例谈形如(a/b)~(1/2)的二次根式的化简

<正>二次根式的化简是初中数学中的重要内容,也是学好实数运算的基础.初中数学中有两类二次根式需要化简,一类是被开放数含有能开得尽方的因数,如8^(1/2),(27)(1/2),(27)^(1/2),(48)(1/2),(48)^(1/2)等;一类是被开方数是分数     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的辨析

(a~(1/2))2与(a~2)~(1/2)在二次根式中扮演着十分重要的角色,由于这两个二次根式的外表较相似,有些同学在运算中往往对它们产生了混淆,发生这样或那样的错误．下面谈谈这两个概念的区别与联系．     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

<正>学习二次根式时,经常要遇到与二次根式有关的两个重要式子:(a^(1/2))(1/2))²与(a2与(a²)2)^(1/2).这两个式子在形式上很相近,既有不同点又有相同点,因此一不小心就很容易把它们混淆了.一、不同点1.运算顺序不同(a(1/2).这两个式子在形式上很相近,既有不同点又有相同点,因此一不小心就很容易把它们混淆了.一、不同点1.运算顺序不同(a^(1/2))(1/2))²是对实数a先开方再平方,表示a的算术平方根的平方;(a2是对实数a先开方再平方,表示a的算术平方根的平方;(a²)2)^(1/2)是对实数a先平方再开方,表示a的平方的算术平方根.     

从X~(1/2)±y~(1/2)不叫共轭根式谈起

在一次听课中,听到一位初二代数老师在讲解根式除法运算时,提到x~(1/2)+y~(1/2)和x~(1/2)-y~(1/2)是一对共扼根式的说法。当时感到此说法似有不妥,因为x~(1/2)±y~(1/2)本来就不应叫做根式,而应叫做无理式。后来又偶尔从一本《中学数学复习资料》(江苏人民出版社,1979年5月版)中,看到对“根式”有这样一个定义:“根式(无理式)含有开方运算的代数式叫做根式。”以上这两个例子有个相同的观点,即“根式”和“无理式”是同一概念。既如此,那么它们的外延应该完全重合。事实并     

二次根式(α~2)~(1/2)的化简

二次根式a2的化简,综合了多方面的基础知识,因此解决这类问题学生感到较困难.若能按下列二个步骤,抓住一个关键,也许就得心应手了:(1)将被开方数配方;     

注意(a~2)~(1/2)与(a~(1/2))~2的异同

在二次根式中,我们常常遇到与的式子,它们是二次根式的重要内容,只有在掌握与的区别与联系之后,才能正确地利用它们解题.     

一类复合二次根式的三种化简方法

<正>形如(a■b^(1/2))(1/2))^(1/2)的根式叫做复合二次根式.复合二次根式的化简问题是各类竞赛中的热点和难点问题,本文结合竞赛题介绍一类复合二次根式化简的三种常用方法,供同学们参考.例(2009年北京市中学生数学竞赛     

根式(A±(B~(1/2)))~(1/n)的化简

本文给出根式■与■及其和、差■与■的化简方法,揭示出化简这类根式与解n次方程的内在联系。设,则u_u~(?)+v~n=2A,uv=(A~2-B)~(1/n)。根据对称式的基本性质(见文[1]),对称式u~n+v~n可用基本对称式(u+v)和(uv)的一个n次多项式表示,即     

(a~2)~(1/2)与(a~(1/2))~2一样吗

二次根式(a~2)~(1|2)和((a~2)~(1|2))有什么区别吗?主要表现在下面三个方面: 1．读法不同．(a~2)~(1|2)读作根号a的平方,而((a~2)~(1|2)) 读作括号根号a括号的平方． 2．表示的意义不同．(a~2)~(1|2)是求a~2。的算术平方根． ((a~2)~(1|2))求的是a的算术平方根的平方．一个表示求一     

谈根式(m±n~(1/2))~(1/2)的化简

在运算中经常会遇到形如ｍ± ｎ的根式(其中ｍ、ｎ∈Ｑ+,且ｎ是无理数 ) ,有的能化简为两个二次根式的和或差 ,即ｍ±ｎ =Ａ±Ｂ(Ａ、Ｂ∈Ｑ+) ,那么ｍ、ｎ满足什么条件才能化简为上述形式 ?结果与ｍ、ｎ又有何关系 ?本文就此问题作一粗浅探讨 .引理 1　设ｍ、ｎ∈Ｑ ,ｃ是无理数 ,则ｍｃ=ｎ的充要条件是ｍ =ｎ =0 .证明　充分性显然成立 .必要性　如果ｍ ≠ 0 ,则有 ｃ=ｎｍ① ,因为ｃ是无理数 ,ｍ、ｎ∈Ｑ ,所以①式不成立 .因此只有ｍ =0 ,于是可得ｍ =ｎ =0 .根据引理 1 ,我们进一步可以得到下面的结论 .引理 2　设ｎ是无理数 ,ａ ,ｂ ,…     

配方法解含a,a~(1/2)的问题

<正>配方法是一种重要的数学方法,过去都是对整式配方,本文举两个对a·a^(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)^(1/2)-4(b-2)(1/2)-4(b-2)^(1/2)=3(c-3)(1/2)=3(c-3)^(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)^(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)^(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)^(1/2)+9)=0,     

简析a~(1/2)与(a~2)~（1/2）的异同

(a～(1/～a))2和a2～(1/～a2)是两个重要的根式,由于它们形相似,极易混淆.下面简析一下它们的异同. 一、区别 1. 写法不同(a～(1/a))2有括号,a2～(1/a2)没有括号. 2.读法不同(a～(1/a))2读作a的算术平方根的平方,a2～(1/a2)读作a的平方的算术平方根. 3.意义不同(a～(1/a))2表示非负数a的算术平方根的平方,a2～(1/a2)表示实数a的平方的算术平方根.     

从用字母表示a~(1/2)人手

<正>解答一些二次根式问题时,有时可以从用字母表示a入手,这样容易将二次根式问题转化为整式或分式问题.如此进行,能化繁为简,化生为熟,取到事半功倍的效果.现举例如下:一、计算问题     

对于(a±b~(1/2))~(1/2)形式的根式化簡的教学

当a~2—b是完全平方时,我們可以把(a±)~(1/2)b~(1/2)形式的根式化簡为 (a±b~(1/2))~(1/2)=((a+(a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)±((a-(a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)这个公式在以往的高一代数課本中是作为讲过根式乘方后的一个例題来讲解的。但近年来已經刪去。可是在1962年人民教育出版社出版之十年制学校初中課本代数第三册中又曾詳細提到。因此,这个公式在代数根式教材中,要不要作为讲解的內容,如果要讲,又应当如何讲法。本人仅就这些方面,提出一些肤浅的看法。首先,我认为这个公式是应当讲解的。因为它在根式的化簡中,有时是起着一定的作用。例如求sin15°的值,可分別运用和角公式和半角公式求得結果如下: sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-     

不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法

为什么要证明不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)下面通过实例来说明,高中数学第三册P.147.3(4)题:求证1/1~(1/2)+1/2~(1/2)+…+1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)。我们用数学归纳法来证明。 (1)当n=2时不等式左边=1/1~(1/2)+1/2~(1/2)=(2+2~(1/2))/2右边=2~(1/2)=(2~(1/2)+2~(1/2))/2,显然不等式成立。 (2)假设当n=k(k>1)时不等式成立,     

多问为什么知其所以然——谈二次根式教学中的几个问题

二次根式是初中代数教学的一个重点 ,也是一个难点 .牢固地掌握根式的基本内容并能用之演算一些基本的根式问题 ,也是继续学习数学必奠的一块基石 .因此 ,改进根式的教法、提高根式的教学质量 ,便是中学数学教学不容忽视的重要任务 .如何才能完成这一任务 ?知其然 ,又知其所以然 ,是提高数学教学质量的不二法门 .因此 ,在备课中多问几个为什么 ,就能促使我们把问题讲深讲透 ,因为理解得深刻 ,不用硬背也能记得牢 ,并进而达到灵活运用的高度 .下面我们就二次根式这一章的内容 ,试提几个为什么 ,供数学教师在教学中参考 .1　分母有理化的问题…     

以形助数巧解二次根式

有关二次根式的不少问题同学们解答起来会感到很困难,但我们如果能抓住二次根式的特性(a~1/2具有双重非负性),把它与几何中的线段有机地联系起来,通过构造图形的方法来解题,则会使问题化难为易,变繁为简.以下举例说明.     

“变”出课堂精彩——从《二次根式除法(2)》的教学片断谈变式教学

当代数学家G·波利亚说过,"我们如果不用'题目的变更',几乎是不能有什么进展的".他也曾形象地指出:"好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个."这就是指变式教学.事实上,我们的数学课堂教学时时也离不开变式问题,在教学中我们要倍加关注,要能深挖教材,举一反三,从而提高教学的有效性.应用数学"变式教学"的方法是提高教学质量的重要手段之一.本文结合《二次根式除法(2)》课的片断(苏科版九上)谈谈变式教学.     

(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似正态性及多总体标准差的齐性检验

计算了随机变量(2χ~2)~(1/2)的数学期望和方差,比较分析了随机变量(2χ~2)~(1/2)-2n~(1/2)与(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似分布的相同和不同之处,并且利用2χ2的近似分布的正态性,建立了多总体标准差的检验法.     

巧变形 妙配方

<正>把二次根式下的被开方的式子通过配凑变形,得到一个完全平方式,从而用(a2)1/2=|a|来化简二次根式的方法称为配方法.二次根号下的式子有三种类型,现在我们介绍各自的配方技巧,现举例说明.一、整式型例1化简: