the radial displacement is derived. A general solution is obtained by the method of variation of parameters and adjusted to different boundary conditions.Solution of inelastic problems requires tracing of the entire loading path which leads to an initial value problem. This initial value problem is formulated for Hart's constitutive model and solved numerically by an implicit time integration procedure. Finally numerical results are presented.

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Inelastische Deformation dünner Kreiszylinderschalen bei axialsymmetrischer Belastung

Übersicht Es wird die Reaktion einer dünnen Kreiszylinderschale aus elastisch-viskoplastischem Werkstoff auf eine Belastung durch Innendruck untersucht. Es werden kleine Verschiebungen und die Gültigkeit der kinematischen Hypothese von Love-Kirchhoff vorausgesetzt. Ferner wird angenommen, daß das inelastische Verhalten des Werkstoffs durch ein einheitliches konstitutives Gesetz mit inneren Zustandsvariablen beschrieben wird, wobei der Tensor der Gesamtverzerrungen additiv in einen elastischen und einen inelastischen Anteil aufgespalten werden kann. Unter diesen Voraussetzungen wird die Differentialgleichung für die Radialverschiebung abgeleitet. Für sie wird eine allgemeine Lösung mittels Variation der Konstanten ermittelt und an verschiedene Randbedingungen angepaßt.Bei der Lösung inelastischer Probleme muß der gesamte Belastungspfad verfolgt werden. Dies führt auf ein Anfangswertproblem. Dieses Anfangswertproblem wird für das Werkstoffgesetz von Hart formuliert und numerisch mittels eines impliziten Zeitintegrationsverfahrens gelöst. Abschließend werden numerische Ergebnisse vorgestellt.

     

The BIE analysis of the Berger equation

Summary An iterative solution of the nonlinear integro-differential Berger equation by the boundary integral equation method is proposed. The fundamental solution of the linearized Berger equation is used. Both formulations of the problem through the physical and non-physical quantities are given. The proposed method of solution is applied to numerical computation of the finite deflection of a thin circular plate under a concentrated load. An analytical solution of the linearized Berger equation in the case of rotationally symmetrical problem is found.

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Anwendung der Randintegralgleichungsmethode auf die Gleichung von Berger

Übersicht Bine iterative Lösung der nichtlinearen integrodifferentialen Gleichungen von Berger mittels der Methode der Integralgleichungen wird vorgelegt. Die fundamentale Lösung der linearisierten Gleichungen von Berger wird angewendet. Zwei alternative Formulierungen des Problems mit physikalischen und nichtphysikalischen Größen sind angeführt. Die vorgelegte Lösungsmethode wird zur numerischen Berechnung der Durchbiegung einer mittels Einzellast belasteten, dünnen Kreisplatte angewendet. Fur den Fall eines rotationssymmetrischen Problems wurde eine analytische Lösung der linearisierten Bergerschen Gleichungen gefunden.

     

Applications of finite elements in space and time

Summary The paper initiates a major extension of the matrix displacement method concerning the analysis of dynamic phenomena in the presence of material and geometric non-linearities. In particular, elasto-plastic behaviour as well as large displacements are taken into account. An iterative procedure of solution of the nonlinear matrix equations is discussed. The application of the theory is described in detail in two examples. The first considers the simple static problem of a rectangular flat strip in a tensile test. The iterative calculation may be carried out for deformations as large as required and shows clearly the necking effect. More ambitious is the second example which demonstrates the non-linear dynamic theory on a cyclindrial deformable billet under the impact by a heavy rigid body. The momentum of the weight and the property of the billet are such that the latter will undergo large plastic deformations. If so required, it is straightforward to incorporate damping and also allow for friction forces on the contacts. The direct applicability of the technique to forging problems is evident. The solution of the dynamic phenomenon is accomplished by extending the discretisation of space also into time. In particular, the inertia forces are taken to vary over a finite time element as a third order polynomial. Exceptional accuracy is achieved by this method.

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Übersicht Dieser Beitrag stellt eine wesentliche Erweiterung der Matrizenverschiebungsmethode auf die Berechnung dynamischer Phänomene in Verbindung mit nichtlinearem Verhalten des Materials und der Geometrie dar. Insbesondere werden dabei sowohl elasto-plastische Verformungen als auch große Verschiebungen berücksichtigt. Weiterhin wird eine iterative Lösungsmethode der nichtlinearen Matrizengleichungen diskutiert. Die Anwendung der Methode wird im Einzelnen an zwei Beispielen demonstriert. Zuerst wird ein relativ einfaches statisches Problem, ein rechteckiger flacher Streifen in einen Dehnungstest, betrachtet. Hierbei wird die iterative Berechnung der Verschiebungen soweit verfolgt, wie es für den Test erforderlich ist. Es zeigt sich deutlich der Einschnüreffekt. Weitaus komplizierter ist das zweite Beispiel, wo die Theorie nichtlinearer Dynamik auf einen zylindrischen deformierbaren Bolzen unter Aufprall eines schweren starren Körpers angewendet wird. Der Impuls des Gewichts und die Eigenschaften des Bolzens sind so gewählt, daß große plastische Deformationen auftreten. Falls erforderlich, können auch Dämpfung und Reibungskräfte an den Kontaktflächen leicht berücksichtigt werden. Die direkte Anwendung der Theorie auf Schmiedeprobleme ist offenkundig. Die Lösung der dynamischen Phänomene wird durch die Erweiterung des Begriffes der Diskretisierung des Raumes auf die Zeit erzielt. Im vorliegenden Fall wird die Variation der Trägheitskraft in einem finiten Zeitelement mit einem Polynom dritter Ordnung beschrieben. Durch diese Methode wird eine außergewöhnliche Genauigkeit erreicht.

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Dedicated to Professor Dr. U. Wegner on the occasion of his 70th birthday.     

Column buckling under friction

Summary The buckling problem of a cantilever column is discussed when the axial loading device introduces friction forces. Adopting global stability criteria and applying the bifurcation theory to the present non-conservative eigenvalue problem, the critical load is defined and the post-critical behavior is investigated.

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Stabknickung unter Reibungseinfluß

Übersicht Die Ausknickung einer eingespannten Säule wird diskutiert, wobei durch die axiale Belastungsvorrichtung Reibungskräfte aufgebracht werden. Unter der Annahme eines globalen Stabilitätskriteriums und der Verwendung der Verzweigungstheorie wird die kritische Last des Systems und sein nachkritisches Verhalten untersucht.

     

The elastic behaviour of gels during the structure formation process

Summary A simple modification of the stress-strain relation for a normal viscoelastic material has been derived for a gel with temporary structural bonds which is subjected to small deformations during gelation. This shows that the storage modulus should separate into two parts, one dependent on frequency and the other on the time for which the gel has been allowed to set. The loss modulus should depend only on frequency. These theoretical results, and others concerning creep under constant stress are in general agreement with observations on a number of gels. Exceptions occur, however, in the period immediately after preparation (before continuous structure has formed) and also after long periods of time during which irreversible changes can have occurred. Certain anomalies appear when the basic assumption of the theory are applied to structure formation in gels with permanent bonds, and a possible resolution of these is suggested.

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Zusammenfassung Es wird eine einfache Modifikation der Spannungs-Dehnungs-Beziehungen normaler viskoelastischer Stoffe abgeleitet, durch die das Verhalten eines Gels mit temporärer Bindungsstruktur bei kleinen Deformationen während des Geliervorgangs beschrieben werden kann. Diese sagt voraus, daß der Speichermodul in zwei Teile aufspaltet, wobei der eine von der Frequenz und der andere von der Erstarrungszeit des Gels abhängt. Dagegen sollte der Verlustmodul nur von der Frequenz abhängig sein. Diese theoretischen Voraussagen, sowie die daraus abgeleiteten Folgerungen bezüglich des Kriechens unter konstanter Spannung, stimmen durchweg mit den an einer Anzahl von Gelen gemachten Beobachtungen überein. Abweichungen kommen dagegen in der Zeit unmittelbar nach der Herstellung vor (bevor sich eine durchgehende Struktur gebildet hat) und nach einer so langen Zeitspanne, daß irreversible Strukturänderungen entstanden sein können. Gewisse Anomalien treten in Erscheinung, wenn die Grundvoraussetzungen der Theorie auf die Strukturbildung bei Gelen mit permanenten Bindungen angewendet werden. Hierfür wird eine mögliche Deutung vorgeschlagen.

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With 3 figures     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

Zum freien Stoß quasistarrer Körper

Übersicht Der klassische Ansatz der Stoßtheorie für quasistarre Körper wird erweitert und ausgebaut, indem eine allgemeine Gleichung für den Kraftstoß eingeführt wird, die.ähnlich wie Stoffgleichungen der Rationalen Kontinuumsmechanik durch Anwendung der Grundgesetze der Stofftheorie reduziert wird.

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Summary The classical concept of collision theory of quasi rigid bodies is extended and completed by introducing a general constitutive equation for the impulsive force which is reduced using basic principles of constitutive theory in a manner analogous to the methods of the Rational Mechanics, of Continua.

     

Dynamic behaviour of cylinder with spring and concentrated mass collided with rigid body

Summary The Dynamic behaviour of a cylinder is investigated for the case where it collides with a rigid body with constant velocity. Spring and concentrated mass are attached to both ends of the cylinder. The relationships between the dimensions of cylinder and spring and the maximum values of dynamic stresses are obtained. Dynamic behaviour of the spring is also taken into consideration. The fundamental equations of oscillation are solved by the Laplace transformation method. From the results of theoretical analysis, it becames evident that impulsive stresses are damped considerably by the spring.

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Übersicht Es wird das dynamische Verhalten eines Zylinders untersucht, der mit konstanter Geschwindigkeit mit einem starren Körper zusammenstößt. An beiden Enden des Zylinders sind Federn und konzentrierte Massen angebracht. Für diesen Fall werden die maximalen Beanspruchungen in Abhängigkeit von den Abmessungen des Zylinders und der Feder abgeleitet. Dabei wird auch das dynamische Verhalten der Feder berücksichtigt. Die Schwingungsgleichungen werden mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst. Die Ergebnisse zeigen, daß die Stoßbeanspruchungen durch die Federn erheblich reduziert werden.

     

Bending of an axisymmetrically loaded thick circular plate on a granular half-space

Summary A numerical procedure is presented for the determination of the contact pressure, bending moment distributions and the displacements of an axisymmetrically loaded thick circular plate which rests without friction on a granular or on an isotropic elastic half-space. Some numerical results are presented which show the effect of the various parameters on the mechanical behaviour of the plate.

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Biegung einer axialsymmetrisch belasteten dicken Kreisplatte auf granularem Halbraum

Übersicht Ein numerisches Verfahren zur Berechnung des Kontaktdruckes, der Biegemomentverteilung und der Verschiebungen einer axialsymmetrisch belasteten, dicken Kreisplatte, die reibungsfrei auf einem granularen oder isotropen Halbraum aufliegt, wird dargestellt. Der Einfluß der verschiedenen Parameter auf das mechanische Verhalten der Kreisplatte wird durch numerische Ergebnisse aufgezeigt.

     

Elastisch-plastische Formänderungen biegesteifer Tragwerke nach der Spannungstheorie II. Ordnung

Übersicht Im vorliegenden Beitrag wird ein Berechnungsverfahren für die elastisch-plastischen Verformungen von Stabwerken behandelt, welches sich aus dem Minimalprinzip der Restspannungen ableiten läßt. Hierbei wird eine finite Elementapproximation angewendet, die zu einer quadratischen Optimierungsaufgabe führt.Der Vergleich mit Versuchsergebnissen und eine Vergleichsberechnung nach den Stabilitätsvorschriften des Stahlbaues (DIN 4114) zeigen, daß die Methode zu zuverlässigen und praktisch anwendbaren Ergebnissen führt. Da jedoch aufwendige numerische Berechnungen unvermeidbar sind, sollte sie nur zur Kontrolle praktikabler Näherungsverfahren angewendet werden. Die vereinfachende Annahme der isotropen Verfestigung verkürzt die numerischen Berechnungen. Die Methode kann jedoch auch dann angewendet werden, wenn kompliziertere Stoffgesetze aus Versuchen, bekannt sind.

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Summary This paper presents a method for the calculation of elastic-plastic deformations of frameworks by means of the well-known Principle of Residual Stress. A finite element technique which transforms this minimum principle into a quadric programming problem is employed. It is shown by comparison with test results and by an analysis of the German stability code for steel structures (DIN 4114), that the method gives reliable and practical results. However, the calculations are rather lengthy, so that it should be used primarily as a yardstick for practicable approximations. A simple isotropic hardening function has been used as it leads to a straightforward numerical treatment, but the method can also be applied if more complicated functions are available from experimental data.

     

Vibrations of asymmetric rotors supported by asymmetric bearings

Summary In this paper the vibrations of an asymmetric flexible rotor supported by asymmetric bearings is theoretically analyzed by using Galerkin's method and the perturbation method, and numerically calculated. The effects of the asymmetries of the rotor and the bearings and the changes of the main instability regions and the ultraharmonic resonance due to the external and internal dampings are investigated. The experimental tests are performed on a smaller laboratory model in order to verify the validity of the theoretical results.The following results are obtained; the instability regions divide into two ones by the lack of the symmetries in the rotor and the bearings. The ultraharmonic resonances appear at fractional values of the main critical speed. The character of the internal damping is changed by the magnitude of the asymmetries of the rotor and the bearings.

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Übersicht Es werden die Schwingungen eines unsymmetrischen Rotors in unsymmetrischen Lagern analysiert. Dabei wird sowohl das Galerkin-Verfahren als auch eine Störungs-Methode angewendet. Untersucht werden die durch die Unsymmetrien von Rotor und Lagerung entstehenden Effekte sowie die durch äußere und innere Dämpfung entstehenden Änderungen der wichtigsten Instabilitätsbereiche und der ultraharmonischen Resonanzen. Zur Stützung der theoretischen Ergebnisse wurden Versuche an einem Laboratoriumsmodell durchgeführt.Die wichtigsten Ergebnisse sind folgende: Die Instabilitätsbereiche werden durch die Unsymmetrie von Rotor und Lagerung aufgespalten; ultraharmonische Resonanzen treten bei gebroochenen Werten der Hauptkritischen auf; der Charakter der inneren Dämpfung wird durch die Größe der Unsymmetrien von Rotor und Lagerung verändert.

     

The stick-slip problem for a round jet

Summary The stick-slip problem for a round jet is solved in two ways: by a Wiener-Hopf method and by a direct method in which eigenfunction solutions in the pipe and jet are matched on their common boundary. The same solution is obtained by the two methods, but the eigenfunction method is more direct and converges more rapidly. Reliable graphs are presented for the distributions of the velocity components, stresses and pressures at different axial positions in the pipe and jet. The shape of the free surface for the low speed jet is computed by a perturbation method.

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Zusammenfassung Das Haft-Gleit-Problem wird für einen runden Strahl auf zwei verschiedene Weisen gelöst: durch die Wiener-Hopf-Methode und durch eine direkte Methode, bei der die Eigenfunktionslösungen für Rohr und Freistrahl an der gemeinsamen Grenze aneinander angeschlossen werden. Mit beiden Methoden erhält man die gleiche Lösung, aber die Eigenfunktionsmethode ist direkter und konvergiert schneller. Glaubwürdige graphische Darstellungen des Verlaufs der Geschwindigkeitskomponenten, der Spannungen und der Drücke für verschiedene axiale Lagen in Rohr und Freistrahl werden mitgeteilt. Die Gestalt der freien Oberfläche für einen mit langsamer Geschwindigkeit austretenden Strahl wird mit Hilfe einer Störungsmethode berechnet.

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With 12 figures and 3 tables     

Upper-bound approach to plane strain strip rolling with free deformation zones

Summary A recently developed extension of the upper-bound theorem is applied to the problem of rigid/plastic deformation in case where the surface configuration of the concerned body is previously unknown. By assuming a simple velocity field the strip rolling process is analysed by considering the free deformation zones in front of, and behind the roll gap. The results so obtained show that the transitional plastic deformation zone exists only in front of the roll gap without any bulge. Furthermore, we find that this zone becomes larger with increase of the strain sensitivity as well as the strain rate sensitivity of material.

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Obere-Schranken-Abschätzung zum ebenen Bandwalzen mit freien Umformzonen

Übersicht Eine vor kurzem entwickelte Erweiterung des Satzes von der oberen Schranke für starr-plastische Umformvorgänge wird auf ein Problem angewendet, bei dem die Gestalt der Materialoberfläche im voraus unbekannt ist. Und zwar wird mittels eines elementaren Geschwindigkeitsansatzes der ebene Walzvorgang unter Berücksichtigung der freien Umformzonen vor und hinter dem Walzspalt ermittelt. Die berechneten Ergebnisse zeigen, daß nur vor dem Walzspalt eine Übergangszone der plastischen Umformung ohne Wulstbildung existiert und daß diese Zone größer wird mit anwachsender Verfestigungs- und Geschwindigkeitsabhängigkeit des Materials.