组合恒等式的证明

证明组合恒等式,初学者往往不知从何着手,若能对一般的思考途径与方法加以指导,当能减少学习的困难。本着这一想法,我根据平日解题所得,从几个方面谈谈组合恒等式的证明,以供参考。     

构造最短路线计数模型 证明若干组合恒等式

图1是某城市的街道格局,现有某人从图中的A处去B处,求其中路程最短的走法有多少种？     

构造常数列证明恒等式

对于与和或积有关的涉及正整数恒等式的证明,一般应用数学归纳法．本文通过构造常数列,来证明这类恒等式．     

组合恒等式的证明方法

本文对组合恒等式的证明方法进行了归纳、总结与比较.将证明方法分为了五大类:定义证明法,归纳法,二项式法,组合意义法以及求导积分法,解析各种证明方法的基本思路,并给出了相应的例题.     

一个恒等式的构造及证明

在一次考试中,我出了这样一道题:求证:(1-cosα+sina)/(1+cosα+sinα)=tga/2(用两种方法证明)。这个等式的构造是由半角公式tgα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)并再由等比定理直接推得: tgα/2=(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα) ①由①的构造过程我们可得到一种简单方法。证一:右边=(1-cosα)/sina=sinα/(1+cosα)==(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα)由于大部分学生不会用等比定理,该方法虽然简单,但问鼎者仅两人。大部分学生采取了下面的证法。证二:左边=(1-(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2))+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2)))/(1+(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2)+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2))=(1+tg~2(α/2)-1+tg~2(α/2)+2tg(α/2))/(1+tg~2(α/2)+1-tg~2(α/2)+2tg(α/2))=tgα/2证三:左边=(2sin~2(α/2)+2sin~2(α/2)cos(α/2))/(2cos~2(α/2)+2sin(α/2)cos(α/2))     

不同视角证明一个组合恒等式

数学解题,关键是如何认识问题的条件和结论,怎样和已学的知识建立联系,从不同的视角看待条件,发散思维,整合知识,从而获得问题的解决．笔者从不同视角证明了一个组合恒等式,以飨读者．     

大卫星恒等式的组合证明

以Np表示1到p的自然数集合,Fn(1,2,…,p)表示元素取自Np的有序n元组的集合,Fnn1n2…np1 2…p表示所有含n1个1,n2个2,…,np个p(n1 n2 … np=n)的有序n元组的集合.通过组合分析法可以证明这两类n元组集合的性质,进而给出"大卫星恒等式"及一些组合恒等式的组合性证明.     

一类组合恒等式的定义证明

对于组合数的两个性质：Cn^m=Cn^n-m和Cn 1^m=Cn^m Cn^m-1，教材采用了两种方法证明．     

证明组合恒等式的若干方法

组合恒等式的证明,由于技巧多样,方法灵活,常常使人感到难以下手。本文通过一些典型例题,介绍证明组合恒等式的若干方法。 1.利用二项式展开式进行证明     

利用二元矩阵证明组合恒等式

利用有限集|n|上子集的相交关系构作了一个二元矩阵,利用这个二元矩阵证明了一些组合数恒等式,利用有限向量空间F_q~((n))上子空间的相交关系构作了另一个二元矩阵,利用这个二元矩阵证明了一些高斯系数恒等式.     

构造方程证明两个三角恒等式

在平时的练习中有这样一道题:证明tanπ/7·tan2π/7tan3π=√7,不难得到tanπ/5tan2π/5=√5,tanπ/9tan2π/9tan3π/9tan4π/9=√9,于是猜想tanπ2n+1tan2π/2n+1…tannπ/2n+1=√2n+1(Ⅰ)又知cosπ2n+1cos2π2n+1…cosnπ/2n+1=1/2n(Ⅱ)于是应该有sinπ2n+1sin2π2n+1…sinnπ/2n+1=√2n+1/2n(Ⅲ),其中n∈N+上述三个恒等式中任意两个就可以推出第三个,Ⅱ可以用一种较简便的方法予以证明,下面用构造方程的方法证明Ⅰ和Ⅲ.     

用随机方法证明一类组合恒等式

在组合恒等式∑sk1=0Ck1n1Cs- k1n2 =Csn1+ n2 　　　　 s=0 ,1 ,2 ,… ,n1+n2 ( 1 )的各种证法中 ,最简捷的要数概率方法的证明。恒等式 ( 1 )的一种概率方法证明是 :考虑如下的随机试验 ;设有一批产品 ,其中 n1件是次品 ,n2 件是正品 ,现从中随机地取 s件 ,则这 s件中的次品数“ξ=k”的概率是 P(ξ=k) =Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2由于在 S件产品中次品数可能是 0 ,1 ,2 ,… ,s。共 s+1种 ,它们彼此互不相容 ,且这 ( s+1 )个事件之并为必然事件 ,故有∑sk1=0p(ξ =k) =∑sk1=0Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2=1　　　　　即 ( 1 )得证　　由等式 ( 1 )…     

组合恒等式证明的几种途径

组合恒等式的证明是一种常见题型 .虽然它在近几年高考试题中出现较少 ,但在教材及参考书中却屡见不鲜 .由于它综合了二项式、组合数性质、代数恒等变形等内容 ,其技巧性强 ,解题方法独特 ,因此学生解决这类问题往往感到困难 .本文试图通过一些实例谈一谈组合恒等式证明的几种途径 .1　构造模型直接运用题设条件难以证题时 ,不妨把所考虑的问题置于某种特定背景 ,构造模型往往可得到简捷、巧妙的证明 .例 1　求证 :Ｃ0 ｍＣｒｎ Ｃ1ｍＣｒ - 1ｎ …… ＣｒｍＣ0 ｎ=Ｃｒｍ ｎ.分析　根据左式各项特征 ,构造组合模型 :甲、乙两只袋 ,甲袋…     

一个组合恒等式的证明及应用

<正>数学中通常将表示组合数之间关系的恒等式称为组合恒等式,它的证明灵活多变,具有较强的技巧性,对运算能力和思维都有着较高的要求,因而成为各类数学竞赛以及高考的一个高频考点.另一方面,正如教材中所讲,组合数学的内容非常重要,在数学的各个分支都有着广泛的应用,也就使得同一个问题可以置于不同的背景之下去思考,这对于提高对问题     

恒等式的几何意义及其组合证明

给出G auss系数的定义及其几何意义,对一些G auss系数恒等式给出了组合分析的证明,并且相应地给出它们的几何解释.     

用组合方法证明Gaussian系数恒等式

设F_q是q个元素的有限域,其中q是素数的幂,F_q~n是F_q上n维向量空间,用[n/m]_q表示Gaussian系数,它可看作为F_q~n的m维子空间的个数.用组合方法证明了几个Gaussian系数恒等式.     

构造组合数模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成.但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组合问题的两种计算方法,由结论的唯一性,即可证明组合恒等式.例1证明:C     

一个有趣的组合恒等式猜想的证明

在第三届全国不等式学术年会上,江苏的褚小光老师提出了如下猜想:n2C02n (n-1)2C12n (n-2)2C22n … 22Cn-2n 2 12Cn2-n 1=n·22n-2.经探讨发现,此猜想成立,即有定理1 n2C02n (n-1)2C12n (n-2)2·C22n … 22Cn-2n 2 12Cn2-n 1=n·22n-2.证明n2C02n (n-1)2C12n (n-2)2C22n … 22C     

用一个计数模型证明一类组合恒等式

本文给出了一个组合计数模型,首先证明组合恒等式的一边是此组合计数问题的解,再利用基本的计数原理证明组合恒等式的另一边也是该组合计数问题的解,并利用该方法证明了三个组合恒等式.     

三个Euler型组合恒等式的初等证明

本文对二重zeta值的三个Euler型组合恒等式给出初等证明.