Über die Summe der Potenzen der natürlichen Zahlen

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Über die Zerlegung der natürlichen Zahlen in Primfaktoren

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Über das harmonische Mittel der Teiler einer natürlichen Zahl

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Über das harmonische Mittel der Teiler einer natürlichen Zahl II

Ohne ZusammenfassungDiese Untersuchungen sind durch verschiedene Diskussionen mit HerrnH.-E. Richert gefördert worden. Dafür möchte ich an dieser Stelle HerrnRichert meinen Dank aussprechen.     

Ein Satz über Teilfolgen der Reihe der natürlichen Zahlen

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Über einen Productausdruck,dessen Grenzwert die Basis der natürlichen Logarithmen ist

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Die Identitätsbedingungen der natürlichen Gepmetrie

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Zum natürlichen Dimensionsbegriff

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Über die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl,welche die Formp−1 haben

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Über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe einer quadratfreien Zahl und eines Primzahlquadrates

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Übersicht über die Strahlenbelastung des Atemapparates durch Inhalation von natürlichen Radionukliden

Zusammenfassung Während der letzten zwanzig Jahre haben die Arbeiten über die Strahlenbelastung der Atmungsorgane durch die inhalierten natürlichen Nukliden Radon, Thoron und Folgeprodukte an Bedeutung zugenommen, weil die im respiratorischen Trakt, hauptsächlich durch die Wirkung der-Strahlen entstehenden Dosen, auch bei der allgemeinen Bevölkerung Werte erreichen, die vergleichbar oder sogar höher sind als die jährlichen mittleren Expositionen einer Population durch röntgendiagnostische Untersuchungen.Mit der Übersicht wird versucht, die wichtigsten Überlegungen kurz zusammenzufassen, die zur Bestimmung und Interpretation der erwähnten Strahlendosen führen. Nach einer kurzen Einführung in die physikalischen Eigenschaften der natürlichen radioaktiven Nukliden, die mit der Atmungsluft in die Bronchien und Lungen gelangen (RN-220 - Thoron - und Folgeprodukte) und der Deposition und Clearance der Nukliden (oft an Aerosole gebunden), werden die anatomischphysiologischen Eigenschaften der Lungenmodelle erörtert, dank welchen es möglich ist, die von den-Strahlen im Bronchien- und Lungenepithel deponierten Energiemengen, d.h. Dosen, zu berechnen. Außerdem werden die Retentionsmechanismen der Radionukliden (als freie Ionen oder als Aerosole) kurz beschrieben und schlußendlich die Berechnungen zur Bestimmung der an den Wänden des respiratorischen Traktes verbleibende Radioaktivitätsmenge erläutert.Die Aufstellung von dosimetrischen Modellen bedingt relativ präzise Kenntnisse über die Dicke der Mucusschichten bzw. über die Verteilung der Nukliden im Mucus, über die Bewegung der Zilien, über die Tiefe im Gewebe der strahlenempfindlichen Zellen, usw.Anhand der Lokaldosen ist es dann möglich die Regionaldosen für Bronchien, Lungen und andere Organe (via Blut, von den Nukliden vor der Ausscheidung erreichbar) für die Folgeprodukte des Rn-222 und des Rn-220 approximativ zu berechnen.Die Bestimmung der mittleren effektiven Äquivalentdosis setzt u.a. Kenntnisse der Konzentration der Nukliden in der eingeatmeten Luft und der mittleren Atmungsfrequenz der Personen einer Bevölkerung voraus.Am Schluß werden einige kurze Bemerkungen zur ev. kanzerogen Wirkung der-Dosen auf die einzelnen Personen einer Bevölkerung (Grubenarbeiter nicht miteinbezogen) bzw. zur schwierigen epidemiologischen Interpretation der vorhandenen Angaben gemacht.

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Summary During the last twenty years, work carried out on radiation exposure of the respiratory tract due to the inhaled, naturally occurring nuclides radon, thoron and short-lived daughters has become increasingly important, because the doses received in the respiratory tract, due mainly to the effect of rays, reach values among the general population which are comparable to or even higher than the average exposures per year of a population undergoingX-ray diagnostic examinations.In this survey an attempt is made to bring together briefly the most important considerations leading to the determination and interpretation of these radiation doses. A brief introduction to the physical characteristics of the natural radiation nuclides reaching the bronchi and lungs with the inhaled air (Rn-220 - thoron and short lived daughters), and the deposition and clearance of the nuclides (often linked to aerosols), is followed by a discussion of the anatomical/physiological characteristics of the lung models, thanks to which it is possible to calculate the energy quantities (ie. doses) deposited by the rays in the epithelium of the lungs and bronchi.In addition the retention mechanisms of the radionuclides (as free ions or as aerosols) are briefly described, and finally the calculations to determine the quantity of radioactivity remaining on the walls of the respiratory tract are given.The construction of dosimetric models requires relatively precise knowledge of the thickness of the mucus layers and of the distribution of the nuclides in the mucus, the ciliary movement, the depth in the tissue of the radiation-sensitive cells etc.On the basis of local doses it is then possible to calculate approximately the regional doses for bronchi, lungs and other organs (via blood, accessible by the nuclides before excretion) for the short lived daughters of Rn-222 and Rn-220.Determination of the mean effective dose equivalent requires, amongst other things, knowledge of the concentration of the nuclides in the inhaled air and the mean respiratory frequency of the members of a population.At the end a few brief remarks are made concerning the cancerogenic effect of the doses on the individual members of a population (excluding mineworkers) and on the difficulty of making epidemiological interpretations of the available data.

     

Die Arithmetik der natürlichen Zahlen im Rahmen der Theorie der Verbände

Ohne ZusammenfassungDieser Vortrag wurde am 22. Mai 1943 vor der Philosophischen und Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Münster gehalten als Grundlage für das Kolloquium zur Erwerbung des Dr. rer. nat. habil.     

Untersuchungen über die natürlichen Gleichungen krummer Flächen

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Über zwei neue projektive natürliche Geometrien

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Eine Bemerkung über den Kalkül des natürlichen Schließens

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Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen

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Über eine Klasse von Folgen natürlicher Zahlen

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Über die kleinste natürliche Zahl maximaler Ordnung modm

modm. Ifm is natural,a an integer with (a, m)=1 put $$\begin{gathered} {}^om(a): = min\{ h\left| {h \in \mathbb{N},} \right.a^h \equiv 1(modm)\} , \hfill \\ \psi (m): = \max \{ o_m (a)\left| a \right. \in \mathbb{Z},(a,m) = 1\} , \hfill \\ g(m): = \min \{ a\left| {a \in \mathbb{N},(a,m) = 1,o_m (a) = } \right.\psi (m)\} . \hfill \\ \end{gathered} $$ Form prime,g(m) is the least natural primitive root modm. We establish the estimation $$\sum\limits_{m< x} {g(m)<< x^{1 + \varepsilon } .} $$      

Über die Begründung der Mengenlehre

Ohne ZusammenfassungVorgetragen am 18. Sept. 1933 bei der Deutschen Mathematikertagung in Würzburg.     

Über den Aussagenkalkül der Experimentalaussagen

Ohne ZusammenfassungExzerpt eines auf der Tagung für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Marburg, Nov. 1954, gehaltenen Vortrages.