糖水是甜了还是淡了

老师给我们出了这样一个题目：现有一杯糖水,再向杯中加入适当的糖,请问在溶液非饱和状态下,糖水是甜了还是淡了？试用你所学的知识分析这个现象,你从中能得出一个什么数学结论？并证明你的结沦,然后,用你的结论证明不等式：     

争鸣

问题128教学中遇到的问题:1一个不透明的正四面体物体被一束垂直于桌面上的平行光线照射,则此正四面体在桌面上的射影可能是下列图形中的(把你认为可能的图的序号都填上).①②③④2一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的     

一个游戏问题的猜想与证明

<正>1一个游戏同学们,你喜欢哪三个数字?用你喜欢的这三个数字组成一个最大的三位数M,再组成一个最小的三位数或形式上的三位数m.计算M与m的差C(不要告诉老师).交换C的个位数字与百位数字的位置,得到一个三位数或形式上的三位数C′.你现在计算C与C′的和H.老师能猜到你得到的和H是多少.你信不信?     

第十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

1.(满分20分)这里有全等的两幅小鸭子的图像(见下图).它们的位置是随意摆放的(对应部位的连线不平行).请你证明其中的一幅是由另一幅围绕平面上某一个点(旋转中心)旋转得到的.请你把这个旋转中心找出来,并且证明这个结论.     

例谈分球入箱问题的解法

将n个球放入k个箱子中,有多少种不同的放法?此类问题我们称之为分球入箱问题。它含有多种情形：n个球是否相同?k个箱子有无差异?箱子允许空否?解决此类问题的关键是分辨在什么情况下与顺序有关,在什么情况下与顺序无关。现举例说明如下。例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(箱子不空)有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空又有多少种不同的放法? 分析箱子相同时不需考虑箱子的顺序,球相同也无需考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的多少。可用穷举法求解。解 (1)箱子不空有3种放法：     

关于“地球赤道问题”的有趣探讨

在八年级数学下册(北师大版)第六章证明(一)的“1.你能肯定吗?”中有这样一个有趣的问题:“假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球围起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大(把地球看成球形)?能放进一颗红枣吗?能放进一个拳头吗?”     

面积与几何证明

面积法是一种常用几何证明方法,本文主要对这个方法作一个简单的介绍.我们的教材上证明勾股定理用的就是刘徽的出入相补法,这个方法是一种面积法,也是我们传统文化中一个灿烂的篇章.吴文俊先生以为出入相补法是解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙.所以许多几何问题的解决都有出入相补法的帮助.此外,张景中先生在研究几何定理的可读机器证明的过程中总结出一套几何证明的面积方法,其核心是所谓的共边比例定理.本文对这个方法也做了简单的介绍.     

精心预设,精巧引导,精彩演绎——对一节“全等三角形”阶段性复习研讨课的思考

这是一节来自2014年“浙派”名师班关于阶段性复习的研讨课,上课老师为我们展示了一节别样的“全等三角形”复习课.现将课堂实录与笔者的思考整理成文,供同行们交流研讨.一、课堂实录1.视频引课课堂一开始,老师让同学们观看视频,视频中一位老师作如下讲述.同学们,我们今天研究一个有趣的话题,我随手画一个三角形,能证明所画的三角形是等腰三角形.同学们相信吗?下面请看我的证明.如图1(视频中老师徒手画图),任意画三角形ABC,则有     

Fermat小定理的集合论证明

在初等数论里 ,Fermat小定理是个很基本的结果 ,具有广泛的应用 .为方便计 ,我们先给出这个定理 .Fermat小定理　设 p为素数 ,a为任意不能被 p整除的自然数 ,则ap-1≡ 1　 (modp) .用最初等的话说 ,ap-1除以 p的余数恒等于 1.在学过最基本的同余知识后 ,即可给出这个结论的证明 ,这在任何数论或代数入门书上都能找出 .如果有了“群”的概念 ,就可以看出Fermat小定理是有限群的一种基本特征 .现在我们从集合论的角度给出Fermat小定理的一种证明 ,它仅仅需要一点最基本的计数技巧 .定理　设 p是一个素数 ,a是任意一个自然数 ,则ap ≡a　 (mo…     

先请后证—证明定值问题的常用方法

先请后证—证明定值问题的常用方法王敬庚（北京师范大学数学系１００８７５）在数学中有夫定值的问题，包括证明某组动直线（或曲线）经过一个定点，或证明某些变量的一个关系式的值是定值，由于题目中一般并不告诉你这个定点或定值是什么，所以证明往往比较困难．因此若...     

一个定理证明引发的思考

三角形中位线定理不仅大家耳熟能祥,并且对于它的证明也了如指掌.但是,你是否对证明做进一步的思考呢? 为了下文说明方便,我们先简单回顾一下三角形中位线定理的证明:如图1,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于F,得平行四边形BCFD,再证△ADE≌△CFE,从而得结论.这个证明实际上是采用了“割补法”,把一个三角形     

外接球的半径怎么求？

题目 三个棱长为1的正方体应该怎样叠放，才能使它们的外接球的半径R为最小?请画出你所设计的直观图，并求出这个最小的半径R(不必证明)．     

小球何时能坠到杯底

这是一个有趣、颇具启发性的话题.一次自己在教学中这么问学生:“一个半球面状的酒杯,内部半径为R,放入一个半径不大于R的球,毫无疑问,球可坠到杯底.但若取一个内部为某圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)施转面的酒杯,杯口足够大,小球何以能坠底?”,学生们议论纷纷,但一时无以对答,我又具体给出小球半径若等于圆锥面焦点到相应顶点的距离时小球能坠底吗?经计算、考虑后,有的同学说能,有的说不能.我请了几位同学说一说理由,说不能的同学举了抛物面的例子,如旋成抛物面的抛物线方程为y2=2px(p>0),若小球能坠入杯底,相应小球被抛物线的面截成的…     

谈谈数学猜想

《数学课程标准》要求学生要有一定的数学猜想、验证的能力.近几年各地市中考试题中都有考查学生猜想能力的题目.究竟什么是数学猜想?我们如何进行数学猜想呢?当代深负众望的美国数学家G·波利亚教授指出:“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的,在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全做出详细证明之前,你先得推测证明的思路,你先得把观察到的结果加以综合,然后加以类比.你得一次又一次地进行尝试.”这段话告诉我们,数学教科书中那些精辟的结论,深刻的定理,巧妙的证法,不是从天上掉下来     

教学实录:"一定摸到红球吗?"--让我们共同走进新课程

片段 1　开门见山 ,直接引入T:生活中哪些事情一定会发生 ,哪些事情一定不会发生 ,哪些事情可能发生 ?如从装有许多 (不是全部 )红球的袋子中摸红球 ,一定能摸到红球吗 ?(略作停顿 )T:这是我们数学中概率所经常要研究的问题 .下面请同学们想想在我们生活中有哪些事件是与概率相关联的 ?S1:比如天气预报中的降雨概率 .S2 :买彩票的中奖概率 .　　……片断 2　演示实验 ,提炼定义教师取出一个事先准备好的盒子 ,先出示问题 (电脑显示 ) :1从盒中任意摸出一球 ,一定能摸到红球吗 ?说说你的想法 .2摸几次试试看 ,每次都能摸到红球吗 ?然后请许…     

高中《矩阵与变换》中旋转变换研究性学习报告的设计

《矩阵与变换》是高中课程选修系列4的一个专题.在北京师范大学出版的教材中,对旋转变换只介绍了逆时针旋转90°这一种变换,而在课后习题B组题中却给出了这样一道题:试通过访问、咨询或读书自学等方式了解三角函数及三角变形公式,并完成以下内容:1)利用右图,研究矩阵M=cosθ-sinθsinθcosθ表示什么变换.2)试证明你的结论.3)当θ=30°时,图中的图形变换结果是什么?当θ=75°时呢?4)你能给出表示逆时针旋转60°的矩阵吗?5)你能给出表示顺时针旋转60°的矩阵吗?6)表示顺时针旋转θ的矩阵结构如何?能证明你的结论吗?本人在实际教学过程中感受…     

与球有关的若干习题

球的问题,画起图来就很麻烦,分析思考就更加困难了．但球的问题却是一个重点学习的内容,高考中年年推陈出新．下面例谈如何突破难关,解决球的问题．一、多球相切例1 (2005年高考数学全国卷Ⅱ)将半径都为1的四个球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )     

对“被圈住的瓢虫”问题探究的感悟

<正>《中学生数学》2014年9月(下)智慧窗"被圈住的瓢虫"问题:只画4条直线分割这个圆(如图1),你能否将这个圆中的11只瓢虫分到11个单独的小部分中?答案如图2所示.探究一如果我们将问题中的"11只瓢虫"换成"10只瓢虫"或"12只瓢虫"(后面的11个单独的小部分相应换成10个或12个单独的小部分)会怎样呢?     

关于分配問題

引言及符号本文中所谓分配问题(或称“占位问题”),指的是给定了n个物件,r个容器,在各种限制下(如某k个容器不空等)将全部物件分入所给容器的有关问题。这里我们感兴趣的是不同分法的总数。我们不考虑物件在容器中的顺序,也不考虑容器的排列顺序。为行文简洁,不妨以“室”代表容器,如果物件是相同的,以“球”代表物体,如果物件是相异的,以“人”代表物件,这样就将分配问题分为“人分室”及“球分室”两种类型。什么叫不同的分法?在“球分室”问题中,对于任二分法,当且仅当至少有一室球数不等时,称此二分法是不同的。在“人分室”问题中,对于任二分法,当且仅当至少有一室人数不等,或人数等但人不同时,称此二分法是不同的。这类问题在统计力学中有重要意义(见[2]p.41)笔者认为在高中代数讲完“排列组合”一章后,在课外活动中适当启发学生考虑这类问题,或有助于帮助学生了解所学知识在实际中的应用,从而激发学生的学习热情,如果进而解决这些问题,或可巩固并加深对所学知识的理解,培养综合运用所学知识的能力。实际上,比如学生在做完高中代数课本习题“将6本不同的     

解“老师的生日”一题

《中学生数学》杂志,是中学生喜欢的杂志之一,今读到2003年9期《中学生数学》中智慧窗中的一题:算式中“今天我们老师的生日”九个汉字分别代表1～9.你能写出这个有趣的等式吗?