Algorithm Research Based on the PDE Sensitivity Filter北大核心CSCD

采用PDE灵敏度滤波器可以消除连续体结构拓扑优化结果存在的棋盘格现象、数值不稳定等问题,且PDE灵敏度滤波器的实质是具有Neumann边界条件的Helmholtz偏微分方程.针对大规模PDE灵敏度滤波器的求解问题,有限元分析得到其代数方程,分别采用共轭梯度算法、多重网格算法和多重网格预处理共轭梯度算法对代数方程进行求解,并且研究精度、过滤半径以及网格数量对拓扑优化效率的影响.结果表明：与共轭梯度算法和多重网格算法相比,多重网格预处理共轭梯度算法迭代次数最少,运行时间最短,极大地提高了拓扑优化效率.     

等几何分析的多重网格共轭梯度法

提高NURBS基函数阶数可以提高等几何分析的精度,同时也会降低多重网格迭代收敛速度.将共轭梯度法与多重网格方法相结合,提出了一种提高收敛速度的方法,该方法用共轭梯度法作为基础迭代算法,用多重网格进行预处理.对Poisson(泊松)方程分别用多重网格方法和多重网格共轭梯度法进行了求解,计算结果表明:等几何分析中采用高阶NURBS基函数处理三维问题时,多重网格共轭梯度法比多重网格法的收敛速度更快.     

基于Riccati-Bernoulli辅助常微分方程的Davey-Stewartson方程的行波解

Riccati-Bernoulli辅助常微分方程方法可以用来构造非线性偏微分方程的行波解.利用行波变换,将非线性偏微分方程化为非线性常微分方程, 再利用Riccati-Bernoulli方程将非线性常微分方程化为非线性代数方程组, 求解非线性代数方程组就能直接得到非线性偏微分方程的行波解.对Davey-Stewartson方程应用这种方法, 得到了该方程的精确行波解.同时也得到了该方程的一个Backlund变换.所得结果与首次积分法的结果作了比较.Riccati-Bernoulli辅助常微分方程方法是一种简单、有效地求解非线性偏微分方程精确解的方法.     

线性常微分方程的全局误差估计和优化求解方法

线性常微分方程初值问题求解在许多应用中起着重要作用.目前,已存在很多的数值方法和求解器用于计算离散网格点上的近似解,但很少有对全局误差(global error)进行估计和优化的方法.本文首先通过将离散数值解插值成为可微函数用来定义方程的残差;再给出残差与近似解的关系定理并推导出全局误差的上界;然后以最小化残差的二范数为目标将方程求解问题转化为优化求解问题;最后通过分析导出矩阵的结构,提出利用共轭梯度法对其进行求解.之后将该方法应用于滤波电路和汽车悬架系统等实际问题.实验分析表明,本文估计方法对线性常微分方程的初值问题的全局误差具有比较好的估计效果,优化求解方法能够在不增加网格点的情形下求解出线性常微分方程在插值解空间中的全局最优解.     

求解Navier-Stokes方程最优控制问题的移动网格方法

提出了一种受偏微分方程约束最优控制问题的移动网格方法,并以NavierStokes方程为状态方程进行了研究.所采用的网格移动策略中节点距离的移动是通过求解一个扩散方程得到.设计出了有效的求解流体力学最优控制问题的算法,给出了算法的实施过程.提供的数值算例说明所提算法可以在保证高精度数值解的前提下稳定、高效的求解最优控制问题.     

一类具波动算子非线性Schr?dinger方程的精确解

研究一类具波动算子非线性Schr?dinger方程的精确解问题.引入Jacobi椭圆函数组合及双曲函数组合方法,将其应用于求解具有波动算子的非线性Schr?dinger方程中.通过简单代数运算,可以得到具有波动算子非线性Schr?dinger方程的许多新解,并在极限情况下,给出了该方程对应的双曲函数解.同时得出了双曲函数组合解是Jacobi椭圆函数组合解情况下的极限解的结论.该方法可以推广到更多非线性偏微分方程精确解求解问题.     

求解非线性Black-Scholes模型的自适应小波精细积分法

针对非线性Black-Scholes方程,基于quasi-Shannon小波函数给出了一种求解非线性偏微分方程的自适应多尺度小波精细积分法.该方法首先利用插值小波理论构造了用于逼近连续函数的多尺度小波插值算子,利用该算子可以将非线性Black-Scholes方程自适应离散为非线性常微分方程组;然后将用于求解常微分方程组的精细积分法和小波变换的动态过程相结合,并利用非线性处理技术(如同伦分析技术)可有效求解非线性Black-Scholes方程.数值结果表明了该方法在数值精度和计算效率方面的优越性.     

二维非饱和土壤水分运动方程的径向基配点差分法

针对二维非饱和土壤水分运动方程,将径向基配点法结合差分法构造了一种新的数值算法.该算法先采用差分法处理非线性项,再利用径向基函数配点法的隐格式求解方程,避免了因非线性项的存在导致不能直接使用配点法的现象,并且证明了该算法解的存在唯一性.通过对非饱和土壤水分运动的数值模拟,并采用试验数据对新算法进行了验证,模拟结果与试验结果非常吻合,表明该算法实用、有效.同时,比较分析了不同径向基函数以及不同算法的模拟精度,结果表明,与MQ函数和Guass函数相比,新的径向基函数具有更好的模拟精度,且相对于有限差分法和有限元法,本文提出的方法具有一定的优越性.     

A Space-Time Polynomial Collocation Method for Solving 3D Burgers Equations北大核心CSCD

Burgers方程是一类应用广泛的非线性偏微分方程,方程中的非线性项难以处理。该文提出一种新的时空多项式配点法——多项式特解法求解三维Burgers方程。求解过程分为两步:第一步,对三维Burgers方程中的线性导数项(包括时间导数项),求出相应的多项式特解。第二步,将求出的多项式特解作为基函数,对三维Burgers方程中剩余的非线性项进行迭代求解。与时空多项式函数作为基函数对三维Burgers方程进行直接求解相比,该算法简单易行,得到的近似解精度非常高,算法极其稳定,对于教学过程中提高学生的编程能力,加深对高维Burgers方程的理解能力以及Burgers方程的实际应用具有重要意义。     

RBF-PU方法求解二维非局部扩散问题和近场动力学问题

采用单位分解径向基函数(radial basis function partition of unity,RBF-PU)方法,数值求解了二维非局部扩散问题和近场动力学问题。主要思想是对求解区域进行局部划分,在局部子区域上分别进行函数逼近,然后加权得到未知函数的全局逼近。这种基于方程强形式的径向基函数方法在求解非局部问题时,不需要处理网格与球形邻域求交的问题,避免了额外的一层积分计算,实施简便,计算量小。数值实验显示计算结果与解析解吻合较好,RBF-PU方法可以准确有效地求解非局部扩散方程和近场动力学方程。     

非线性波方程准确孤立波解的符号计算

该文将机械化数学方法应用于偏微分方程领域，建立了构造一类非线性发展方程孤立波解的一种统一算法，并在计算机数学系统上加以实现，推导出了一批非线性发展方程的精确孤立波解．算法的基本原理是利用非线性发展方程孤立波解的局部性特点，将孤立波表示为双曲正切函数的多项式．从而将非线性发展方程（组）的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题．利用吴文俊消元法在计算机代数系统上求解非线性代数方程组，最终获得非线性发展方程（组）的准确孤立波解.     

基于Gauss全局径向基函数的近岸浅水变形波高数值计算新方法

应用Gauss全局径向基函数来模拟波浪浅水变形波高变化方程中的未知函数,经实例分析探讨得到了一种可用于求解该方程数值解的新方法,并将其计算结果与常用数值分析方法得到的数值解相互对比印证,证明了基于Gauss全局径向基函数法计算结果的正确性.经验证,Gauss径向基函数法的平均计算误差相比其他方法均要小,表明该方法拥有更高的计算精度.同时,根据Gauss全局径向基函数的逼近结果,得出了浅水变形波高变化微分方程数值解的拟合函数,在实际工程中,可以利用该拟合函数来代替原方程的解析解,研究成果可为求解近岸浅水区域波浪运动提供一种新思路.     

带移动奇异源热方程的移动网格方法

研究了一个带若干奇异源热方程的数值求解,其源的移动由一个常微分方程描述.基于移动观察区域和区域分解思想提出了一个移动网格预估校正算法.网格方程可自然的通过并行高效求解,算法避免了跳跃信息[u]的计算而使物理方程的离散格式变得非常简单,且仍保持了空间上的二阶收敛性.数值例子验证了算法的收敛性和高效性,并模拟了非线性源函数带来的爆破现象.     

双参数Morley有限元多重网格法

1、引言 多重网格方法是求解偏微分方程的高效快速算法,在实际中得到广泛应用．[2][6]中考察了Morley元的多重网格方法,并用于双调和方程问题。     

基于参数化水平集法的材料非线性子结构拓扑优化

针对利用传统水平集法进行非线性结构拓扑优化计算过程复杂及计算效率低等问题,将参数化水平集方法引入材料非线性结构拓扑优化中。通过全局径向基函数插值初始水平集函数,建立了以插值系数为设计变量、结构的应变能最小为目标函数、材料用量为约束条件的材料非线性结构拓扑优化模型,利用有限元分析对材料非线性结构建立平衡方程,并用迭代法求解。同时,采用子结构法划分设计区域为若干个子区域,将全自由度平衡方程的求解分解为缩减的平衡方程和多个子结构内部位移的求解,减小了计算成本。算例表明,这种处理非线性关系的方法可以在保证数值稳定的同时提高计算效率,得到边界清晰、结构合理的拓扑优化构形。     

结构动力响应中急动度的计算

急动度(jerk)在工程实践中具有重要的意义.将径向基函数逼近与配点法相结合,发展了一种能够有效求解动力响应的数值算法.该方法使用径向基函数插值来逼近真实的运动规律,能够用于急动度和急动度(三阶)方程的计算,弥补了传统的数值方法无法计算急动度的不足.并针对微分方程的特点,提出了改进的多变量联合插值函数,同时添加与微分方程同阶的初值条件,可显著减小数值震荡.算例表明,该方法具有计算过程简单、精度高的特点,同时对急动度方程也有很好的适用性.     

求解复系数椭圆方程的两层网格算法

<正>1引言两层网格方法是用来求解非对称不定问题和非线性问题的一种非常有效的数值方法[1,2].其主要思想是,借助于两层网格空间,将细网格上的复杂问题转化为求解一个细网格空间的简单问题和一个粗网格上的问题.由于粗网格空间相对于细网格空间很小,所以减少了计算代价,并且仍能得到原问题的最优解.因此,两层网格算法被广泛研究并被用于求解多种问题,例如,求解非对称和非线性椭圆方程[1,2,3,4],非线性弹性方程[5],Navier-Stokes方程[6,7,8]及特征值问题[9,10].HSS迭代方法是求解大规模稀疏非埃尔米特正定     

常微分方程近似解的LS-SVM改进求法

提出一种基于最小二乘支持向量机(LS-SVMs)的求解常微分方程近似解的改进方法.该方法首先通过离散计算域,将常微分方程转换为有约束条件的目标优化问题,然后利用径向基(RBF)核函数可导的性质,用带有导数形式的LS-SVM模型将此优化问题转化为LS-SVM回归问题,进而进行求解.最终得到的闭式近似解具有精度高、连续可微、结构简单且形式固定的特点.该方法适用于任意阶非刚性和奇异的线性常微分方程初值问题和边值问题,以及一阶非线性常微分方程问题.仿真结果验证了该方法具有良好的有效性.     

求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁方法

简单介绍了应用一个简洁的“试探函数法”求解非线性偏微分方程的基本步骤,主要研究了两大类方程,一类是Burgers方程或KdV方程的推广,另一类是具有特殊非线性反应率的Fisher方程.不难看出,这个方法是简洁的,并且可望进一步扩展.     

用径向基函数插值解自共轭椭圆型方程

本文讨论用MQ作为插值的径向基函数,对自共轭椭圆型方程进行插值,证明了插值系数的唯一性,并用投影法证明了用径向基函数解自共轭椭圆型方程的收敛性.