不变子空间上特征值的扰动

1引言设矩阵A∈C~(n×n),B∈C~(m×m),Q∈C~(n×m)为列满秩矩阵,令R=AQ-QB．当R的范数很小的时候,我们分析矩阵B的特征值对A的特征值的逼近性．当A,B都是Hermite阵时,上述问题已经被Kahan解决．近年来,对可对角化矩阵的情形,取得了一些新的成果．[4][5][6]中给出了几个范数不等式,并应用于矩阵特征值     

单Artin环上长方矩阵的算术距离与好的距离图

设R是一个单Artin环,本文应用Wedderburn-Artin定理,讨论了R上矩阵的内秩与等价化简,用内秩定义了R上矩阵的算术距离,并且证明了图G=(Rm×n,～)一般不是好的距离图,其中A～BA-B的内秩为1,A,B∈Rm×n。     

一般矩阵元素振动秩的一个定理

在文[1]列满矩阵元素扰动秩的稳定性基础上,运用矩阵的范数,分析,研究一般矩阵A∈C^m&;#215;n元素扰动秩的问题,得出“存在ε＞0,只要δA∈C^m&;#215;n,满足||δ||＜ε,则有A＋δA∈U^nk=rC^m&;#215;nk=r的结论。     

一般矩阵元素扰动秩的一个定理

在文 [1 ]列满矩阵元素扰动秩的稳定性基础上 ,运用矩阵的范数 ,分析、研究一般矩阵 A∈Cm× nr元素扰动秩的问题 ,得出“存在 ε>0 ,只要 δA∈Cm× n,满足‖ δA‖ <ε,则有 A+δA∈∪nk=r Cm× nk ”的结论 .     

λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式

设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵.若U(λ)与V(λ)等价,则对于任意的n阶方阵A,分块矩阵U(A)与V(A)的秩相等.利用此结论刻画了幂零矩阵、零化多项式等.同时,通过考虑两个对角λ-矩阵等价的充要条件,使关于矩阵多项式秩的一些恒等式的讨论有了新的统一的方法.     

交错阵空间上保秩等价的线性算子

设F是任意域,n≥4是一个正整数.令Kn(F)是F上n×n交错阵空间.对于A,B∈Kn(F),如果rank A=rank B,则称A和B是秩等价的.本文主要刻画Kn(F)上的保秩等价的线性算子,并给出一些应用.     

矩阵方程AXB+CYD＝E的对称极小范数最小二乘解

对于任意给定的矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×s,C∈Rm×k,D∈Rk×s,E∈Rm×s,本文利用矩阵的Kmnecker积和Moore-Penrose广义逆,研究矩阵方程AXB CYD=E的对称极小范数最小二乘解,得到了解的表达式．并由此给出了矩阵方程AXB=C的双对称极小范数最小二乘解的表达式．此外,我们还给出了求矩阵方程AXB=C的双对称极小范数最小二乘解的数值算法和数值例子．     

关于矩阵秩的一个不等式

对任意矩阵 M,用 r( M)表示 M的秩。熟知 ,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量 ,对矩阵的加法和乘法 ,我们有下面两个基本的不等式。(一 )设 A、B是两个 m× n矩阵 ,则r( A +B)≤ r( A) +r( B) ( 1 )　　 (二 )设 A、B分别是两个 m× n、n× l矩阵 ,则r( A) +r( B) -n≤ r( AB)≤ min{ r( A) ,r( B) }它通常被称为 Sylvester不等式。对这两个不等式 ,有不同的证明和理解 ,见 [1、2 ]。在本文里 ,我们要结合矩阵的满秩分解 ,用不等式 (二 )来研究不等式 (一 ) ,从中给出 r( A+B)≤ r( A) +r( B)的一个推广形式。本文所需的矩阵知识是基…     

p—除环上矩阵秩的恒等式

本文证明了[1]中的猜测:在p—除环上有恒等式r(?)=r(A) r(B) ((I_s-BB~ )C(I_n-A~ A)),并且改进了这个结果,此外还给出了几个关于矩阵秩的恒等式.设Ω是p-除环,A是Ω上的m×n矩阵.μ(A)表示由A的行向量张成的Ω上的左向量空间,N(A)表示满足XA=0的行向量张成的Ω上的左向量空间,则μ(A)(?)Ω,N(A)(?)Ω_m,μ(A)、N(A)、Ω_m、Ω_n都是左Ω—模,并且dim N(A)=m-r(A).引理1 A、B、C分别是Ω上的m×n、m×s和s×n矩阵,那么     

线性流形上对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解

设P是n阶对称正交矩阵,如果n阶矩阵A满足AT=A和(PA)T=-PA,则称A为对称正交反对称矩阵,所有n阶对称正交反对称矩阵的全体记为SARnp.令S={A∈SARnp f(A)=‖AX-B‖=m in,X,B〗∈Rn×m本文讨论了下面两个问题问题Ⅰ给定C∈Rn×p,D∈Rp×p,求A∈S使得CTAC=D问题Ⅱ已知A~∈Rn×n,求A∧∈SE使得‖A~-A∧‖=m inA∈SE‖A~-A‖其中SE是问题Ⅰ的解集合.文中给出了问题Ⅰ有解的充要条件及其通解表达式.进而,指出了集合SE非空时,问题Ⅱ存在唯一解,并给出了解的表达式,从而得到了求解A∧的数值算法.     

Hermitian型分块矩阵的极值秩

证明了可选取矩阵X和Hermitian矩阵Z,使得下面的Hermitian型分块矩阵(A XX*Z)取得它的极大秩和极小秩,这里A*=A∈Cm×m是一个已知的复矩阵,X∈Cm×k和Z*=Z∈Ck×k是两个任意的复矩阵.     

数量对合矩阵的线性组合的秩的不变性

若矩阵A、B满足A2=λ2I、B2=μ2I（λμ≠0）,称A、B都是数量对合矩阵．当非零复数a、b、u、v满足μλ＋bμ≠0、uλ＋vμ≠0时,我们证明了数量对合矩阵A、B与单位矩阵,的线性组合的秩总是相等,并且是一个与a、b、札、u选择都无关的常数．应用所得到数量对合矩阵的线性组合的秩的不变性,可推广已有文献的关于对合矩阵的相应结果．     

关于四元数矩阵的最佳逼近问题

通过使用四元数矩阵的广义奇异值分解,给出了四元数矩阵最佳逼近问题‖AHXA-C‖2F+‖BHXB-D‖2F=min, s.t. XH=X的一般表达式.     

四元数矩阵方程AXAH=B的最小二乘解

引入了四元数矩阵范数的概念，通过使用四无数矩阵的奇异值分解，给出了四元数矩阵方程AXA^H＝B在最小二乘意义下的Hermitian解以及Skew-Hermitian解．     

A Class of Constrained Inverse Eigenproblem and Associated Approximation Problem for Symmetric Reflexive Matrices

Let S∈Rn×n be a symmetric and nontrival involution matrix. We say that A∈E R n×n is a symmetric reflexive matrix if AT = A and SAS = A. Let S R r n×n(S)={A|A= AT,A = SAS, A∈Rn×n}. This paper discusses the following two problems. The first one is as follows. Given Z∈Rn×m (m < n),∧= diag(λ1,...,λm)∈Rm×m, andα,β∈R withα<β. Find a subset (?)(Z,∧,α,β) of SRrn×n(S) such that AZ = Z∧holds for any A∈(?)(Z,∧,α,β) and the remaining eigenvaluesλm 1 ,...,λn of A are located in the interval [α,β], Moreover, for a given B∈Rn×n, the second problem is to find AB∈(?)(Z,∧,α,β) such that where ||.|| is the Frobenius norm. Using the properties of symmetric reflexive matrices, the two problems are essentially decomposed into the same kind of subproblems for two real symmetric matrices with smaller dimensions, and then the expressions of the general solution for the two problems are derived.     

两个分块矩阵相似性的研究

给出两个分块矩阵相似的两个充分必要条件 .也就是说 ,如果两个方阵 A和 B在 A2 =0和 B2 =0的条件下 ,则两个分块矩阵 A C0 B 和 A 00 B 相似的充分必要条件是 :rank A C0 B =rank(A) +rank(B)和 AC +CB =0 .如果两个方阵 A和 B在 A2 =A和 B2 =B的条件下 ,则两个分块矩阵 A C0 B和 A 00 B 相似的充分必要条件是 :AC +CB =C.     

分块矩阵取得极值秩的条件

证明了如何选取矩阵X,Y和Z使得下面的分块矩阵(AXYZ)取得它的极大秩和极小秩,这里A∈C~(m×n)是一个已知矩阵,X∈C~(m×k),Y∈C~(p×n)和Z∈C~(p×k)是三个任意矩阵.     

矩阵方程AX=B的双反对称最佳逼近解

本文主要讨论下而两个问题并得到相关结果:问题Ⅰ:给定A ∈ R~(k×n),B ∈ R~(k×n),求X ∈ BASR~(n×n),使得AX=B.问题Ⅱ:给定X* ∈R~(n×n),求X使得‖X-X~*‖=minX∈S_E‖X-X~*‖,其中S_E是问题Ⅰ的解集合,‖·‖是Frobenius范数.通过对上述问题的讨论给出了问题Ⅰ解存在的充分必要条件和其解的一般表达式同时给出了问题Ⅱ的解,算法,和数值例子.     

长方矩阵加权群逆的迭代法

1引 言与引理 最近,文[1]定义了长方矩阵的一种加权群逆:设A∈Cm×n,W∈Cn×m.称满足下列矩阵方程组的矩阵X∈Cm×n为A的加W权群逆:(W1)AWXWA=A, (W2)XWAWX=X, (W3)AWX=XWA通常记A的加W权群逆为A#W.若A#W存在,则它是唯一的.