立方和(差)公式的正用、逆用及变用

立方和与立方差公式是 :ａ3+ｂ3=(ａ +ｂ) (ａ2 -ａｂ +ｂ2 ) ;ａ3-ｂ3=(ａ -ｂ) (ａ2 +ａｂ +ｂ2 ) .它们又可简单变形为 :ａ3+ｂ3=(ａ +ｂ) 3-3ａｂ(ａ +ｂ) ;ａ3-ｂ3=(ａ -ｂ) 3+3ａｂ(ａ -ｂ) .灵活应用这组公式 ,不但可以使问题快捷方便得解 ,而且常常令人回味无穷 .下面举例说明这组公式的应用 .一、正用(第九届“希望杯”初一试题 )计算783+2 2 3782 -78× 2 2 +2 2 2 .解　设 78=ａ ,2 2 =ｂ ,则　原式 =ａ3+ｂ3ａ2 -ａｂ+ｂ2 =(ａ +ｂ) (ａ2 -ａｂ+ｂ2 )ａ2 -ａｂ+ｂ2=ａ +ｂ=1 0 0 .二、逆用(第七届“希望杯”初二培训题 )计算1 9…     

诱导公式的推广与逆用

高中数学诱导公式这一章节,学生要达到的要求是能既快又准地使用诱导公式,可实际情况却非如此.学生学习诱导公式的困难有两点:一是诱导公式多,记不住,运算过程中容易出错;二是不能有效地逆用诱导公式.下面就这两点给出详细的介绍.一、诱导公式的推广书上对诱导公式运用的思想:任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→[0,2π)的三角函数→[0,π/2]的三角函数,按     

怎样用好三角公式

<正>用已知三角函数的解表示求解或待证的三角函数的角,再利用三角恒等式、诱导公式等做恒等变形,是解三角函数问题的基础思路.其中常见的角的变形有下面几种:(1)2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β);     

乘法公式的活用

对乘法公式(a±b)(a2 ab b2)=a3±b3的活用,同学们还存在一定的困难,因此导致了一些问题解起来很棘手,为了帮助同学们巩固和加强此公式的掌握和应用,兹举例如下.     

等比数列求和公式逆用例说

等比数列求和公式逆用例说湖北襄阳一中李继武等比数列求和公式表明是一个关于ｑ的整式．逆用该公式，可解答有关的整除性问题．例１求证：若ｎ是正奇数，１＋ｘ＂能被１＋Ｘ整除，但不能被１－Ｘ整除．是奇＿证明＂：是奇由公式（１）知是整式被１＋Ｘ整除．右端前者是整...     

逆用S_n公式 妙证不等式

对于有些数列不等式问题 ,如果从正面去直接探求 ,常常感到繁难 ,甚至一筹莫展 ,但是 ,若改变一下思维角度 ,挖掘其隐含的某些公式特征 ,借以逆用 ,使问题转化 ,常可得到简捷、巧妙的解法 ,让人有耳目一新的感觉 .下面以数列的前n项和Sn 的逆用加以说明 :1　a1+a2 +… +an=Sn 的逆用例 1　求证 :1+ 12 2 + 132 +… + 1n2 <2 - 1n,(n≥ 2 ,n∈N)分析　设想右端式“2 - 1n”是数列 {an}的前n项和Sn,则n≥ 2时 ,an=Sn-Sn -1=(2 - 1n) (2 - 1n - 1) =1n(n - 1) .这样 ,问题转化为证明不等式 1n2 <1n(n - 1) (n≥ 2 ) ,此不等式易证 .2　等差…     

逆用Sn公式妙证不等式

对于有些数列不等式问题，如果从正面去直接探求，常常感到繁难，甚至一筹莫展，但是，若改变一下思维角度，挖掘其隐含的某些公式特征，借以逆用，使问题转化，常可得到简捷、巧妙的解法，让人有耳目一新的感觉．下面以数列的前n项和Sn的逆用加以说明：     

斐波那契与鲁卡斯通项公式的逆用

数学中经常遇到((1 5)/(2))n±((1-5)/(2))n值的计算问题. 通常的计算方法:是由低幂向高幂过度或用二项式定理展开,但都较麻烦.下面给出简便算法: 考虑到Fibonacci数列和Lucas数列的通项公式,则上述计算可以简化.     

因题制宜 变用公式

重要不等式a2 b2≥2ab(a,b>0)是证明不等式的有效工具.但有时往往并不能直接使用公式,这就要求我们因题目的结构而异,灵活变化公式,再使用公式.在这个过程中,我们会看到命题制作的过程.     

类比三角公式进行三角代换

寻求解题思路、探测问题结论几乎离不开类比，在数学解题中如能抓住某些问题的外形结构，类比有关的三角公式，通过相应的三角代换，常能使思路豁然开朗，从而使问题简单而完美地解决．1类比平方关系式例1已知m、n、pR ，，n2十n2=p2，求证：分析由条件知，根据此式结构类比平方关系式sin2α＋cos2α=1可进行以下三角代换．证明设m=pcosa，n—pslna，其中例2解方程7三三二十7十二一手．”’””一／了工71十工‘4”分析本题含无理根式，按常规平方解法较繁．根据此题的结构与平方关系式1＋ig’a—see’a类比可进行以下代换．解易知X＜0不是…     

用拆分法证明一些三角有理式积分公式

本文以最基本的积分方法为基础 ,从被积函数的结构特征出发 ,讨论了一些常见的三角有理式积分公式的简单证明方法——拆分法 .根据此种方法可求一些三角有理式的积分 .对于形如∫a1sinx +b1cosxasinx +bcosxdx积分 ,Б.П吉米多维奇在《数学分析习题集》中给出了积分公式 :例 1　∫a1sinx +b1cosxasinx +bcosxdx =Ax +Bln|asinx +bcosx|+C,其中A =aa1+bb1a2 +b2 　　 B =ab1-ba1a2 +b2 　　 a2 +b2 ≠ 0　　证　令 I1=∫ sinxasinx +bcosxdx　　 I2 =∫ cosxasinx +bcosxdx则 a I1+b I2 =∫dx =x (常数之差不计 ) ( 1 )a I2 -b I1=∫ac…     

变用点到直线的距离公式

<正>在解析几何中,点(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离d=|ax0+by0+c|/1/2a2+b2.在代数中,灵活变用这一公式,对于求解一类条件不等式和变量的取值范围,常能收到形象直观、驭繁为简的效果.下面给出三类变用,并分别举例说明.     

变用点到直线的距离公式

在解析几何中,点（x0,y0）到直线ax＋by＋c=0的距离d=｜ax0＋by0＋c｜/1/2a2＋b2.在代数中,灵活变用这一公式,对于求解一类条件不等式和变量的取值范围,常能收到形象直观、驭繁为简的效果.下面给出三类变用,并分别举例说明.     

几个三角公式、定理的几何解释

把两个斜边分别为a、b的直角三角形按如图所放．     

活用比例的性质解三角题

在三角解题中,如能充分、合理和巧妙地运用比例的性质,可大大简化计算量,优化解题思路,下面举例说明,供同学们复习参考。     

一个值得注意的三角公式

由公式tg2a=2tga/(1-tg~2a)变形后可得 ctg2a=(1-tg~2a)/2tga=1/2(ctga-tga), ∴tga=ctga-2ctg2a *对这个公式中的a和系数作适当代换后,便可导出有用的公式。现举例说明公式*的应用。例1 计算tga+2tg 2a+4tg 4a+…++2~(n-1)tg~(n-1)a。解由tga=ctga-2ctg 2a依次用a、2a、2~2a、…、2~(n-1)a来代换a,同时用1、2、…、2~(n-1)乘相应的等式,于是得到原式=(ctga-2ctg2a)+2(ctg2a-2ctg2~2a)+2~2(ctg2~2a-2ctg2~3a)+…+2~(n-1)(ctg2~(n-1)a-2ctg2~na)=ctga-2~nctg2~na。     

点到直线距离公式的活用

给出定点M(二。，y。)和定直线l:Ax By .____，.}Ax。 Bvn C}___.__. C一O，那么“一带簿瑞尸表示点M到直线l的距离.上述点到直线的距离公式是一个基本公式，可直接求点线距离.因它涉及到绝对值、直线垂直、最小值等内容，所以把此公式和其他相关表达式结合，构成新的组合式，     

活用和的平方公式算平方数

<正>记得在小学数学园地,曾有这样一道"算平方和"的趣题:请将0⁹这10个数字分别填在图1的10个黑点处,使相邻两数的乘积加1都是完全平方数.试试看,您能填成吗?当时的答案不少,经过验算都是正确的.但是其中有一个答案,曾得到老师与大家的赞     

点到直线距离公式的三类变用

在解几中,|ax_o by_o c|/(a~ b~2)~(1/2)表示点(x_o,y_o)到直线ax by c=0的距离,在代数中,灵活变用这一公式对于求解一类条件不等式和变量的取值范围,常能收到形象直观,驭繁为简的效果,下面给出三类变用,并分别举例说明。 [变用一] 其几何意义是:过原点的直线L外的任一点到该直线的距离不大于这点到原点的距离。将关系式(1)两边平方,即得柯西不等