Y2,2,λ*形树的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S*r（m+1）+1表示rPm+2的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,■表示把Pm的一个1度点与S*r（m+1）+1的r度点重迭后得到的图,可简记为■,δ=（r+1）m+r;设n（≥3）是奇数,λ=n+2-1（n+1）δ,图■表示把■的每个分支的r+1度顶点分别与Pn的下标为奇数的2-1（n+1）个顶点重迭后得到的图,Y*（2,2,2λ+1）表示把■的两个r+2度点分别与2P3的两个2度点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇■和■的伴随多项式的因式分解式,令n=2k-1q-1,λk=（2kq-1）+2k-1qδ,讨论了图簇Y*（2,2,λk）∪K1和Y*（2,2,λk）∪（k-1）K1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

P_λ~(SG)形图的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设P_n和C_n是具有n个顶点的路和圈,S_n是n个顶点的的星图,nG表示n个图G的不相交并。S_(rp+1)~G表示把星S_(r+1)的r个1度点分别与rG的每个分支的第i个顶点重迭后得到的图,可简记为S_(δ+1)~G,δ=rp;设m是自然数,图P_((2 m+1)+(m+1)δ)~SG是表示把(m+1)S_(δ+1)~G的每个分支的r度顶点分别与P_(2m+1)的下标为奇数的m+1个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇PP_((2 m+1)+(m+1)δ)~SG∪K1(m为奇数)和P_((2 m+1)+(m+1)δ)~SG∪S_(δ+1)~G(m为偶数)的伴随多项式的因式分解式,令m=2~(k-1) q-1,λ_k=(2~kq-1)+2~(k-1)qδ,讨论了图簇P_λk~(SG)∪(k-1)K_1和P_λk~(SG)的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

P■形图的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设P_n和C_n是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S~*_(r(m+1)+1)表示rP_(m+2)的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,E■表示把P_m的一个1度点与S~*_(r(m+1)+1)的r度点重迭后得到的图,可简记为E■,δ=(r+1)m+r;设n(≥3)是奇数,λ=n+2~(-1)(n+1)δ,图P■表示把2~(-1)(n+1)E■的每个分支的r+1度顶点分别与P_n的下标为奇数的2~(-1)(n+1)个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇E■∪rK_1、P■∪K_1和P■∪E■的伴随多项式的因式分解式,令n=2~(k-1)q-1,λ_k=(2~kq-1)+2~(k-1)qδ,讨论了图簇P■和P■∪(k-1)K_1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

一类w_(λδ)~S形图簇的伴随分解定理及其补图的色等价性

设Pn是具有n个顶点的路,Sδ表示有δ=r+1个顶点的星图,把Pn的n个顶点与nSδ的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到的图记为PSnδ,用wS(kn+1)δ表示kPSnδ的每个分支的两个r+1度点与星图S2k+r+1的2k个1度点依次重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了当n=2tq-1≥2时,两类图簇wS(kn+1)δ∪(2k-1)Sδ的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了它们的补图的色等价性。     

一类VSλδ形图簇的伴随分解定理及其补图的色等价性

设Pn是具有n个顶点的路,Sδ表示有δ=r+1个顶点的星图,把Pn的n个顶点与nSδ的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到的图记为PSλδ,并用VS(kn+1)δ表示kPSnδ的每个分支的一个r+1度点与星图Sr+k+1的k个1度点依次重迭后得到的图.运用图的伴随多项式的性质,讨论图簇VS(kn+1)δ∪(k-1)Sδ的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了它们的补图的色等价性.     

一类树的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S*r（m+1）+1表示rPm+2的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,E■表示把Pm的一个1度点与S*r（m+1）+1的r度点重迭后得到的图,可简记为E■,δ=（r+1）m+r;设n（≥4）是偶数,λ=（n+1）+2-1（n+2）δ,令图P■是表示把2-1（n+2）E■的每个分支的r+1度顶点分别与Pn+1的下标为奇数的2-1（n+2）个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇E■∪rK1、P■∪E■和P■∪2E■∪rK1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

图Ψ*S*（4δ,nδ）∪tSδ*的伴随多项式的分解及色等价性分析

设Pn是具有n个顶点的路,Ψ*(4,n)表示把2P3的两个2度点分别与Pn的两个1度点重迭后得到的图,Sδ*(δ=rm+1)表示把rPm+1的每个分支的一个1度点重迭在一起得到的图。用PnSδ*表示把Pn的n个顶点与nSδ*的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到的图,并用Ψ*S*(4δ,nδ)表示把图Ψ*(4,n)的n+4个顶点与(n+4)Sδ*的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到的图。运用图的伴随多项式的性质,证明了图PnSδ*∪tSδ*与Ψ*S*(4δ,nδ)∪tSδ*的伴随多项式的因式分解定理,进而得到了这类图的补图的色等价图的结构特征。     

若干图的伴随分解及色等价性

设Pm和Cm分别表示具有m个顶点的路和圈,G是任意的r阶连通图,设m是正奇数,把路Pm的标号为奇数的2-1(m+1)个顶点分别与2-1(m+1)G每个分支的第i个顶点Vi重迭后所得到的图记为ρG(i)m+2-1(m+1)r。运用图的伴随多项式的性质,首先给出了一类图簇ρG(i)(2 m+2)+((m+1)r的伴随多项式。进而令m=2t-1 q-1,λn=(2nq-1)+2n-1 qr,在讨论上述图的伴随多项式的基础上,我们证明了图ρG(i)λt和ρG(i)λt∪(t-1)K1的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了这些图类的补图的色等价性。     

V_xδω∪yω_δ形图簇的伴随分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn分别是n个顶点的路和圈,用Sk*n+1表示把kPn+1的每个分支的一个1度点重迭在一起得到的图,ωδ(δ=rm+1)表示把rCm+1中每个分支的一个1度点重迭后得到的图,并用Vω(kn+1)δ表示把图Sk*n+1的kn+1个顶点与(kn+1)ωδ的每一个分支的2r度点依次重迭后得到的图。运用图的伴随     

图簇GS*(i)j1j2…jt(p,tkm)的伴随多项式的因式分解及色性分析

令S1,k表示k+1个顶点的星,Pm表示m个顶点的路,G是任意的p阶连通图.设V(Pm)={V1,V2,…,Vm-1,Vm}及相应的度序列为(1,2,…,2,1).SP(i)km+1表示把kPm的每个分支的第i个顶点Vi分别与星S1,k的k个1度点重迭后得到的图,用GS*(i)j1j2…jt(p,tkm)表示把tSP(i)km+1的每个分支的k度点分别与图G的顶点uj1,uj2,…,ujt(t≤p)重迭后得到的图,这里p≥1,k≥2,m≥3,1≤i≤m,t≥1.我们通过讨论图簇SP(i)km+1∪(k-1)K1、SP(i)2rm+1,SP(i)(2r-1)m+1以及GS*(i)j1j2…jt(p,2rmt),GS*(i)j1j2…jt(p,(2r-1)mt)的伴随多项式的因式分解,证明了它们的补图的色等价图的结构定理.推广了张秉儒证明的文[8]中的定理2和定理4.     

图簇Gj1j2…jt^S^＊（i）（p,tkm）的伴随多项式的因式分解及色性分析

令S1，k表示k＋1个顶点的星，Pm表示m个顶点的路，G是任意的p阶连通图，设V（Pm）={V1，V2，…，Vm-1，Vm}及相应的度序列为（1，2，…，2，1）。S2km＋1^p（i）表示把kPm的每个分支的第i个顶点Vi分别与星S1,k的k个1度点重迭后得到的图，用Gj1j2…ji^S^＊（i）（p，tkm）表示把tSkm＋1^P（i）的每个分支的k度点分别与图G的顶点uj1，uj2，ujt，ujl（t≤p）重迭后得到的图，这里p≥1，k≥2，m≥3，1≤i≤m，t≥1．我们通过讨论图簇Skm＋1^p（i）,U（k-1）K1、S2rm＋1^P（i），S（2r-1）m＋1^P（i）以及Gj1j2…jt^S＊（i）（p，2rmt），Gj1j2……jt^S＊（i）（2r-1）mt）的伴随多项式的因式分解，证明了它们的补图的色等价图的结构定理，推广了张秉儒证明的文[8]中的定理2和定理4。     

两类E~G形图簇的补图的色等价性定理

设G是任意的p阶连通图,用ΨG(i)(k,p)表示把图G的第i个顶点vi与星图Sk+1的k度点重迭后得到的图(1≤i≤p),给出了图ΨG(i)(k,p)与星图Sn+1组合而成的两类EG形图簇,并通过研究这些图簇的伴随多项式的因式分解,进而证明了它们的补图的色等价性定理。     

一类一致最优完全多部图

以(n,m)表示具有n个顶点m条边的图的集合.假设图G的边可靠,而顶点可靠的独立概率为p,若对于所有1 p∈(0,1),图G均为(n,m)中的最可靠图,则称G为一致最优图.本文证明了完全k-部图K(b,(b+2)k 1)在其图类中是一致最优的,而当i>3时,完全k-部图K(b,(b+2)k 2,b+i)在其图类中不是一致最优的.     

图的Aα特征多项式系数的一个注记

设G是有n 个顶点的图,A(G)和(D)分别表示图G 的邻接矩阵和度矩阵?定义A_α ( G )= αD ( G )+( 1 -α ) A( G ),α ∈ [ 0,1 ]?图G 的A_α -特征多项式定义为矩阵A_α ( G ) 的特征多项式,即det( xI_n - A_α ( G ) ), 其中,I_n 为n 阶单位矩阵?给出了图的A_α-特征多项式的第5 个系数的组合表达式。     

子群为类正规或自正规的群

对所有子群或为类正规或为自正规的有限群(称为PS群)进行了研究,获得了这类群的一些性质,并在极大子群为幂零或内幂零的条件下获得了这类群的分类.主要结果为:设G是一个PS群,则G的极大子群为幂零或内幂零当且仅当G为下列群之一:(1)G是Dedekind群;(2)G=<α,b|=αp=bq,=1,αb=αλ,q|p-1,p|λq-1,p()λ-1>;(3)G=<α,b,c|αp=bqβ=cr=1[b,c]=[α,c]=1,1,αb=αλ,p()λ-1,p|λq-1,q|p-1,r|λ-1>;(4)G=<α,b,c|αp=bq=cr=1,[b,c]=1,αb=αλ,αc=αs,p(λ-1)(s-1),p|λq-1,p|sr-1,rq|p-1>,q＞r;(5)G=<α,c|αq=crn=1,αr=αλ,q()λr-1,q|λr2-1,r2|q-1>,n≥2;(6)G=<α,c|αq2=crn=1,αc=αλ,q()λ-1,q2|λr-1,r|q-1>;(7)G=<α,b,c|αq=br=crn-1=1,[α,b]=[b,c]=1,ac=αλ,q()λ-1,q|λr-1,r|q-1>,n≥2;(8)G=<α,b,c|αq=b4=c4=1,b2=c2,[α,b]=1,αc=α-1,bc=b-1>,q是奇素数;(9)G=<α,b,c|αp=bq=crn=1,[α,b]=1,αc=αλ,bc=bλ,p()λ-1,q()λ-1,pq|λr-1,r|p-1,r|q-1>.     

图的Aα特征多项式系数的一个注记

设G是有n 个顶点的图,A(G)和(D)分别表示图G 的邻接矩阵和度矩阵?定义A_α ( G )= αD ( G )+( 1 -α ) A( G ),α ∈ [ 0,1 ]?图G 的A_α -特征多项式定义为矩阵A_α ( G ) 的特征多项式,即det( xI_n - A_α ( G ) ), 其中,I_n 为n 阶单位矩阵?给出了图的A_α-特征多项式的第5 个系数的组合表达式。     

Mobius梯的(d,1)-全标号

图G 的(d,1)-全标号是从V(G)∪E(G)到非负整数的函数,且满足：(i) G中任意2个相邻顶点的标号不同;(ii) G中任意2个相邻边的标号不同;(iii) 顶点与其关联边的标号差至少为d.(d,1)-全标号的跨度是标号差的最大值. G 的(d,1)-全标号数是G的所有(d,1)-全标号的最小跨度,记为λ^T_d(G).本文完全给出了Mobius梯的(d,1)-全标号数.     

若干运算图的倍乘赋权Harary指标

ALIZADEH等近期提出了一个修正的Harary指标,即顶点对的贡献被赋予其度的乘积.其指标被称为倍乘赋权Harary指标,定义为H_M（G）=Σ_u≠v（δ_G（u）δ_G（v））（d_G（u,v））,其中,δ_G（u）表示顶点u在图G中的度,d_G（u,v）表示2个顶点u和v在图G中的距离.给出了张量积G×K_r,强积GK_r,圈积G₁oG₂的倍乘赋权Harary指标值的精确计算公式,这些公式与图的其他不变量（如倍加赋权Harary指标、Harary指标、第1类和第2类Zagreb指标、第1类和第2类反Zagreb指标）有关.此外,利用所得结果计算了开栅栏与闭栅栏的倍乘赋权Harary指标.     

关于图的边着色的一个猜想

若G是简单图,v(G)是偶数,χ'(G)=?(G)+1,则存在点v∈V(G),使χ'(G-v)=χ'(G)=?(G)+1.本文对此进行了研究,当图G满足以下条件之一时:(1)设G是含有割边的连通图,χ'(G)=?(G)+1;(2)设G是连通图,κ'(G)=2,G中最多除两个2度顶点外,其它顶点的度数均为k(k2),v(G)=2n+2,χ'(G)=?(G)+1;(3)设图G是k正则图,v(G)=2n+2,χ'(G)=?(G)+1;(4)设图G是有2n+2个顶点的连通图,且除点v的度小于k外,其它顶点的度都等于k,χ'(G)=?(G)+1;(5)设图G是有2n+2个顶点的连通图,且除点u,v,d(v)d(u)k外,其它顶点的度都等于k,χ'(G)=?(G)+1;此猜想也是成立的.     

插值多项式对函数|x|α的逼近

研究插值多项式对| x |α达到最佳逼近度的一种构造方法,证明了对n=2m,m∈N,有Fn(α)＜Ca,n/na,其中F2m(α)=max-1≤x≤1| | x |α-R2m(x)|,R2m(x)是以x0=0,xj=cos(j-1/2)π/2m(j=1,2,…,n)为插值结点的对|x |α的Lagrange插值多项式,且limn→∞Cα,n=π(a+3)+(π/2)α-1.