Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sui moti liberi di un mezzo continuo

Sunto. Vengono così chiamati quei moti di un sistema continuo in cui ogni particella si muove di un suo moto rettilineo uniforme. Essi in generale non sono stazionari ed il campo istantaneo delle loro velocità è legato da una relazione funzionale, in termini finiti, a quello iniziale. Tale relazione è l'integrale, corrispondente alle condizioni iniziali date, della equazione differenziale che esprime l'annullarsi della accelerazione dei singoli punti. Accanto al caso stazionario presentano particolare interesse i casi della stazionarietà parziale della sola orientazione della velocità e quello del solo valore di questa, trovando che in questo le linee di flusso giacciono su una famiglia di piani, che sono superficie isotachie. Sono dati esempi dei vari casi. Viene infine esaminata la variazione della distribuzione delle masse nell'ipotesi di un mezzo materiale.     

Sui sistemi continui nel caso asimmetrico

Sommario Si prosegue da un punto di vista generale una ricerca di G. Grioli sulla elasticità asimmetrica con deformazioni finite (e con momenti interni di contatto). Tra l'altro si fanno osservazioni sull'energia libera e su un certo parametro τ in connessione con le equazioni costitutive e col problema della loro determinazione sperimentale. Si caratterizza pure il conformarsi dei materiali considerati al principio di isotropia fisica dello spazio. Si confrontano le relazioni trovate con altre differenziali già note, delle quali si determina l'integrale generale. Tra l'altro si dà una caratterizzazione di tipo energetico della simmetria degli sforzi derivanti da un potenziale elastico.     

Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica

Sunto Si dimostra esistenza e unicità della soluzione di un problema di frontiera libera che traduce il moto di filtrazione di liquidi attraverso mezzi porosi. Il problema è ricondotto alla minimizzazione di un funzionale quadratico su un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert, il che fornisce anche dei procedimenti per l'approssimazione numerica del problema stesso. Entrata in Redazione il 16 dicembre 1971. Indirizzo dell'autore:C. Baiocchi, Istituto di Matematica, Università, Pavia. Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito delle attività del Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. di Pavia; i risultati qui ottenuti sono stati annunciati in una nota preventiva sui C. R. Acad. Sc. Paris, t. 273, pp. 1215–1217.     

Su un caso di non esistenza e su uno di esistenza e unicità della soluzione di un problema della magnetoidrodinamica stazionaria

Riassunto In questa nota si affrontano alcune questioni di esistenza e unicità della soluzione classica del problema del moto stazionario di un fluido omogeneo, incomprimibile, perfetto, elettricamente condutore attorno ad un ostacolo dielettrico e scarico in un punto del quale è situato un dipolo magnetico. Precisamente, si dimostra dapprima che, nel caso in cui il fluido abbia conduttività finita, il problema suddetto non ammette soluzione se al campo cinetico e al campo magnetico sono imposte condizioni all'infinito alquanto restrittive. Si dimostra poi che opportune ipotesi all'infinito assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione del medesimo problema nel caso in cui il fluido sia un conduttore perfetto.

---

Summary This paper deals with some questions of classical solution existence and uniqueness for the problem of the steady flow of an homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid past a dielectric and discharged obstacle in which a magnetic dipole is situated. More precisely, in the first place the non-existence of solutions of the above mentioned problem is proved for fluids of finite conductivity, if rather restrictive conditions are placed on behavior of the kinetic and magnetic fields at infinity. In the next place an existence and uniqueness theorem is established for perfectly conducting fluids.

     

On uniqueness cones,velocity cones andP-convexity

Sunto Viene studiata l'unicità nel problema di Cauchy quando i coefficienti sono analitici. Il metodo è basato sull'uso dei coni di unicità. Un cono di unicità è il cono duale di un cono convesso e aperto di direzioni non-caratteristiche in un semi-spazio. I risultati ottenuti sono così generali che ci si può chiedere se siano anche necessarie le trovate condizioni sufficienti per l'unicità nel problema di Cauchy. Vengono anche studiate la propagazione delle perturbazioni e la P-convessità.

---

---

Entrata in Redazione il 25 febbraio 1972.

---

Sections3, 4, 8 and9 of this paper were presented in a speech at the University of Oslo, December 13, 1971.     

Nuovo teorema dei 2n momenti e sua espressione sintetica

Sunto La determinazione degli sforzi in una travatura reticolare iperstatica con aste mutuamente incastrate agli estremi, viene di solito affrontata ricorrendo al? teorema dei quattro momenti ? : il quale, com'è ben noto, collega fra loro imomenti di estremità di due asie consecutive e glispostamenti dei nodi di quelle aste. Momenti e spostamenti non interessano in egual misura, poichè soltanto i primi intervengono nella verifica di stabilità della travatura. Atteso dunque che gli spostamenti figurano nel problema come incognite ausiliarie, ci siam proposti di eliminarli addirittura nello studio della travatura, soslituendo al teorema dei quattro momenti, una nuova relazione la quale interessii soli momenti di estremità. Di questa nuova relazione abbiamo dato una facile interpretazione geometrica, atta a semplificarne l'uso. Al testo fa seguito un esempio di applicazione ad un problema concreto. La presente ricerca fu presentata nella mia tesi di laurea alla R. Scuola d'ingegneria di Roma, nel Novembre 1931.     

The modified jump problem for the Helmholtz equation

The boundary value problem for the Helmholtz equation outside several cuts in a plane is studied. The 2 boundary conditions are given on the cuts. One of them specifies the jump of the unkown function. Another one contain the jump of the normal derivative of an unknown function and a limit value of this function on the cuts. The unique solution of this problem is reduced to the uniquely solvable Fredholm equation of the second kind and index zero by means of single layer and angular potentials. The singularities at the ends of the cuts are investigated.

---

Sunto Nel presente lavoro si studia il problema al contorno per l'equazione di Helmholtz all'esterno di più tagli nel piano. Le due condizioni al contorno sono assegnate sui tagli. Una di queste prescrive il salto della funzione incognita, l'altra contiene il salto della derivata normale di una funzione incognita ed un valore limite di questa funzione sui tagli. La soluzione univoca di questo problema è ricondotta all'equazione di Fredholm di seconda specie ed indice zero, univocamente risolubiles, per mezzo dei potenziali di singolo strato ed angolare. Si studiano, inoltre, le singolarità agli estremi dei tagli.

     

Inequalities for eigenvalues of homogeneous boundary value problems

Sunto Il limite inferiore classico per i valori propri di una equazione differenziale lineare del secondo ordine nel caso dei punti coniugati è un caso speciale di disuguaglianze per problemi auto-aggiunti generali. Per equazioni auto-aggiunte a coefficiente positivo e parametro moltiplicativo possiamo determinare il segno dei valori propri ed otteniamo una serie completa di limiti inferiori, con esempi nei quali i limiti sono raggiunti. Si mostra che, senza ipotesi speciali sul coefficiente, esistono limiti superiori soltanto per qualche caso del vaiore proprw d'ordine zero. Anche questi limiti sono raggiunti in esempi.

---

---

Dedicated to ProfessorBeniamino Segre

---

Entrata in Redazione il 12 Febbraio 1973.

---

Research partially supported by NSF Grant GP-27960.     

Sulla monogeneità negli spazi di Banach

Summary In assenza di struttura moltiplicativa, la definizione di funzione monogena viene data in questo lavoro basandosi sulla considerazione di una coppia di operatori lineari (uno dei quali coincidente ad es. col differenziale) che mandano 0-forme in 1-forme. Si stabiliscono risultati sull’esistenza delle derivate successive, delle primitive e un teorema integrale di tipo Cauchy. L’equivalenza fra il problema della primitiva e il problema della derivata appare qui dipendere dalla permutabilità dei ruoli degli operatori della coppia.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito del Programma di Ricerca n. 9 del C.N.R.

---

Entrata in Redazione il 25 giugno 1970.     

Sul teorema di unicità per le equazioni del campo elettromagnetico in un plasma

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di unicità per le equazioni non-lineari del campo elettromagnetico in un plasma in cui si tiene conto della pressione dei corpuscoli elettrici. I teoremi sono sempre dimostrati nel caso non stazionario, anzitutto supponendo che il plasma occupi tutto lo spazio, poi vengono estesi al caso di un dominio finito con opportune ipotesi alla frontiera. Infine si ottengono teoremi di unicità nel caso in cui, per effetto di campo magnetico, la pressione diventa anisotropa. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C. N R. Entrata in Redazione il 19 gennaio 1970.     

Sottopiani di Baer di un piano di MoufangT e non derivabilità diT

Riassunto è noto che il problema della derivabilità di un piano proiettivo nel senso di Ostrom, è strettamente legato alla esistenza di sottopiani di Baer. Il proposito di questa nota, è quello di risolvere la questione della derivabilità dei piani di Moufang, ossia di tutti quei piani di traslazione coordinatizzati da anelli di divisione alternativi propri. Dopo aver richiamato la rappresentazione di Andrè di un piano di MoufangP, vengono caratterizzati i sottopiani di Baer diP, come le sottostrutture diP coordinatizzate da sottoalgebre di quaternioni dell'anello di divisione alternativo diP. Si dimostra quindi cheP non è derivabile.

---

Summary It is known that the problem of derivability of a projective plane in the sense of Pstrom, is closely linked with the existence of the Baer subplanes. The end of this note is to solvo the question of the derivability of the Moufang planes, that is the translation planes coordinatized by the alternative division rings. At first we recall the Andrè representation of a Moufang planeP, then the Baer subplanes ofP are characterized as the substructures ofP coordinatized by the quaternions subalgebras of the alternative division ring coordinatizingP. Then we prove thatP is not derivable.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei programmi di ricerca del G.N.S.A.G.A. durante il periodo di godimento di una borsa di addestramento del C.N.R.     

Sulla risolubilita' degli operatori differenziali invarianti sul gruppo di Heisenberg

In questa nota si considera il problema della risolubilità per operatori del secondo ordine, invarianti a sinistra e omogenei, sul gruppo di HeisenbergH _n. Si presenta un approccio al problema basato sul prolungamento analitico dei coefficienti degli operatori, a partire dai risultati noti per il sub-Laplaciano. I dettagli sono contenuti in due articoli degli autori, in collaborazione con F. De Mari [DPR] e D. Müller [MPR]. Conferenza tenuta da F. Ricci il 25 ottobre 1995     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

Sulle superficie integrali di due o più equazioni lineari a derivate parziali del 3o ordine

Sunto Questa Memoria trae occasione da una Nota diE. P. Lane sullo stesso argomento. IlLane crede di rilevare manchevolezze in un lavoro dell'A. del 1919 in cui, a seguito di una teoria generale sulle superficie (le coordinate proiettie omogenee dei cui punti sono) integrali di un sistema di equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee, è trattato come esempio il caso indicato nel titolo. L'A. riprende i risultati di quella Nota per mostrare la completezza della classificazione data nel 1919 e porre in rilievo una classe molto generale di superficie soddisfacenti al problema che è sfuggita alLane. IlBowles, allievo delLane, ha aggiunto qualche ulteriore conseguenza geometrica in parte erronea, mentre i risultati esatti corrispondenti sono esplicitamente enunciati nella Nota dell'A. del 1919.     

On the variational formulation for linear initial value problems

Summary The paper shows the key place of the choice of the bilinear form in order to give a variational formulation to a given problem. In particular it is shown how the use of a convolution bilinear form makes possible a variational formulation for linear initial value problems. A critical survey of the three main methods that was devised in the past to solve the same problem is done.

---

Sunto. La nota mette in evidenza il ruolo fondamentale della scelta di una forma bilineare al fine di dare formulazione variazionale ad un dato problema. In particolare è mostrato come l'uso di una forma bilineare di convoluzione renda possibile la formulazione variazionale dei problemi ai valori iniziali. Si fa un esame critico dei tre principali metodi che sono stati escogitati nel passato per risolvere lo stesso problema.

---

---

This work has been sponsored by the Consiglio Nazionale delle Ricerche.

---

Entrata in Redazione il 19 novembre 1971.     

Sulla propagazione elettromagnetica simmetrica rispetto a un asse

Sunto Si studia il problema della propagazione elettromagnetica simmetrica rispetto a un asse e in un mezzo nel quale le proprietà dielettriche e magnetiche siano espresse da elementi costanti, riconducendo la questione all'integrazione di tre equazioni differenziali del 2^o ordine. Dopo aver caratterizzate le superficie d'onda, si assegnano di quelle equazioni differenziali le formule generali di integrazione. Si esaminano quindi, col sussidio delle funzioni diBessel, diversi casi notevoli di propagazione simmetrica e infine si considera il caso dell'emissione, in un intervallo di tempo (0, T), da una sorgente situata sull'asse di simmetria.     

Relative continuum mechanics in general relativity

Summary An axiomatic approach to relative continuum kinematics in General Relativity is proposed. In the space-time manifold ϑ₄, we consider a physical frame of reference [Γ], and a congruence ξ of world-lines, interpreted as the congruence of stream-lines of an ideal physical system ℬ. The kinematical and geometrical properties of ξ relative to [Γ] are then analysed on the basis of the following scheme: a) definition and group theoretical interpretation of the class C(ξ) of connection vectors associated with ξ; b) spatial resolution of C(ξ), and construction of the velocity gradient of ξ relative to [Γ]; c) analysis of the time-dependent metric concepts associated with ξ in the frame of reference [Γ] (spatial distances between neighbouring world-lines, spatial volumes, Lorentz contractions, etc.).

---

Sunto. Si propone un approccio assiomatico allo studio della cinematica relativa dei continui in Relatività Generale. Nello spazio-tempo ϑ₄ è assegnato un sistema di riferimento [Γ], e una congruenza ξ di linee di universo, pensata come la congruenza di linee di corrente di un sistema fisico ideals ℬ. Vengono quindi analizzate le proprietà cinematiche e geometriche di ξ relative al riferimento [Γ], sulla base del seguente schema: a) definizione e caratterizzazione in termini gruppali della classe C(ξ) dei vettori di connessione associati alla congruenza ξ; b) risoluzione spaziale di C(ξ), e costruzione del gradiente di velocità di ξ relativo a [Γ]; c) analisi delle proprietà metriche dipendenti dal tempo della congruenza ξ nel riferimento [Γ] (distanze spaziali tra linee di universo contigue, volumi spaziali, contrazioni di Lorentz, etc.).

---

---

Entrata in Redazione il 18 maggio 1977.

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del C.N.R.