朗古莱定理及其推广的解析证法研究

西摩松(R.Simson,1687年-1768年)是英国数学家.以他的名字命名的西摩松定理即:过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线,则三垂足共线.这条直线习惯地称为该三角形的关于外接圆上任意一点的西摩松线.西摩松定理的推广较多,本文仅介绍西摩松定理的一个推广——朗古莱定理及其推广.     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

闭折线中的塞瓦定理

塞瓦定理设ΔABC的顶点A、B、C和不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连结而成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们延长线交于点P、Q、R,则有BPPC·QCAQ·RABR=1.本文拟将这一著名的定理推广至一般的平面闭折线中.本文约定:符号A(n)表示平面内的任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理设闭折线A(n)的顶点A1与不在各边或它们的延长线上的一点S连结而成的直线,与直线Ai-1Ai 1交于点Pi(i=1,2…,n,An 1为A1,A0为An),则有∏ni=1Ai-1PiPiAi 1=1为证明该定理,将引用下列基本结论:设ΔA1A2A3的项点A2和不在三角形的边或它们的延…     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

三角形内外心连线的一个性质

平面几何中,关于三角形有不少著名的富有趣味性和启发性的定理,例如关于外心、重心和垂心共连(Euler线)的定理,关于三角形外接圆上的任意点在三边上的射影共线(Si mson线)的定理,等等[1,2].本文将要提出并证明的是关于三角形外心和内心的连线的一个特殊性质,见下面的定理1.定理1过不等边三角形外心和内心的直线是具有以下性质的点的轨迹:该点在三角形三边或其延长线上的射影将三边分为六段,其中相互间隔的三个有向线段的长度的代数和等于另外三个有向线段的长度的代数和.如图1所示,O、I分别为△ABC的外心和内心,P为△ABC所在平面内的一…     

三角形的“等积点”及其性质

1走义设P是否ABC所在平面内的一点，若a·PA＝b·PB＝c·PC．则称P是ABC的等积内．2等积点的性质性质1三角形的等积点在各边上射影所成三角形是等边三角形．证设P是ABC的等积点，作PH上BC、PE上CA、PF上AB，D、E、Fg重定，如图1．A、F、P、E四点并圆，目PA是直径，田正弦定理，同理可后田等积点的定义得性质2三角形的节税点对自边的张角号段边所对角的差相等，目差为6O”．证设P是否ABC形内的等积点，如图1．由四点并圆可得注（1）当等积不P在西ABC内的，田性质28MAPB—60”＋fAM180o，上AM120“，老等．即有max｛A…     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

一道源于课本习题的中考试题——孝感市2011年中考数学第23题评析

1 课本习题义务教育课程标准实验教科书人教版九年级数学上册P95习题24.1中第11题是:例1 如图1,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC的形状并证明你的结论.在上述问题中,易知△ABC为等边三角形.利用这一结论,并过点C作BP的平行线与PA的延长线相交,就得到2011年孝感市中考数学试卷中的第23题.     

康托定理的推广

文献[1]收录了下面两个共点线命题:命题1一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周在其余一点处的切线所引的垂线都交于同一点.命题2一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心,向余下两点的连线所引的垂线都交于同一点.其中命题2被称为康托定理[1].本文拟对这两个命题作进一步推广,为此,     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

三角形中的“投影点”与“四心点”的关系

在三角形ABC所在平面内任取一点P,从它向三边BC,CA,AB分别作正投影,得三个垂足点D,E,F,我们称△DEF为投影三角形,而叫P为投影点,所谓三角形的“四心点”是指三角形的重心、垂心、外心和内心,本文试图探讨投影点与四心点之间的某些关系以及与它们相关的三角形的一些性质。为简单起见,记BC=a,AC=b,A,B=c,A,B,C则表三角形之三角。S表面积,h_a,h_b,h_c则表示三边上的高线长,R,r相应的为外接圆与内切圆半径。记     

Morley定理的一种极限形式

美轮美奂的Morley定理[1]称:图1一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点.(如图1)该定理一经问世,便一直为人们所津津乐道,的确不失为一个令人惊讶的数学定理.图2然而笔者发现,若将通常定义的三角形予以某种拓广:如将其一顶点A置于“无穷远点”,即通常所谓二平行直线A1B∥A2C被直线BC所截,得到折线图形A1BCA2(如图2).与直线A1B,A2C距离相等的点的轨迹,即“正中”平行线l仍然保持通常定义下的三角形的“角”平分线的某些性质.如:l与两角∠C,∠B的平分线三线相交于同一点I,此点到三“边…     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

比例线段问题——从梅涅劳斯定理谈起

<正>定理设A′,B′,C′分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点,若三点在一条直线上,则BA′/A′C·CB′/B′A·AC′/C′B=1.在平面几何中,梅涅劳斯定理应用广泛,是导出线段比例式的重要途径之一.下面,我们就从图形的结构变化的角度,谈谈梅涅劳斯定理的应用.首先,应用时准确找到直线与对应三角形是解题的关键!定理也可以这样理解:如图2,直线DEF分别交△ABC三边所在直线于D,     

这是组合问题吗?

题目　一张三角形纸片内有 99个点 ,连同原三角形的顶点这 10 2个点无三点同在一直线 ,若以这些点为三角形顶点 ,把这张三角形纸片剪成小三角形 ,这样的小三角形共有(　　 ) .(A) 3 0 0个　　　 (B) 17170 0个(C) 2 0 1个　　　 (D) 199个许多同学看到上面这道题都会有这样错误的想法 :因为 10 2个点无三点共线 ,所以由组合知识知这样的小三角形共有C31 0 2 =17170 0个 ,选 (B) .其实 ,这不是一个组合问题 .如图 ,△ABC内有四点D、E、F、G ,这四点无三点共线 ,它们能组成四个不同的三角形 ;但以这些点为顶点能否剪下四个不同的三角形…     

四棱柱侧棱上四点共面的一个充要条件

四棱柱侧棱上四点应满足什么条件才能共面呢 ?本文得到如下定理 .定理　设 A0 、B0 、C0 、D0 分别为四棱柱侧棱 A1A、B1B、C1C、D1D上的点 ,底面对角线AC、BD交于点 P,且APPC=λAC、BPPD=λBD,则 A0 、B0 、C0 、D0 四点共面的充要条件为A1A0 +λAC .C1C01 +λAC=B1B0 +λBD .D1D01 +λBD.证明　如图 1所示 ,设对角线 A1C1、B1D1的交点为 P1,则由A1A0 ∥平面 BB1D1D知P1P∥ A1A∥ B1B∥C1C∥ D1D.( 1 )必要性图 1若 A0 、B0 、C0 、D0 四点共面 ,由于 P1P是平面 A1ACC1与平面 B1BDD1的交线 ,且 A0 C0 …     

绕圆台侧面一周最短路程计算的研究

1　问题的提出习题　已知圆台的母线长为 2 ,上、下底面半径分别为 1和 2 ,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .为了便于研究 ,把问题一般化 :“已知圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r′和r,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .”(如图 1 )2　解决方法这是求几何体表面两点间最短距离问题 ,考虑到圆台侧面可展开成平面图形 (一个扇环 ) ,因此 ,把空间问题化为平面问题来解决 ,只需求这个扇环上相应两点间的最…     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…