Multi-mode nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated imperfect angle-ply cylindrical panel with free straight edges

Summary A multi-mode solution to nonlinear vibration and postbuckling of the titled problem is presented for two straight edges free from forces and bending moments and the other edges subjected to identical variation of rotational stiffness and normal boundary forces. The dynamic Marguerre-type nonlinear equations are adopted. The transverse deflection and stress function are expanded into two series with timedependent coefficients. The Galerkin procedure furnishes an infinite system of ordinary differential equations for these time functions. The method of harmonic balance is used for a solution of a finite number of these equations. The postbuckling behavior is treated as a special case. Numerical results in nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated angle-ply panel are presented graphically for different panel parameters and also compared with available data.

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Nichtlineare Schwingung und Nachbeulen einer antisymmetrisch geschichteten, imperfekten zylindrischen Schale mit freien geraden Rändern

Übersicht Für das im Titel genannte Problem wird bei Normalkraftbelastung und Verdrehsteifigkeit der kreisbogenförmigen Ränder eine Lösung der dynamischen, nichtlinearen Marguerre-Gleichungen in Form verallgemeinerter Fourier-Reihen für die Durchbiegung und Spannungsfunktion mit zeitabhängigen Koeffizienten vorgestellt. Das Galerkin-Verfahren liefert ein System unendlich vieler gewöhnlicher Differentialgleichungen für diese Zeitfunktionen. Zur Lösung einer endlichen Zahl der Gleichungen wird die Methode der harmonischen Balance benutzt. Für verschiedene Schalenparameter werden numerische Resultate zur Schwingung und zum Nachbeulen in graphischer Form dargestellt und mit fremden Ergebnissen verglichen.

     

The BIE analysis of the Berger equation

Summary An iterative solution of the nonlinear integro-differential Berger equation by the boundary integral equation method is proposed. The fundamental solution of the linearized Berger equation is used. Both formulations of the problem through the physical and non-physical quantities are given. The proposed method of solution is applied to numerical computation of the finite deflection of a thin circular plate under a concentrated load. An analytical solution of the linearized Berger equation in the case of rotationally symmetrical problem is found.

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Anwendung der Randintegralgleichungsmethode auf die Gleichung von Berger

Übersicht Bine iterative Lösung der nichtlinearen integrodifferentialen Gleichungen von Berger mittels der Methode der Integralgleichungen wird vorgelegt. Die fundamentale Lösung der linearisierten Gleichungen von Berger wird angewendet. Zwei alternative Formulierungen des Problems mit physikalischen und nichtphysikalischen Größen sind angeführt. Die vorgelegte Lösungsmethode wird zur numerischen Berechnung der Durchbiegung einer mittels Einzellast belasteten, dünnen Kreisplatte angewendet. Fur den Fall eines rotationssymmetrischen Problems wurde eine analytische Lösung der linearisierten Bergerschen Gleichungen gefunden.

     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

Analytical and numerical solutions of inward spherical solidification of a superheated melt with radiative-convective heat transfer and density jump at freezing front

Analytical and numerical solutions of a general problem related to the radially symmetric inward spherical solidification of a superheated melt have been studied in this paper. In the radiation-convection type boundary conditions, the heat transfer coefficient has been taken as time dependent which could be infinite, at time,t=0. This is necessary, for the initiation of instantaneous solidification of superheated melt, over its surface. The analytical solution consists of employing suitable fictitious initial temperatures and fictitious extensions of the original region occupied by the melt. The numerical solution consists of finite difference scheme in which the grid points move with the freezing front. The numerical scheme can handle with ease the density changes in the solid and liquid states and the shrinkage or expansions of volumes due to density changes. In the numerical results, obtained for the moving boundary and temperatures, the effects of several parameters such as latent heat, Boltzmann constant, density ratios, heat transfer coefficients, etc. have been shown. The correctness of numerical results has also been checked by satisfying the integral heat balance at every timestep.Die analytische und numerische Lösung des Problems der symmetrischen radialen kugelförmigen Erstarrung einer ultrahocherhitzten Schmelze wurden in dieser Arbeit untersucht. Bei den Randbedingungen für Strahlung und Konvektion wurde der Wärmeübergangskoeffizient als zeitabhängig angenommen, welcher für die Zeitt=0 als unendlich betrachtet werden konnte. Dies ist notwendig für das Einsetzen des sofortigen Erstarrens der Schmelze über der gesamten Oberfläche. Die analytische Lösung besteht aus dem Verwenden geeigneter fiktiver Anfangstemperaturen und fiktiver Ausdehnungen des durch die Schmelze besetzten Anfangsbereiches. Die numerische Lösung besteht aus der Methode der finiten Differenzen, bei der die Gitterpunkte mit der Erstarrungsfront voranschreiten. Die numerische Methode kann ohne Probleme die Dichteänderungen in der flüssigen und festen Phase sowie das dadurch hervorgerufene Schrumpfen oder Expandieren des Volumens behandeln. Bei den für die sich ändernden Grenzen und Temperaturen erhaltenen numerischen Ergebnissen werden die Einflüsse der verschiedenen Parameter wie latente Wärme, Boltzmannkonstante, Dichteverhältnisse, Wärmeübergangskoeffizienten usw. gezeigt. Die Gültigkeit der numerischen Lösungen wurde zu jedem Zeitpunkt untersucht, indem die Erfüllung der Energiegleichung überprüft wurde.     

Nonlinear analysis of doubly curved symmetrically laminated shallow shells with rectangular planform

Summary A multi-mode solution to the dynamic Marguerre-type nonlinear equations is presented for the nonlinear free vibration of doubly curved, symmetrically laminated, imperfect shallow shells of rectangular planform on a Winkler-Pasternak elastic foundation. The shell edges are assumed to be transversely supported and the variation of rotational stiffness is identical along opposite edges. Generalized double Fourier series with time-dependent coefficients and the method of harmonic balance are used in the solution. The boundary condition for the varying rotational stiffness is fulfilled by replacement of bending moments along the four edges by an equivalent lateral pressure. Based on a single-mode approximation numerical results for the amplitude-frequency response of doubly curved isotropic, orthotropic, cross-ply and angle-ply shallow shells with square planform are presented for various boundary conditions, material properties, curvature ratios, initial imperfections, edge tensions, and moduli of the elastic foundation. Graphical results for postbuckling behavior of an imperfect angle-ply cylindrical panel are also presented as a special case.

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Nichtlineares Verhalten zweifach gekrümmter, symmetrisch geschichteter dünner Schalen mit rechteckigem Grundriß

Übersicht Vorgestellt wird eine Mehrfachwellenform-Lösung der dynamischen Gleichungen vom Marguerre-Typ für die nichtlinearen Eigenschwingungen zweifach gekrümmter dünner Schalen aus symmetrischen Schichtungen, die geometrisch imperfekt sind und über einen rechteckigen Grundriß auf einer elastischen Winkler-Pasternak-Bettung lagern. Angenommen wird eine gelenkige Lagerung der Plattenränder mit einer veränderlichen Drehbehinderung, die auf gegenüberliegenden Rändern gleich ist. Zur Lösung werden verallgemeinerte zweifache Fourier-Reihen mit zeitabhängigen Koeffizienten und die Methode der harmonischen Balance benutzt. Die Randbedingung für die veränderliche Drehbehinderung wird dadurch erfüllt, daß die Randmomente durch einen äquivalenten Vertikaldruck ersetzt werden. Mit der Näherung nur einer Wellenform werden numerische Ergebnisse für die Beziehung zwischen Amplitude und Frequenz angegeben; variiert werden dabei die Randbedingungen, die anfänglichen Imperf ektionen, die Krümmungsverhältnisse, die Bettungszahlen und die Materialkonstanten, wobei die Platte entweder isotrop oder bei recht- und schiefwinkliger Schichtung orthotrop ist. Als Sonderfall wird auch das Nachbeulverhalten einer imperfekten, schiefwinklig geschichteten Zylinderschale graphisch dargestellt.

     

On a new integration rule with the Gegenbauer polynomials for singular integral equations used in the theory of elasticity

Summary A new technique is proposed for the numerical solution of the Cauchy-type singular integral equations, by using the well known Gegenbauer polynomials. A large class of problems of mathematical physics, and especially several plane and antiplane elasticity problems, not possessing closed-form solutions, can be reduced to the solution of certain systems of such a type of singular integral equations. Also by using a certain method the new formula which is used for the numerical solution of the Cauchy-type integral equations can be extended for the general type of the finite-part singular integrals, too.

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über eine neue, in der Elastizitätstheorie anwendbare Integrationsregel mit Benutzung der Gegenbauer-Polynome zur Lösung singulärer Integralgleichungen

übersicht Es wird eine neue Technik zur numerischen Lösung von Cauchyschen singulÄren Integralgleichungen unter Benutzung der bekannten Gegenbauer-Polynome vorgeschlagen. Eine gro\e Klasse von Problemen der mathematischen Physik und besonders verschiedene ebene und antiplanare Probleme der ElastizitÄtstheorie, welche keine geschlossenen Lösungen besitzen, können zur Lösung auf solche singulÄren Integralgleichungen zurückgeführt werden. Die für die numerische Lösung von Cauchyschen Integralgleichungen hergeleitete Methode kann für den allgemeinen Fall singulÄrer Integrale mit endlichem Anteil erweitert werden.

     

Modale Behandlung linearer periodisch zeitvarianter Bewegungsgleichungen

Übersicht Lineare, periodisch zeitvariante Bewegungsgleichungen treten im Hubschrauber- und Windturbinenbau auf. Der Getriebebau und die Rotordynamik liefern weitere Beispiele. In diesem Bericht wird ein systematischer Weg zu ihrer Lösung dargestellt. Mit dem Ansatz von Hill wird die homogene Lösung über die Lösung eines Eigenwertproblems gewonnen. Nach Anpassung an die Anfangsbedingungen liefert sie die Fundamentalmatrix des Systems.Ähnlich wie bei zeitinvarianten Systemen, existieren auch bei zeitvarianten Systemen Orthogonalitätsbedingungen, die die Eigenvektoren erfüllen. Die Eigenvektoren selbst sind allerdings zeitabhängig. Benutzt man die Eigenvektoren als Ansatzvektor zur Berechnung der erzwungenen Schwingungen (Transformation mit der zeitvarianten Modalmatrix des Systems), so gelingt es, die Bewegungsgleichungen des Systems in entkoppelte, zeitinvariante zu überführen. Sie lassen sich in bekannter Weise lösen. Dieses Vorgehen wird auf eine moderne Windkraftanlage angewandt. Sie wurde zunächst mit 372 Freiheitsgraden modelliert, die aber auf 18 vor der numerischen Weiterbehandlung kondensiert wurden. Das Stabilitätsverhalten und die Antwortspektren auf stochastische Anregung durch den Wind wurden auf dem oben beschriebenen Weg ermittelt.

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Vibration of stiffened annular sector plates using the spline element method

Summary Vibrations of a stiffened annular sector plate with arbitrary boundary conditions are analysed using the spline element method. The plate is idealized as a system of an annular sector plate and curved beams rigidly connected to each other. To demonstrate the accuracy of the present method several examples are solved, and the results are compared with those obtained analytically and by other numerical methods. Good accuracy is obtained. The effect of stiffening beams on the frequencies of stiffened annular sector plates is also investigated.

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Bestimmung der Schwingungen versteifter Kreisringsegment-Platten mit Hilfe der Spline-Element-Methode

Übersicht Die Schwingungen versteifter Sektorplatten werden mittels der Spline-Element-Methode untersucht. Die Platte wird als ein System von Sektorplatte und gebogenen Trägern idealisiert. An Zahlenbeispielen wird gezeigt, daß bezüglich der üblichen analytischen Methode und numerischen Methoden die genaue Lösung erhalten wird. Der Effekt versteifender, gebogener Träger auf die Frequenzen wird untersucht.

     

Nonlinear flexural vibration of moderately thick orthotropic circular plates

Summary In this paper a nonlinear vibration theory which includes the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia is formulated for rectilinearly orthotropic circular plates using Berger's method. A solution to the governing equations for rigidly clamped plates is obtained on the basis of a single-mode approach by use of Galerkin's method and numerical Runge-Kutta procedure. A good agreement is found between present results and those obtained by a more accurate theory for nonlinear static and dynamic cases. Numerical results indicate significant influence of these effects on the vibration behaviour of moderately thick plates, especially high-modulus composite plates. These effects, however, are not so significant for the radius-to-thickness ratio greater than 10.

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Nichtlineare Schwingungen orthotroper Kreisplatten

Übersicht Eine Theorie nichtlinearer Schwingungen orthotroper Kreisplatten wird mit der Methode von Berger formuliert, wobei Schubverformung und Drehträgheit berücksichtigt werden. Für eingespannte Platten wird mit dem Verfahren von Galerkin eine numerische Lösung bestimmt und mit bekannten Lösungen verglichen. Die numerischen Ergebnisse zeigen, daß der Einfluß von Schubverformung und Drehträgheit bei mäßig dicken Platten beträchtlich sein kann.

     

Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

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Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

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With 15 figures     

A contribution to the Kryloff-Bogoliuboff theory in nonlinear mechanics

Summary An extension of the Kryloff-Bogoliuboff method in the theory of nonlinear oscillation has been developed.The method is intended primarily for the resonant analysis of systems exhibiting transient as well as steady motion, and describes subharmonic and superharmonic responses in complete generality.The method is applied to the equation describing the motion of a harmonically driven nonlinear oscillator. Higher approximation is obtained and the stability of the solution has been examined. The results of this method, when compared with exact solutions, show that this technique affords a more workable means for studying the responses of the nonlinear system harmonic forces.

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Übersicht Es wird eine Erweiterung für die von Kryloff und Bogoliuboff angegebene Methode der Theorie nichtlinearer Schwingungen beschrieben. Das Verfahren ist vorwiegend für die Resonanzanalyse bei stationären oder instationären Bewegungen geeignet. Subharmonische und superharmonische Bewegungen lassen sich in voller Allgemeinheit damit berechnen.Das Verfahren wird am Beispiel einer Gleichung demonstriert, die die Bewegungen eines harmonisch erregten nichtlinearen Schwingers beschreibt. Höhere Näherungen werden abgeleitet, und die Stabilität der Lösungen wird untersucht. Ein Vergleich mit exakten Lösungen zeigt, daß das angegebene Verfahren gut brauchbar für die Berechnung der Bewegungen nichtlinearer Systeme mit harmonischen Erregungen ist.

     

Selbsterregte Schwingungen eines pneumatischen Stellmotors

Übersicht Ein pneumatischer Stellmotor, der aus einem 4-Wege-Steuerschieber, einem doppeltwirkenden Arbeitskolben mit hin- und hergehender Bewegung und einer starren Hebelrückführung besteht, kann bei festgehaltenem Eingang und bei geeigneter Wahl der Parameter selbsterregte Schwingungen ausführen. Die Bewegungen können angenähert durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das auf einem elektronischen Analogrechner nachgebildet wird. Weiterhin wird für das Differentialgleichungssystem ein lineares Ersatzsystem nach dem Verfahren der harmonischen Balance aufgestellt. Die daraus abgeleiteten Bedingungen für das Auftreten von stationären Schwingungen werden mit den Ergebnissen einer linearen Näherung nach der Methode der kleinen Schwingungen verglichen. Außerdem werden Versuche beschrieben.

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Summary A pneumatic servomotor, consisting of a four-way valve, a double-acting ram with linear motion and a linear feedback linkage, may perform steady-state self-excited oscillations for fixed input and a suitable choice of parameters. The system is approximately described by non-linear differential equations which were solved employing an analog computer. Also, by means of the describing function method, one may obtain a replacing linear system yielding conditions for steady-state oscillations. These results are compared to a perturbation solution of the original equations and experimental investigations are reported.

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Auszug aus einer an der Technischen Hochschule Stuttgart eingereichten Dissertation. Die Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in dankenswerter Weise unterstützt.     

A closed form solution for the response of a long elastic beam to dynamic loading

Summary Closed form solutions have been obtained using Fourier transform method for the deflection, curvature and particle velocity of a long elastic beam when it is subjected to a concentrated transverse force which is varying with time. These solutions have been illustrated with the help of two force histories, i.e. a half-sine pulse and a rectangular pulse. Dimensionless parameters representing deflection, curvature and particle velocity have been plotted as functions of dimensionless distance and dimensionless time. Furthermore, the particular case of constant velocity impact which has been studied by other authors using different techniques has also been considered in the present paper and the results compare within numerical errors involved in the evaluation of integrals.

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Geschlossene Lösungen für die Antwort langer elastischer Balken auf dynamische Lasten

Übersicht Mit Hilfe von Fourier-Transformationen werden geschlossene Lösungen für die Durchbiegung, die Krümmung und die Geschwindigkeit der Punkte auf der Achse langer Balken, die durch eine zeitabhängige vertikale Einzelkraft belastet werden, erhalten. Die Lösungen werden anhand eines halben Sinusstoßes und eines Rechteckstoßes illustriert. Die Durchbiegung, Krümmung und Geschwindigkeit werden in dimensionsloser Form als Funktionen der dimensionslosen Längskoordinate und Zeit dargestellt. Darüber hinaus wird der Sonderfall konstanter Stoßgeschwindigkeit, der von anderen Autoren mit anderen Methoden untersucht wurde, betrachtet: Abgesehen von Abweichungen durch die numerische Lösung auftretender Integrale stimmen die Ergebnisse überein.

     

Bifurcating self-excited vibrations of a horizontally rotating viscoelastic shaft

Summary Self-excited postcritical vibrations of a rotating geometrically non-linear shaft caused by internal friction are analysed in this paper using the Hopf bifurcation theory. Stable periodic vibrations bifurcate from the non-trivial equilibrium which becomes unstable itself. Ordinary differential equations of motion are obtained by means of Galerkin's method. Bifurcating periodic solution is constructed in a parametric form due to Iooss and Joseph.

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Verzweigende selbsterregte Schwingungen eines horizontal gelagerten viskoelastischen Rotors

Übersicht Die von der inneren Reibung abhängigen selbsterregten Schwingungen einer drehenden geometrisch nichtlinearen Welle werden in dieser Arbeit mit Hilfe der Hopfschen Bifurkationstheorie analysiert. Die stabilen periodischen Schwingungen verzweigen sich ausgehend von der Gleichgewichtslage, die selbst instabil wird. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe der Galerkinschen Methode ausgewertet. Verzweigungslösungen werden in parametrischer Form nach Iooss und Joseph konstruiert.

     

Tangentiale Steifigkeitsmatrizen bei Anwendung von Projektionsverfahren in der Elastoplastizitätstheorie

übersicht Die klassische PlastizitÄtstheorie mit einer Flie\bedingung nach v. Mises und assoziierter Flie\regel erfordert die Zeitintegration der plastischen Verzerrungsraten. Die hier verwendete Radial-return-Methode ist ein Projektionsverfahren zur Berechnung der inelastischen Spannungen und kann als implizite Integration der Flie\regel angesehen werden. Die Anwendung der Finite-Element-Methode zur numerischen Lösung nichtlinearer Probleme geht von der schwachen Form des Gleichgewichts aus (Prinzip der virtuellen Arbeit). Die entstehenden nichtlinearen Gleichungssysteme können mit dem Newton-Raphson-Verfahren iterativ gelöst werden. Um die quadratische Konvergenz zu sichern, mu\ ein Tangentenoperator berechnet werden, der mit dem verwendeten Projektionsverfahren konsistent ist.

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Tangent stiffness matrices for projection methods in elasto-plasticity

Summary In classical elastoplasticity with v. Mises yield condition and associate flow rule it is necessary to integrate the plastic strain rate. The radial return integration algorithm is employed to calculate elastoplastic stresses. In the context of the finite element method, the formulation and numerical solution of nonlinear problems in continuum mechanics is based on the weak form of the momentum balance equation (principle of virtual work). The solution of the nonlinear equations is achieved by the Newton-Raphson method in which a sequence of linear problems is solved. If the linear problem is obtained by consistent linearization one gets a quadratic rate of convergence.

     

An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problems

An approximate solution capability is developed to handle three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problems. The method depends crucially on the existence and explicit definition of a fundamental solution to the governing partial differential equations. The construction of this solution for the anisotropic elastostatic problem is presented as is the derivation of the expression for the surface tractions necessary to maintain the fundamental solution in a bounded region. After the fundamental solution and its associated surface tractions are determined, a real variable boundary integral formula is generated which can be solved numerically for the unknown surface tractions and displacements in a well-posed boundary value problem. Once all boundary quantities are known, the field solution is given by a Somigliana type integral formula. Techniques for numerically solving the integral equations are discussed.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung entwickelt die es dreidimensionale anisotrope elastostatische Randwertprobleme zu lösen. Die Methode hängt entscheidend vom Vorhandensein und expliziten Bestimmung einer Grundlösung der zugeehörigen partiellen Differentialgleichungen. Die Êntwicklung dieser Lösung fur den Fall eines anisotropen elastostatischen Problems wird gegeben wie auch die Ableitung einer Formel fur Oberflächenspannung die erforderlich ist, um die Gultigkeit der Grundlösung im Randgebiet fortbestehen zu lassen. Nachdem die Grundlösung und die mit ihr verbundenen Oberflächenspannungen gefunden worden sind, wird eine Randwertformel in Integralform fur reelle Variablen entwickelt, die numerisch fur unbekannte Oberflächenspannungen und Verschiebungen jedoch mit gut definierten Randwerten gelöst werden kann. Nachdem alle Randwerte bekannt sind ist die Feldlösung durch eine Integralformel vom Typ Somigliana gegeben. Verfahren zur numerischen Lösung der Integralgleichungen werden erörtert.

     

Nonlinear vibration of generally laminated anisotropic thick plates

Summary Nonlinear equations of motion of generally laminated anisotropic plates are derived by use of Hamilton's principle. The effects of transverse shear and rotatory inertia are included in the analysis. The equations of motion so obtained readily reduce to those obtained in a recent nonlinear theory of anisotropic plates including transverse shear and rotatory inertia and to the dynamic von Kármán equations of plates. Based on the Galarkin procedure and principle of harmonic balance approximate solutions to the governing equations of generally laminated rectangular plates are formulated for various boundary conditions. Including the effects of transverse shear and rotatory inertia numerical results for the ratio of nonlinear frequency to linear frequency of symmetric angle-ply and cross-ply laminates, unsymmetric angle-ply and cross-ply laminates and an arbitrarily laminated plate are presented graphically for various values of elastic properties, fiber orientation angle, number of layers, thickness-to-span ratio and aspect ratio. Present results are also compared with the existing data.

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Nichtlineare Schwingungen von anisotropen, dicken Verbundplatten

übersicht Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen anisotroper, dicker Verbundplatten werden mit Hilfe des Prinzips von Hamilton hergeleitet. Dabei werden die Einflüsse der Schubspannungen und der Drehträgheit berücksichtigt. Mit dem Verfahren von Galerkin und der Methode der harmonischen Balance werden Näherungslösungen für Rechteckplatten bei verschiedenen Randbedingungen gewonnen. Numerische Ergebnisse für verschiedene Materialparameter sind graphisch dargestellt und werden mit bereits bekannten Ergebnissen verglichen.

     

Application of Gyarmati's variational principle to laminar stagnation flow problem

Gyarmati's principle for the evolution of irreversible processes has been applied to construct the variational solutions of laminar stagnation flow of incompressible Newtonian fluid in two dimensions. Variational solutions obtained in three different representations approximate closely the exact numerical result of longitudinal velocity component and the Gyarmati's principle in force representation yield the same result as obtained by Doty and Blick with the help of local potential method of Glansdorff and Prigogine.

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Die Anwendung des Variationsprinzips von Gyarmati auf die laminare Stauströmung

Zusammenfassung Gyarmatis Prinzip für die Entwicklung irreversibler Prozesse wurde verwendet, um Variationslösungen für die laminare Stauströmung einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit in zwei Dimensionen aufzustellen. In drei verschiedenen Darstellungen erhaltene Variationslösungen approximieren gut die exakte numerische Lösung der longitudinalen Geschwindigkeitskomponente; Gyarmatis Prinzip in der Kraft-Darstellung ergibt das gleiche Ergebnis, wie es Doty and Blick mit Hilfe der Methode des lokalen Potentials nach Glansdorff und Prigogine erhalten haben.

     

Freezing heat transfer in water-saturated porous media in a vertical rectangular vessel

Numerical and experimental study is performed for the freezing of water-saturated porous media in a vertical rectangular vessel. The governing equations are solved by using a variable transformation and employing a finite difference scheme. The SOR method is utilized to solve numerically the equations. Different size and types of spherical beads are used as the porous media. The temperature of cold wall is kept at –10°C, while that of the hot wall is varied from 2°C to 22°C. Comparisons of the analytical results with the experimental ones are made. The effects of the Stefan number, the Darcy number, the modified Prandtl number and the ratio of the temperature of cold wall to the temperature of hot wall are discussed for freezing of the water-saturated porous media.Diese numerische und experimentelle Untersuchung das Gefrieren in mit Wasser gesättigten porösen Medien in einem vertikalen rechteckigen Behälter. Die Erhaltungsgleichungen werden mit einem Variablen-Transformations-Verfahren und einem Differenzen-Verfahren gelöst. Zur numerischen Lösung der Differentialgleichung wird die SOR Methode verwendet. Als poröses Medium wurden verschiedene Typen und Größen von kugelförmigen Perlen benutzt. Die kalte Wand wurde auf –10°C gehalten, die Temperatur der warmen Wand lag zwischen 2 und 22°C. Die errechneten Ergebnisse wurden mit den experimentell Ermittelten verglichen. Die Einflüsse der Stefan-, Darcy- und Prandtl-Zahlen sowie des Verhältnisses der Temperatur der warmen zur kalten Wand auf das Gefrieren in gesättigten porösen Medien wurden diskutiert.     

Zur Schubspannungsverteilung und Schubsteifigkeit bei querkraftbeanspruchten,inhomogenen Querschnitten beliebiger Form,aus orthotropen Werkstoffen

Übersicht Faserverbundwerkstoffe weisen in der Regel eine relativ geringe Schubfestigkeit auf. Für Tragglieder aus solchen Werkstoffen resultiert daraus die Notwendigkeit einer genaueren Bestimmung der Schubspannungsverteilung und der Schubsteifigkeit als dies die Technische Biegelehre zuläßt. In der vorliegenden Arbeit wird eine neue, halbanalytische Berechnungsmethode zur Lösung des Problems der Querkraftbiegung inhomogener Kragbalken, die an ihrem freien Ende belastet sind, vorgestellt. Die Methode stellt eine Kombination einer zweidimensionalen Finite-Elemente-Analyse des in Balkenlängsrichtung konstant vorausgesetzten Balkenquerschnitts beliebiger Form mit der Querschnittsverwölbung als der Unbekannten mit einer die Balkenlängsrichtung als dritte Dimension enthaltenden, analytischen Lösung auf der Basis der Elastizitätstheorie dar. Das Berechnungsverfahren wird auf a) einen homogenen, isotropen Balken mit Rechteckquerschnitt, für den eine analytische Lösung vorliegt, b) einen inhomogenen, orthotropen Balken mit Rechteckquerschnitt, für den eine Finite-Elemente Analyse mit dreidimensionalen Elementen als Vergleichsrechnung durchgeführt wird und c) ein Rotorblatt eines Hubschraubers als Beispiel aus der Praxis angewendet. Im letzten Fall werden die Rechenergebnisse mit Versuchsergebnissen verglichen. In allen drei Fällen ist die Übereinstimmung der Rechenergebnisse mit den jeweiligen Vergleichsergebnissen ausgezeichnet.

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On the shear stress distribution and shear stiffness of arbitrary, inhomogeneous, anisotropic cross sections subjected to shear forces

Summary The shear strength of fiber laminates is relatively small. For members made of such materials this requires more accurate determination of the shear stress distribution and the shear stiffness than would be possible by means of the technical bending theory. In this paper a new semi-analytical method for solution of the shear-flexure problem of inhomogeneous, orthotropic cantilever beams, loaded at their free end, is proposed. The shape of the cross-section of such a beam is arbitrary. However, just as the material properties, the cross-section must remain constant along the beam axis. The method represents a combination of two-dimensional finite-element analysis of the warping of the cross-section and of an analytical result on the basis of the theory of elasticity, considering the longitudinal direction which represents the third dimension of the problem. The method is applied to a) a homogeneous, isotropic beam with a rectangular cross-section for which an analytical solution is available, b) an inhomogeneous, orthotropic beam with a rectangular cross-section for which, alternatively, a three-dimensional finite-element analysis is performed, and c) a rotor blade of a helicopter serving as a practical problem. With regards to c), numerical results are compared to experimental results. In all three cases, agreement of numerical results on the basis of the developed semi-analytical method with respective comparison results is excellent.