数列单调性的一种判断

一个数列,判断其单调性,常常十分有用.要判断{xn}单调,常用的方法是证明在n=1,2,…,xn+1-xn有确定的符号.但有时,要判断xn+1-xn的符号相当困难,而判断(xn+1-xn)(xn-xn-1)的符号就快捷多了.     

借用直线证明不等式

不等式的证明是数学中极其魅力的问题.笔者发现,有一类不等式可以借用直线加以证明,现举例说明此证明方法,供同学们学习时参考.     

一道级数习题的六种解法

应用约当不等式,函数的单调性以及数列极限的性质,对一道级数习题提供了六种解法.     

函数不等式e~x≥x+1及其变形在高考压轴题中的应用

1.不等式ex≥x+1(x∈R)的证明记f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.令f′(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴f(x)在R上的最小值为f(0)=0,∴ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时等号成立.     

2014年北京高考理科卷导数题解法的探究

2014年高考结束了,学生们普遍反映北京理科数学卷比较难,主要原因在于题目变化多了,更注重知识的理解和运用,所以学生们会觉得题目比较怪,入手比较难,和平时做题的感觉不一样.比如第18题的第二问,下面我简单分析一下这道题第二问的解法.     

一道全国联赛求最值题的多种解法

<正>~~     

对数列单调性定义的探究

<正>在数列的学习中,我们遇到这样的一个问题:已知数列{an}的通项公式为an=n(910)n,求数列的最大项.在解决这个问题的过程中,老师是这样做的:因为an+1an=(n+1)9()10n+1n9()10n=9(n+1)10n,所以an+1an≥19(n+1)10n9(n+1)≥1≥10nn≤9,又因为an>0,所以当且仅当n≤9时,an+1≥an(其中当且仅当n=9时,an+1=an),由此可知a1a11>…,因此数列的最大项是第9项和第10项,为910/109.     

一道安庆“二模”压轴题的细思量

2014年安庆市高三“二模”数学考试结束后,学生普遍反映试题难度比较大,其中理科试卷的压轴题仿2009年安徽省理科高考试题压轴题而命制,引起了笔者的关注.题1(2009年高考安徽卷·理21)首项为正     

利用导数求参变量范围题的错题分析

<正>题目设函数f（x）=-a（x²+1）^1/2+x+ a,x∈（0,1）a∈R⁺.若f（x）在（0,1）上是增函数,求a的取值范围.错解f′（x）=（-ax）/（x²+1）^1/2+1,∵f（x）在（0,1）上是增函数,∴在x∈（0,1）上有f′（x）>0,     

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.     

妙用基本不等式 巧求多元式最值

<正>基本不等式在求函数最值(或值域)和证明不等式方面有着很大的运用空间,极具简捷功能,备受师生青睐.然而在实际运用过程中,学生往往缺乏对基本不等式结构及其变形、变式的深入剖析,常在适用范围、配凑整理、取得最值条件等关键地方出现差错.加上相关题目经常创新,尤其遇到多元式求最值或取值范围,更让学生一筹莫展、无从下手.为此,笔者通过若干典例谈谈其化解策略.     

二元柯西不等式的一个类似

二元柯西不等式已知a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时取等号). 二元柯西不等式的类似已知a,b,c,d∈R,求证(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(当且仅当ad=bc时取等号).读者用分析法容易证得它们,下面给出后者的运用.     

基于尺度中心路径的求解SCLP的非单调光滑牛顿算法

基于CHKS光滑函数的修改性版本,该文提出了一个带有尺度中心路径的求解对称锥线性规划(SCLP)的非单调光滑牛顿算法.通过应用欧氏若当代数理论,在适当的假设下,证明了该算法是全局收敛和超线性收敛的.数值结果表明了算法的有效性.     

Orlicz范数下Orlicz-Lorentz函数空间的单调性[英文]

在赋以Orlicz范数下的Orlicz-Lorentz函数空间∧_(M,ω)~?[0, γ)中,本文给出其为严格单调,上局部一致单调,下局部一致单调以及一致单调的判据,同时也讨论了某些条件下该空间的单调系数.     

巧用贝努利不等式及推论解竞赛题

贝努利不等式具有简单的结构、深刻的内涵,在高等数学中有广泛的应用,比如利用贝努利不等式能简洁明快地证明重要极限     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

分组有界变差条件对级数若干经典定理的推广

利用分段均值有界变差条件推广了单调性条件在级数与积分敛散性方面的有关经典结论.     

一个几何不等式的推广

文[1]中介绍了如下一个经典的几何不等式: 命题 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,则S△DEF≤1/4S△ABC. 本文对其作如下推广: 推广 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,分别记△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积为S1、S2、S3、S0,则S1S2S3≥S30,等号成立当且仅当P是△ABC的重心.