On a problem of L. Leindler concerning strong approximation by Fourier series and Lipschitz classes

Пусть? — возрастающа я непрерывная фцнкци я на [0,π],?(0)=0 и $$\mathop \smallint \limits_0^h \frac{{\varphi \left( t \right)}}{t}dt = O\left( {\varphi \left( h \right)} \right){\text{ }}\left( {h \to 0} \right).$$ Положим $$\psi \left( h \right) = h\mathop \smallint \limits_h^\pi \frac{{\varphi \left( t \right)}}{{t^2 }}dt \left( {h \in (0, \pi ]} \right).$$ Доказывается следую щая теорема.Пусть f∈ С[?π, π], ω(f, δ)=О(?(δ))) и $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\varphi \left( {\left| h \right|} \right)}}\left| {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right| = 0$$ для x∈E?[?π, π], ¦E¦>0. Тогда д ля сопряженной функц ии f почти всюду на E выполн яется соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\psi \left( {\left| h \right|} \right)}}\left| {\tilde f\left( {x + h} \right) - \tilde f\left( x \right)} \right| = 0.$$ Из этой теоремы вытек ает положительное ре шение одной задачи Л. Лейндлера.     

О коэффициентах рядо в Фурье по множествам

The following statement is proved: Theorem.Let f(x), 0≦x≦2π, possess the Fourier expansion $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty c_\kappa e^{in} \kappa ^x with \bar c_\kappa = c_{ - \kappa } , n_\kappa = - \bar n_{ - \kappa }$$ where {n _k } is a Sidon sequence. Then in order to have $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty |c_\kappa |^p< \infty$$ for a given p, 1 $$\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \left( {\frac{{\left\| f \right\|L^k (0,2\pi )}}{k}} \right)^p< \infty$$ . An analogous statement holds true for series with respect to the Rademacher system.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

On the convergence to infinity of Fourier series along dense subsequences of numbers

В статье доказываетс я Теорема.Какова бы ни была возрастающая последовательность натуральных чисел {H _k } _{k = 1} ^∞ c $$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{H_k }}{k} = + \infty$$ , существует функцияf∈L(0, 2π) такая, что для почт и всех x∈(0, 2π) можно найти возраст ающую последовательность номеров {n_k(x)} _k=1 ^∞ ,удовлетворяющую усл овиям 1) $$n_k (x) \leqq H_k , k = 1,2, ...,$$ 2) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t} (x)} (x,f) = + \infty ,$$ 3) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t - 1} (x)} (x,f) = - \infty$$ .     

Distribution of integral functionals of a Brownian motion process

In this paper one considers methods which enable one to determine the distribution of certain functionals of a Brownian motion process. Among such functionals we have: the positive continuous additive functional of a Brownian motion, defined by the formula $$A\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\hat t\left( {t, y} \right)dF\left( y \right),} $$ where \(\hat t\left( {t, y} \right)\) is the Brownian local time process while F(y) is a monotonically increasing right continuous function; the functional $$B\left( t \right) = \mathop {\mathop \smallint \limits_{ - \infty } }\nolimits^\infty f\left( {y,\hat t\left( {t, y} \right)} \right)dy,$$ where f(y, x) is a continuous function; and the functional $$C\left( t \right) = \mathop {\mathop \smallint \limits_0 }\nolimits^t f\left( {w\left( s \right),\hat t\left( {sr} \right)} \right)ds$$ As an application of these methods one considers some concrete functionals such that \(\hat t^{ - 1} \left( z \right) = \min \left\{ {s:\hat t\left( {s, o} \right) = z} \right\},\mathop {\mathop \smallint \limits_{ - \infty } }\nolimits^\infty \hat t^2 \left( {t, y} \right)dy,\mathop {\sup }\limits_{y \in R^1 } \hat t\left( {T, y} \right)\) , where T is an exponential random time, independent of \(\hat t\left( {t, y} \right)\) .     

Criterion of polynomial increase of a function and its derivatives

ДОкАжАНО, ЧтО Дль тОгО, ЧтОБы Дльr РАж ДИФФЕРЕНцИРУЕМОИ НА пРОМЕжУткЕ [А, + ∞) ФУНкцИИf сУЩЕстВОВА л тАкОИ МНОгОЧлЕН (1) $$P(x) = \mathop \Sigma \limits_{\kappa = 0}^{r - 1} a_k x^k ,$$ , ЧтО (2) $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - P(x))^{(k)} = 0,k = 0,1,...,r - 1,$$ , НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО, ЧтОБы схОДИлсь ИН тЕгРАл (3) $$\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{r - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t)dt.}$$ ЕслИ ЁтОт ИНтЕгРАл сх ОДИтсь, тО Дль кОЁФФИц ИЕНтОВ МНОгОЧлЕНА (1) ИМЕУт МЕс тО ФОРМУлы $$\begin{gathered} a_{r - m} = \frac{1}{{(r - m)!}}\left( {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m \frac{{( - 1)^{m - j} f^{(r - j)} (x_0 )}}{{(m - j)!}}} \right.x_0^{m - j} + \hfill \\ + ( - 1)^{m - 1} \left. {\mathop \Sigma \limits_{l = 0}^{m - 1} \frac{{x_0^l }}{{l!}}\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{m - l - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t_{m - 1} )dt_{m - 1} } } \right),m = 1,2,...,r. \hfill \\ \end{gathered}$$ ДОстАтОЧНыМ, НО НЕ НЕОБхОДИМыМ Усл ОВИЕМ схОДИМОстИ кРА тНОгО ИНтЕгРАлА (3) ьВльЕтсь схОДИМОсть ИНтЕгРАл А \(\int\limits_a^{ + \infty } {x^{r - 1} f^{(r)} (x)dx}\)      

A conjecture of Erdős and Reddy and the rational approximation of Mittag-Leffler type functions

Пусть \(f(z) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k z^k ,a_0 \ne 0, a_k \geqq 0 (k \geqq 0)\) — целая функци я,π _n — класс обыкновен ных алгебраических мног очленов степени не вы ше \(n,a \lambda _n (f) = \mathop {\inf }\limits_{p \in \pi _n } \mathop {\sup }\limits_{x \geqq 0} |1/f(x) - 1/p(x)|\) . П. Эрдеш и А. Редди высказали пр едположение, что еслиf(z) имеет порядок ?ε(0, ∞) и $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f)< 1, TO \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f) > 0$$ В данной статье показ ано, что для целой функ ции $$E_\omega (z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{z^n }}{{\Gamma (1 + n\omega (n))}}$$ , где выполняется $$\lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{{\omega (n)}}{{e + 1}}} \right\}$$ , т.е. $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{1}{{\rho (e + 1)}}} \right\}< 1, a \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) = 0$$ . ФункцияE _ω (z) имеет порядок ?.     

On a result of Hardy and Littlewood concerning Fourier series

Let f ∈ L ¹( $ \mathbb{T} $ ) and assume that $$ f\left( t \right) \sim \frac{{a_0 }} {2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {a_k \cos kt + b_k \sin kt} \right)} $$ Hardy and Littlewood [1] proved that the series $ \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a_k }} {k}} $ converges if and only if the improper Riemann integral $$ \mathop {\lim }\limits_{\delta \to 0^ + } \int_\delta ^\pi {\frac{1} {x}} \left\{ {\int_{ - x}^x {f(t)dt} } \right\}dx $$ exists. In this paper we prove a refinement of this result.     

On the Hilbert transform

Для любой функцииf∈L ^p (|x|^α dx, гд е p >1, аа — любое действительное числ о, найдены необходимые и достаточные услови я для того, чтобы ее преобразова ние ГильбертаHf $$Hf(x) = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty (x - t)^{ - 1} f(t)dt, x \in ( - \infty ,\infty )$$ , также принадлежалоL ^p (|x|)^α dx.L ^p (|x|)^α dx — класс измеримых фу нкцийf определенных на (- ∞, ∞) и удовлетворяющих условию $$\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty |f(x)|^p |x|^\alpha dx< \infty$$ . Ниже сформулированы наиболее интересные случаи: Теорема 1. Теорема 2.      

Differential properties and Fourier coefficients of functions of λ-bounded variation

пУстьλ={λ _i} _i=1 ^∞ —пОслЕ ДОВАтЕльНОсть ВЕЩЕс тВЕННых ЧИсЕл сλ _i↑∞ Иλ ^m={λ_т+ i} _i=0 ^∞ . РАссМАтРМВАУтсь 2π-пЕ РИОДИЧЕскИЕ ФУНкцИИ, Дль кОтОРых $$V_\Lambda (f) = \mathop {\sup }\limits_x \mathop {\mathop {\sup }\limits_{(a_i ,b_i ) \cap (a_j ,b_j ) = \emptyset } }\limits_{(a_i ,b_i ) \subset (x,x + 2\pi ]} \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \frac{{\left| {f(b_i ) - f(a_i )} \right|}}{{\lambda _i }}< \infty ,$$ И Дль кОтОРых $$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } V_{\Lambda ^m } (f) = 0.$$ ДОкАжАНО, ЧтО УжЕ ВО Вт ОРОМ клАссЕ Есть ВЕжД Е АппРОксИМАтИВНО НЕД ИФФЕРЕНцИРУЕМыЕ ФУН к-цИИ. пОлУЧЕНы ОцЕНкИ кОЁФФИцИЕНтО В ФУРьЕ ЁтИх клАссОВ И НЕкОтОРыЕ РЕжУльтАты ОБ Их ОкОНЧАтЕльНОстИ. кАк слЕДстВИЕ ДАНО ДОстА тОЧНОЕ УслОВИЕ Дль Их НЕсОВп АДЕНИь.     

On the divergence of de la Vallée Poussin means of Fourier series

Пусть {λ _{n 1} ^t8 — монотонн ая последовательнос ть натуральных чисел. Дл я каждой функции fεL(0, 2π) с рядом Фурье строятся обобщенные средние Bалле Пуссена $$V_n^{(\lambda )} (f;x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx) + \mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{n + \lambda _n } \left( {1 - \frac{{k - n}}{{\lambda _n + 1}}} \right)\left( {a_k \cos kx + b_k \sin kx} \right).$$ Доказываются следую щие теоремы.

1. Если λ_n=o(n), то существуе т функция fεL(0, 2π), для кот орой последовательность {V_n ^(λ)(?;x)} расходится почти вс юду.
2. Если λ_n=o(n), то существуе т функция fεL(0, 2π), для кот орой последовательность $$\left\{ {\frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \pi /\lambda _n }^{\pi /\lambda _n } f(x + t)\frac{{\sin (n + \tfrac{1}{2})t}}{{2\sin \tfrac{1}{2}t}}dt} \right\}$$ расходится почти всю ду

.     

On certain properties of linear summation methods of Fourier series on the classesC(ɛ)

Для линейных методов суммирования рядов Ф урье (1) $$L_n (f;x) = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi f(x + t)\left( {\frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _{k,n} } \cos kt} \right)dt$$ на классах $$C(\varepsilon ) = \{ f:E_n (f) \leqq \varepsilon _n ;\forall n \geqq 0\} ,\varepsilon = \{ \varepsilon _n \} _{n = 0.}^\infty \varepsilon _n \downarrow 0,$$ доказываются:

1. оценки для порядка р оста норм ∥{L_n∥, если из вестен порядок приближения операторами (1) некоторого классаС (?) (при этом, если опера торы (1) приближают класс С(е) с наилучшим порядком, то находится точная а симптотика возрастания норм {∥ L_n∥);
2. сравнительные оцен ки порядков приближе ния классовС(?) операторами (1), если известен порядок при ближения ими некотор ого более узкого класса С(?*).

В том случае, когда опе раторы (1) приближают кл асс С(?*) с наилучшим порядком, получаются точные по рядковые оценки для л юбого более широкого класса С(?).     

On the approximation of conjugate functions from Holder classes by Fejér means

Получены асимптотич еские равенства для в еличин гдеr≧0 — целое, ω(t) — выпу клый модуль непрерыв ности и $$\bar \sigma _n (f;x) = - \frac{1}{\pi } \mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi f(x + t)\left( {\frac{1}{2}ctg\frac{t}{2} - \frac{1}{{4(n + 1)}}\frac{{\sin (n + 1)t}}{{\sin ^2 \tfrac{1}{2}t}}} \right)dt$$ сумма Фейера функцииf(х), сопряженной сf(x).     

On the divergence of Lagrange interpolation processes on a set of second category

В статье даны полные д оказательства следу ющих утверждений. Пустьω — непрерывная неубывающая полуадд итивная функций на [0, ∞),ω(0)=0 и пусть M?[0, 1] — матрица узл ов интерполирования. Если $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \omega \left( {\frac{1}{n}} \right)\log n > 0$$ то существует точкаx ₀∈[0,1] и функцияf ∈ С[0,1] таки е, чтоω(f, δ)=О(ω(δ)), для которой $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } |L_n (\mathfrak{M},f,x_0 ) - f(x_0 )| > 0$$ Если же $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \omega \left( {\frac{1}{n}} \right)\log n = \infty$$ , то существуют множес твоE второй категори и и функцияf ∈ С[0,1],ω(f, δ)=o(ω(δ)) та кие, что для всехx∈E $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } |L_n (\mathfrak{M},f,x)| = \infty$$ . Исправлена погрешно сть, допущенная автор ом в [5], и отмеченная в работе П. Вертеши [9].     

Lipschitz-Nikolski\imath constants and asymptotic simultaneous approximation on theM n -operatorsconstants and asymptotic simultaneous approximation on theM n -operators

This note is a study of approximation of classes of functions and asymptotic simultaneous approximation of functions by theM _n -operators of Meyer-König and Zeller which are defined by $$(M_n f)(x) = (1 - x)^{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^\infty {f\left( {\frac{k}{{n + k}}} \right)} \left( \begin{array}{l} n + k \\ k \\ \end{array} \right)x^k , n = 1,2,....$$ Among other results it is proved that for 0<α≤1 $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n^{\alpha /2} \mathop {\sup }\limits_{f \in Lip_1 \alpha } \left| {(M_n f)(x) - f(x)} \right| = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{\alpha + 1}}{2}} \right)}}{{\pi ^{1/2} }}\left\{ {2x(1 - x)^2 } \right\}^{\alpha /2} $$ and if for a functionf, the derivativeD ^m+2 f exist at a pointx∈(0, 1), then $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 2n[D^m (M_n f) - D^m f] = \Omega f,$$ where Ω is the linear differential operator given by $$\Omega = x(1 - x)^2 D^{m + 2} + m(3x - 1)(x - 1)D^{m + 1} + m(m - 1)(3x - 2)D^m + m(m - 1)(m - 2)D^{m - 1} .$$      

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

Riemann—Lebesgue theorem

Пусть?(x) — ограниченн ая функция на отрезке [0,1] и ее функция распределен ияΦ(t) удовлетворяет услов ию $$\Phi \left( t \right) + \Phi \left( { - t} \right) = 1.$$ Еслиf(x) — конечная поч ти всюду функция, то дл яF _n (t) — функции распределе ния произведенияf(x)?(nx) — вы полнены соотношения и В частности, еслиf(x) — и нтегрируемая функци я, то из (1) следует, что $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)\varphi \left( {nx} \right)dx = 0 $$      

Some embedding theorems for generalized Nikol'skii classes from Lorentz spaces

Quasi-normed Lorentz spaces Λ_{ψ, q} of 2π-periodic functions with quasinorms $$\left\| f \right\|_{\psi ,q} = \left\{ {\int\limits_0^{2\pi } {\psi ^q (t)\left[ {\frac{1}{t}\int\limits_0^t {f * (x)} dx} \right]} ^q \frac{{dt}}{t}} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 q}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} q}} $$ (0<q<∞,ω(t): [0,2π]→R is a continuous concave function with finite derivative everywhere on (0, 2gp)) and classes of functions $$H_{\psi ,q}^\omega \equiv \{ f(x):f(x) \in \Lambda _{\psi ,q} ;\mathop {\sup }\limits_{0 \leqq h \leqq \delta } \left\| {f(x + h) - f(x)} \right\|_{\psi ,q} = O\{ \omega (\delta )\} , \delta \to + 0\} $$ (ω(δ) — modulus of continuity) are studied. Precise embedding conditions of classes H _{ψ, q} ^ω into Lorentz spaces and into each other are obtained: $$\begin{array}{*{20}c} {H_{\psi ,q_1 }^\omega \subset \Lambda _{\psi ,q_2 } ;} & {H_{\psi ,q_1 }^\omega \subset {\rm H}_{\psi ,q_2 }^{\omega * } ,} & {0< q_2< q_1< \infty ,} \\ \end{array} $$ under conditions \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\psi (2t)}}{{\psi (t)}} > 1,\mathop {\overline {\lim } }\limits_{x \to \infty } \frac{{\psi (2t)}}{{\psi (t)}}< 2\) andω(δ)=O{ω(δ ²)},δ→+0, andω ^* (δ) is an arbitrary modulus of continuity.