圓錐曲线

本文共分六节,概述圓錐曲縷綜合讲法及代数讲法的要点,并闡明三个定义的等价性。一般书中常見的証明及推导概行略去。最后述及它們的一些应用及共发展略史。 51.直圆錐面的平截綫 設有两条相交直綫。如果固定其中一条并交点,而使另一条在空間围繞这条定綫旋轉,則所产生的曲面叫做直圓錐面。該定点和定綫分別叫做它的頂和轉。当动綫固定在某一位置时叫做它的元綫。由于頂把每条元綫分成两条半綫,故錐面也被頂分成两部分,其中每一部分都叫做半錐面。每一个半錐面上任意半元綫与軸所成的角永远相等叫做半頂角。     

談談中学立体几何中的平面的基本性貭

我們知道,中学几何并沒有按照严格的公理体系来进行研究,这是为了照顾学生的接受能力。因此,中学几何課本中的公理,只是在不违反科学性的原則下,选用了一些既明显而又适当照顾到推理中經常需要的事实,作为几何中推理的原始依据。在高級中学課本立体几何(暫用本)中,采用了以下三条作为平面的基本性貭,即(1)如果一条直綫上的两点在一个平面內,那么这条直綫上所有的点都在这个平面內;(2)如果两个平面有一个公共点,那末它們相交于經过这点的一条直綫;(3)不在一条直綫上的三     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

双曲型方程組的一个边界問題和它的应用

<正> 本文分两部分,第一部分討論某种三个未知函数,两个自变量的拟綫性双曲型方程組的一个非綫性边界問題.我們把它化成一个积分函数方程組,然后选取一个恰当的逐次迫近方案并进行了一系列的估計而証明了局部解的存在性.第二部分討論在气体力学中有广泛应用的活塞問題,它的本身应該为一个边界問題,但解具有強間断,而間断曲綫为不定的,沿着它成立一些非綫性的“激波条件”.我們把它化成第一部分中所討論的     

曲面成为平面的条件

有些課本把下面这个平面的性貭(公理):“如果一条直綫上的两点在一个平面內,那末这直綫上所有的点都在这平面內”作为鉴定一个面(称曲面更合适)是否为平面的准則。事实上这个公理仅仅給出曲面成为平面的必要条件,只有当我們証明了这个条件也是充分条件时,才能确立这个鉴定平面的准則。就直觉     

一个纵橫排列問题

纵横图是中国古代数学家所发現的。它是指把n~2个連續自然数(特别是1,2,3,4,…,n~2)排列在正方形內,使各行、各列及各对角綫上的数目之和相等。如果略加修改为“把从1起的連續的n~2个自然数排列成方陣,使各行、各列及各对角綫上的数目之和全为素数”,这就成了一个頗为有趣的数論問題。不但如此,我們还可要求得更多一点;除上述条件外,还可使其符合“各行、各列及各对角綫上的数目的平方和全为素数”。符合这种条件的排列是否存在呢?答案是肯定的。下表中給出了从1到25为止的5~2个自然的数     

高一几何第一章复習提綱

第Ⅰ單元线段的度量的复習提綱 (甲) 关于阿基米德公理 1)阿基米德公理的內容是什么? 2)用数学式子怎样將它表出? 3)我們用它解决了什么問題? (乙) 公度 1)什么样的綫段叫做兩条已知綫段的公度? 2)兩条线段如果有公度,它有最小的嗎? 为什么? 3)怎样说明当兩条已知綫段有公度时一定有最大公度,並且还只有一个? 4)当兩条已知綫段有公度时用什么方     

四边形中的趣味竞赛题(上)

<正>在平面上由首尾相连的四条线段组成的封闭图形,叫做四边形.四边形可以分为凸四边形,凹四边形和交叉四边形.四边形具有四个顶点和四条边,我们一般研究凸四边形,也就是将每条边延长为直线后,其余各边都在这条边所在直线的一侧,四边形中没有公共顶点的两条边叫做对边,没有公共边的两个角叫做对角,对角顶点的连接线段叫做四边形的对角线.没有特别声明,今后     

約当定理的初等証明

1.和通常一样,在这里所謂封閉的約当曲綫是指圓周的拓扑映象,所謂簡单弧是指綫段的拓扑映象。 約当定理。一平面封閉的約当曲綫将平面分成两个区域,而它自己就是这两个区域的公共边界。下面将敍述此定理的一个初等証明,这个証明是建立在从約当曲綫的定义所推出的几个性貭之上的。同时也将敍述一个与它有关的定理的証明: 在平面上的一段簡单弧不能把平面分开。 1.1 記号。以下我們都这样假定,如果給定了一簡单弧,那末也就給定了一个从綫段到它上面的,而且是完全确定的拓扑映象。因此在弧上也就确定了点的順序关系如下:設X与Y为簡单弧上的二点,X′与Y′是綫段上与之相对应的二点,要是X′相似文献   

多边形的面积

一、引言本文是前一篇文章:綫段的长度(发表于数学通报九月号)的續篇,我們假定讀者已读过那一篇文章。在本文中我們将事先选定一个长度,換言之,对于每一个綫段,我們总假定它的长度已經测量好了。此外,为了叙述上的簡便,我們不严格区分“綫段”和“綫段的长度”这两概念。例如:对于“三角形的高”这概念,有时表示一綫段,有时則代表这綫段的长度。平面上的一个多边形,如果它的边所組成的封閉折綫正好构成一个約当曲綫,則称为簡单多边形。本文中所討論的多边形,假定都是簡单多边形,以后不另作声明。多边形的面积是多边形的正实值函数,它具有合同不变性和可加性,即这函数应滿足下列两条件:ⅰ)合同的多边形具有相同的面积;ⅱ)如果一个多边形是由两个(或若干个)多边形組成的,則它的面积等于組成它的各边形的面积之和。在一般中学教科书中,总是把下面这条件添加到多边形面积的定义中去:ⅲ)以单位綫段为一边的正方     

关于解析几何教学的几点注意(續)

本文叙述解析几何教学中的几个問題。內容包括:(一)关于常态圓錐曲綫的两个定理;(二)关于圓周方程的一个定理;(三)关于极坐标方程图形的描繪。可作平面解析几何課的教学参考材料。 (一)关于常态圓錐曲綫的两个定理众所周知,实常态圓錐曲綫乃指椭圓、双曲綫、拋物綫和圓(圓可看作椭圆的极端情况)。常見的定义蘊涵在下述命題之中。命题.一个曲綫具有下述三属性之一,則必然具有另二属性。Ⅰ.平面π上具有下述性貭之一的动点的軌迹: (1)到π上的两个定点的距离之和为一个大于此二点間距离的常数; (2)到π上的两个定点的距离之差为一个小于此二点間距离的正常数; (3)到π上的一个定点及一条不通过它的定直綫     

关于具有(m,n)阶可表示奇異点的某种平面曲线对的研究

<正> §1.引言 过去,我們已經討論过具有高阶奇异点的某种特殊平面曲綫对.在[1]中討論了这样的平面曲綫对,它們相交于一个四阶可表示奇异点而且在該点具有不同切綫,从而获得了这对曲絕的一个射影不变式;又利用了曲线在奇异点的密切图形解释了所述的不变式.此外,选择了适当的坐标系导出曲綫的标准展开式,而且对于展开式中所有的絕对不变式     

論曲綫的全曲率(Ⅱ)

<正> 在前一文[1]中,作者曾用折线逼近曲线,以研究曲綫的全曲率.本文目的,是要証明一个关于用光滑曲綫逼近具有有限个角点的曲线的定理.藉此定理之助,关于光滑曲綫全曲率的許多已知的定理,如Fenchel定理等,都可以推广到具有有限个角点的曲綫去. 本文的方法和結果都可以毫无困难地推广到高維欧几里得空間中去,但为簡单起見,我們只就3維欧几里得空間的情况来討論.文中所述及的曲綫是分段光滑的,且除有限     

一个函数图象的解析表示

(一)問題的提出电焊工人要焊接一条相交成直角,总长为2l,直径为d的磬形鉄管(如图1a)。現在有两块同样大小的鉄皮,它們的长都是l,寬都是2c=πd。为了便于操作,一般都在焊接前,把二块鉄皮割成如图1b所示的形状。如果割得很准确,那末把两块鉄皮焊成两根直管后,割过的那两端凑攏来很吻合,而且两管刚好成直角,很易焊接。但普通是根据經驗剪割,常常需要在焊接成直管后,再稍加修改才能吻合。这样一方面会損失一些材料,另一方面出会多化一些工夫。因此最好能求出这曲綫的准确形状。 (二)这曲綫函数的解析表示我們取这两块鉄皮中的一块來看。設这曲綫已准确作出,再在这曲綫     

数学綜合題

一、引言什么叫做綜合題?怎样解綜合題? 綜合題的本身也是一个題,实貭上就是牵涉面較广,內容較复杂的題目。但拆开来看看,也无非是几个互相关联的較簡单的习題。一切题目,包括綜合題在內,总是从已知求未知的过程。我們只要在已知量和未知量之間根据它們的相互制約关系,理出一个头緒来,那就会得到正确的解題路綫的。怎样理出头緒来呢?也不外乎从两个方面着手:一方面是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,另一方面是从“未知”看“需知”,逐步追索到“已知”。两个方面汇合了,解題的路綫也就明确了,綜合題也就分散成     

投影平面及其拓扑結构

在代数学里,方程式的研究使得数的概念逐漸扩充起来。这种扩充就是把新的元素(新数)添加到原来的数集中去,对于这些新数說来,正演算(加法,乘法,乘方)的一切基本性貭都成立。添加新数的目的,是为了在扩充了的系統中得以施行逆演算。几何学里我們也有类似的东西。这里的基本运算是:通过两个不同的点引直綫,以及通过一条直綫和不在它上面的点引平面;这些运算在几何学里总是可以施行的。然而求(同一平面上的)两条直綫的交点,求直綫和平面的交点,以及求两张平面的交綫,却并不是常常可以施行的。这种情况的出現,使得在陈述关于点,直綫和平面的相互位置的几何定理时,引出許許多多的例外。对于所考虑的問題說来,这种破坏結論普遍性的最重要的典型例子就是透視对应。     

广义极坐标及其在三角学中的应用

1.广义极坐标为了确定平面上点的位置,通常采用直角(即笛卡儿)坐标釆。在这里,我們研究确定平面上点的位置的另一种方法。在平面上取某一点O(图1),称它为极点;从这点引出任一射线OP,称它为极軸。 現在我們想确定某一点M的位置。显然,平面上任一点(除极点之外)都在通过极点的某唯一射线上,点M就在射綫OM上。这条射綫的位置可以用它与极軸的夹角来确定。这个角叫做极角。我們规定,由极轴沿逆时針方向計     

学习微商与不定积分(續)

二、微商的应用我們有了微商的知識,可以利用它研究函数的一些主要性貭,例如利用微商可以确定函数的单調性(增加或减小)、函数的极大极小,进而研究最大最小問题,做为几何上的应用,可以研究函数曲綫的凸凹性、作函数图形等等。利用微商研究这些問題时,要时时刻刻不忘一个函数的微商在几何上表示函数曲綫的切綫斜率这一几何意义,并密切联想函数图形,就容易理解上述諸問題中利用微商的思路,最后利用微商解决定未定式的問题。 1.微分学中的重要定理研究上述諸問題以前,先介紹一下两个重要定理。它将刻划函数在整个区間上的变化与微商概念的局部性之间的联系。中值定理若函数f(x)在閉区間[a,b]上連續,在开区間(a,b)內可微,則在(a,b)內必有一点ξ,使 (f(b)-f(a))/(b-a)=f＇(ξ)。 (3) 这个定理从图形上看是很明显的,設函数f(x)所表示的曲綫如图2。A和B的纵坐标各为f(a)和f(b),因此     

解读两个平面的交线

<正>两个平面相交是两个平面的一种很重要的位置关系,有关两个相交平面的交线问题是立体几何的一个重要内容,其应用也很广泛.为此本文对它进行解读,供读者参考.一、关于两个平面的交线的定义若两个平面有一条公共直线,则这两个平面相交,这条公共直线叫做这两个平面的交线.二、画两个平面交线的理论依据     

对“几何基本概念和簡單圖形”的几点意見

中国青年出版社出版的“几何基本概念和簡單圖形”一書。書中把几何概念和簡單圖形用通俗的語言叙述出来,是可以帮助初二学生理解敎材內容的。但是,我觉得还有几个問題是值得商榷的。請大家考虑。一.关於“线段的运算”我認为提法不清,書中写道:“…綫段是可以作加、減、乘、除等运算的。”綫段的加法运算在初中几何范圍內是一定成立的,而“减法”就要受到限制,那就是:必須大綫段減去小綫段,否則学生就要搞不清了。至於綫段的“乘法”和“除法”可以說沒有什么意义,因为綫段乘线段的結果不是一条綫段了,在高中时才把它定义为“面积”。这当然不合於这本書的要求的,綫段和綫段的“除法”,我們更無法指出它的含义,是否可把它理解为“比”呢?那只有在学到綫段的比和比例之后才可以,而該書著者所說的“乘”、“除”还不是这个意思,而是一个綫段和某一个自然数的乘或除。“除法”就是把某一綫段分成若干等分;至於“乘法”,則是“除法的还原,或加法的变形,…线段的乘法就是把等長的几条綫段相接而成一