换元法在解题中的应用

换元法是在解题时引入新变量,借助新变量进行解题的方法.换元思想的本质是把复杂、不熟悉的问题转化为简单、解决起来顺手的问题.“难题”并非无本之木,借助于换元法,总可以寻到蛛丝马迹,将难题转变为熟悉的形式.本文中结合几个典型案例,从“为何换元”“如何换元”“求解步骤”三个方面介绍了换元法在解题中的应用.     

双换元法解题

换元法是借助辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.解题中若能灵活、巧妙有意识地运用,则能化隐为显、化繁为简,从而化难为易使问题迎刃而解.数学“思想”能够指导“思维”活动,寻得解题“方法”.本文例谈在数学思想指引下进行双换元法解题,供同学们参考.     

在教学过程中体现数学思想

数学的学习过程是一个不断进行同化和顺应的过程,即把新的学习内容纳入到自身原有的认知结构中,同时调整和改造原有的认知结构以便适应新的学习内容.这种同化和顺应的过程就是转换和化归,而转换和化归正是数学思想.可见数学思想是时时刻刻存在于我们的学习过程中的,并不是多么神秘的事, 在中学学习的数学思想主要有换元思想,方程思想,集合思想和数形结合思想. 一、换元思想 换元是代数思想的升华和妙用,是沟通不同的数学形式的桥梁,在解题中具有“减元,降次,转化,简化”等功能.掌握换元思想有利于培养学生思维的灵活性的创造性.换元思想主要有以下几种形式.     

“换元”与“转化”联手解题举隅

“换元”与“转化”联手解题举隅唐海川（湖南浏阳一中４１０３００）转化思想和换元法是《数学考试说明》中明确要求学生掌握的重要数学思想和方法．解题实践表明，换元不仅能为转化提供思维方向，而且和转化联手使用时，往往能够达到化繁为简，化难为易的目的．下面让我...     

利用增元代换巧解题

换元法是数学中常用的一种解题方法,在解题时我们会尽量减少未知元的个数使问题得解,而增元代换却反其道而行之,它往往在原题的基础上再增设几个元,以替换原已知条件,或改换命题方向,以达到求解之目的,现举例如下．     

例谈换元法在一类问题中的应用

<正>著名数学家G·波利亚曾说过,解题的成功要靠正确的转化.这里的转化其实就是一种重要的数学思想——化归思想.换元法是化归思想中常用的方法之一.恰当的换元往往能使问题化繁为简,变生为熟,从而有利于问题的解决.下面是笔者最近编拟的一道题:题目在直角坐标系xOy中,已知曲线C     

从结构分析到解法生成——以2023年北京中考27题为例

<正>数学试题一般都有其明显的结构特征.我们通过梳理已有条件,观察外部特征,分析深层结构,融合知识系统,可以发现问题的本质规律,从而确立解题思路.解题过程即为将试题“结构”进行“解构”的过程.下面我们以2023年北京中考27题为例,做结构分析,尝试解题.     

学会运用换元法

<正>同学们知道,换元法是中学数学中最为常见的也是基本的数学方法之一.通常情况下,一个数学问题,通过某种换元,不但可以简化问题的表述形式,而且更为容易地透过问题情境,揭示问题本质.因此,面对一个数学问题,增强换元解题意识,正确地使用换元方法,是在解题过程中应当关注的.那么,利用换元法     

试谈“换元”在初中数学中的地位

在初中数学教学中,谈到“换元”会马上想到用换元法解某些特殊方程。其实“换元”作为一种数学的思想方法,不仅出现在解某些特殊方程中,还渗透、隐含在初中数学的其它的内容之中。我们试从教材与教学的角度谈谈“换元”思想的渗透及“换元法”的应用。一、“换元”作为一种数学思想、早已渗透在解方程之前的代数内容之中。我们可以找到其渗透的痕迹。 1.用字母表示数、求代数式的值,尽管是用“字母(元)”替换“数”或用“数”替换“字母(元)”,其实都可看作是“换元”意识的表现。 2.代入消元法解方程组中的“代入”渗     

用换元法解分式方程

“换元”是解方程的一个重要方法,常使不易解的方程经换元后变得易解用换元法解分式方程大体可分为以下四种类型一、倒数换元“义务”教材初中代数第三册P45例2介绍了倒数型分式方程的解题方法,这里再举一例.     

不走寻常路 不一样的精彩——例谈避免分类讨论的解题策略

分类讨论是一种重要的数学思想方法,对于其中有些问题,因为分类讨论论述较长,讨论过程往往十分烦琐,而且容易讨论不完整造成解题失误.但如果我们把学习数学注入"生命"的灵动,注意克服思维定势,力求简化分类讨论甚至避免分类讨论,以求解法的简捷,从而提高解题速度和解题的准确性.因此,我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时,要注意如何避免讨论,本文从几个方面论述,避免讨论的对策,以供参考.一、换个视角更换主元避免分类讨论     

三角换元法的应用

对含有某角的三角函数的偶次幂的三角函数式,通过“换元、降次”,将其转化为代数式来求解,往往使得解题简捷。反过来,有的数学问题,通过三角换元后,化为三角函数式问题来处理,这种方法,叫做三角换元法。三角换元法是高等数学中的一种重要方法,在初等数学中也有着较广泛的应用。有的问题应用三角换元法去解,不仅可化难为易,使得解题简便,而且能让学生养成“一题多解”的习惯,开扩视野,发展思维,加深对函数概念和等价变换更加探入的理解。现从以下几个方面举例说明。     

三角代换并不总是那么可爱

“在数学的很多分支里,都有用三角法解题的实例．利用三角法,会使解题显得简单、明了．”许多作者常常这样写道,并列举许多例子以示之．对于教师而言,三角是“熟悉地带”,那么多的恒等变换公式信手拈来,实在过瘾．不过我们也应该看到,三角代换的本质就是一种换元,用得好就简单,若是牵强使用,即使是把你领到“熟悉地带”,也会拐弯抹角地把你累得气喘嘘嘘．     

平面解析几何中“降维”思想的应用

在高中平面解析几何中,“降维”转化的思想非常重要.象我们所熟知的将三维立体几何问题转化为二维平面几何问题一样,平面解析几何往往将二维问题转化到一维坐标轴上解决问题,这就是降维转化思想.应用“降维”转化的思想,可简化解题思路,使计算方便快捷.     

三元最值问题的解题策略

<正>最值问题一直是高考的热点,也是难点.一元最值问题主要以函数知识为命题背景,借助导数等函数相关知识进行解题;二元最值问题常以不等式相关知识为命题背景,借助常用不等式解题,也可利用换元思想解题;三元最值是一类背景知识丰富的问题,所以其解法也灵活多样、既有体现数学技巧的,也有通性通法的.此类问题对于学生是个难点,本文借由两道高考题,展开对三元最值问题解题策略的     

借形解题的几点注意

借形解题是以“形”研究“数”,它使我们可以借助直观,从整体上、本质上透视问题,十分有利于问题的解决.但是,如果忽视了图形的正确性、存在性、完整性和简洁性往往会使解题陷入困境或导致错误.1注意图形的正确性例1设t>0,求坐标平面上的两点A t 1t,t-1t,B(-1,0)之间的距离的最     

习题"磨"炼结构"谋"法

借用一句"成事在天、谋事在人"的谚语.数学解题乃是习题磨炼、结构谋法.数学结构,是指数学中的概念、公式、图形、程序以及一切数学法则、定律、定理的内在本质的形式化,在数学教学中,引导学生关注式的结构、图形的结构和程序结构的层次性、相似性、独立性、关联性,可以深刻体会数学思想,感悟数学本质,明确思维方向,从而优化解题策略,缩短思考时间,提高解题能力.     

“恒成立”问题的几种转化途径

在高中数学的学习过程中经常会碰到“恒成立”的问题,学生往往会感到困难．因此教师要帮助学生领会问题实质,把握问题的思维特点．实际上,“恒成立”问题的思维特点和解题的突破口就在一个“恒”字上,解决此类问题经常涉及到一次函数、二次函数的性质和图像,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于培养学生的综合解题能力,在提高思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．     

代换的魅力

<正>在解题中,代换是一种常用的数学方法.通过代换,常常可以使问题的形式得以转换,从而透过表象更易看清问题的本质;通过代换,也能够让量与量之间得以沟通,使代换充当一种牵线搭桥的作用,从而使问题的解决峰回路转.本文将借助代换来解决几个数学问题,以赏析代换在解题中的内在魅力.一、牵线搭桥对于某些涉及有相互关联的多变量(式)的数学问题,借助代换,往往可以使这多个多变量(式)沟通起来,这时,代换就彰显了一种穿针引线的魅力.     

转化思想在初中数学解题中的应用

在初中数学解题中,转化思想是一种重要的数学思维.解题中常见的转化方式有:直接转化、降次转化、换元转化与数形转化.在教学中,教师应注重转化的原则和提问方式,适时渗透转化思想,以帮助学生在解题时恰当运用转化方式.